（江苏专用）高考数学一轮复习 第十四章 系列4选讲 14.2 矩阵与变换 理-人教版高三数学试题

1．乘法规则(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))的乘法规则：[a11a12]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二阶矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))与列向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))的乘法规则：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×x0＋a12×y0,a21×x0＋a22×y0)).(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11b12,b21b22))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22,a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22)).(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．2．常见的平面变换(1)恒等变换：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))；(2)伸压变换：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))；(3)反射变换：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))；(4)旋转变换：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cosθ－sinθ,sinθcosθ))，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,10))；(6)切变变换：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1k,01))(k∈R，且k≠0)．3．逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．5．特征多项式设A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式．1．已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))，求AB.解AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×－\f(1,2)\f(1,2)×－\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×－\f(1,2)\f(1,2)×－\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,00)).2．设A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，求AB的逆矩阵．解∵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))，∴(AB)－1＝B－1A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10)).3．求矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6－3,6－3))的特征值．解f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－63,－6λ＋3))＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.∴λ1＝0，λ2＝3.∴M的特征值为0和3.题型一矩阵与变换例1已知a，b是实数，如果矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．解设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x＋ay，,y′＝bx＋y.))因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2b＝1，,a＋2＝－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－\f(1,2).))思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M；(2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．解(1)设M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，则有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,－1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－2))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,c－d＝－1，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝0，,－2c＋d＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝3，,d＝4，))所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34)).(2)因为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋2y,3x＋4y))，且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.题型二求逆矩阵例2(2015·福建)已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(21),\s\do5(43))))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(11),\s\do5(0－1)))).(1)求A的逆矩阵A－1；(2)求矩阵C，使得AC＝B.解(1)因为|A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－\f(4,2)\f(2,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－21)).(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)2,－2－3)).思维升华求逆矩阵的方法：(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，AB＝BA＝E；(2)公式法|A|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc≠0，有A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,|A|)\f(－b,|A|),\f(－c,|A|)\f(a,|A|))).已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a－b,2c2d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝eq\f(1,2)，从而A的逆矩阵为A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))，所以A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03)).题型三特征值与特征向量例3已知矩阵A的逆矩阵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12)).(1)求矩阵A；(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解(1)因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,3),－\f(1,3)\f(2,3))).(2)矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－2－1,－1λ－2))＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．思维升华已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，求特征值和特征向量的步骤：(1)令f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－ax－by＝0，,－cx＋λ－dy＝0；))(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量．已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．解(1)由题意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，所以a＋1＝－3，所以a＝－4.(2)由(1)知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,－41))，令f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－11,4λ－1))＝(λ－1)2－4＝0.解得A的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,4x－2y＝0))得矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，当λ＝3时，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,4x＋2y＝0))得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2)).1．二阶矩阵与平面列向量乘法：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ac,bd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax＋cy,bx＋dy))，这是所有变换的基础．2．证明两个矩阵互为逆矩阵时，切记从两个方向进行，即AB＝E＝BA.3．二元一次方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2))相应的矩阵方程为AX＝B，其中A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1b1,a2b2))为系数矩阵，X为未知数向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c1,c2))为常数向量．4．若某一向量在矩阵变换作用下的像与原像共线，则称这个向量是属于该变换矩阵的特征向量，相应共线系数为属于该特征向量的特征值．A组专项基础训练(时间：40分钟)1．已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(15,62))，求A的特征值．解A的特征多项式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－5,－6λ－2))＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值为7和－4.2．已知矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－43))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－1,－31))，求满足AX＝B的二阶矩阵X.解由题意，得A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\f(1,2),21))，∵AX＝B，∴X＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\f(1,2),21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－1,－31))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－1,5－1)).3．已知矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))，α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，求M(2α＋4β)．解2α＋4β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,4))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))，M(2α＋4β)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－14,－26)).4．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，求矩阵A.解设A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3.))由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,d＝0.))所以A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,30)).5．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．解设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′＋2y′，,y＝y′))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x－2y，,y′＝y.))因为P′是曲线C1上的点，所以C2的方程为(x－2y)2＋2y2＝1.6．(2015·江苏)已知x，y∈R，向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y0))的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．解由已知，得Aα＝－2α，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,2))，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2，,y＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))所以矩阵A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11,20)).从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩阵A的另一个特征值为1.B组专项能力提升(时间：30分钟)7．设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，证明A的逆矩阵是唯一的．证明设B1，B2都是A的逆矩阵，则B1A＝AB1＝E2，B2A＝AB2＝E2，从而B1＝E2B1＝(B2A)B1＝B2(AB1)＝B2E2＝B2.即B1＝B2.故A的逆矩阵是唯一的．8．求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．解设点(x0，y0)为曲线|x|＋|y|＝1上的任一点，在矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))对应的变换作用下得到的点为(x′，y′)，则由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x0,y′＝\f(1,3)y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x′,y0＝3y′，))所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，所以围成的图形为菱形，其面积为eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).9．设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an＋4,bn＋4))＝Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an,bn))，求二阶矩阵M.解依题设有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an＋1,bn＋1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an,bn))，令A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,02))，则M＝A4，A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,