数学（一）-2023年中考考前20天复习

目录contents

（一）

倒计时第己口天

实数的概念与运算.................................02

倒计时第旧天

代数式...........................................19

倒计时第I日天

初中四大方程.....................................39

倒计时第I7天

不等式及不等式（组）..............................63

倒计时第I丘云

第一阶段综合冲刺小练..............................86

实数的概念与运算

，中考命题预测

1.从考查的题型来看，涉及此板块知识点的试题主要以选择题、填空题的形式单独考查，极少数试题会

以解答题的形式考查，题型较简单，基本属于低档或者中低档题。

2.从考查内容来看，主要以实数的概念与运算为核心进行考查。实数的概念与运算的重点：有理数，有理

数的绝对值与比较大小，有理数的四则运算法则；平方根（立方根），非负数，无理数及其估算，实数与数轴

的关系。

3.从考查热点来看，涉及本知识点中的问题就是实数与生活生产相结合的问题：科学记数法，有理数正负

表示，实数的加减乘除乘方法则在实际问题的应用等。

ɪ..⅜s——

二：应试技巧

1.数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.

2.相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若匕互为相反数，则。+庆0.

3.倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若。互为倒数，则他=L

4.绝对值：数轴上表示数4的点与原点的距离，记作k∕∣.

5.实数的分类：

（1）按照定义分类

.正整数

整数零

有理数•负整数

实数,

分数I有限小数或无限循环小数

［负分数J

无理数无限不循环小数

I负无理数J

（2）按照正负分类

正整数

正有理数

正实数正分数

.正无理数

实数零

负整数

负有理数

负实数负分数

负无理数

注意：O既不属于正数，也不属于负数.另外，在理解无理数时，要注意“无限不循环“，归纳起来有四类:

（1）开方开不尽的数，如6,蚯等；（2）有特定意义的数，如圆周率/或化简后含有兀的数，如兀+2

等；⑶有特定结构的数，如0.101OOlOOOl…等;（4）某些三角函数，如si〃60。等.

6.科学记数法：科学记数法的表示形式为αxlθ"的形式，其中修同<10,〃为整数.当原数绝对值大于10

时，写成以10"的形式其中IWIalV10,”等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于1时,写成“xl（Γ"

的形式，其中修同<10,〃等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.

7.近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪

一位，就说这个近似数精确到哪一位.

8.平方根：（1）算术平方根的概念：若χ2=α（χ>0）,则正数X叫做”的算术平方根.

（2）平方根的概念：若r=”,则X叫做。的平方根.

（3）表示：”的平方根表示为±G,4的算术平方根表示为G.

.只有非负数才有平方根,0的平方根和算术平方根都是0

（4）意义（Gy"（α≥0）;GIaI=『吃、

[-α（β<0）

I

9.立方根：（I）定义：若V=”,则X叫做。的立方根.（2）表示：4的立方根表示为也.（3）意义,"二=".

[丽）3=。

10,数的乘方：求〃个相同因数α的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幕.在中，α叫底数，"叫指数.

11.实数的运算：（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交

换律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.

12.指数，负整数指数鬲：分0,则“°=l;若分0,〃为正整数，则。一'=二.

a

13.数的大小比较常用以下几种方法：数轴比较法、差值比较法、绝对值比较法、乘方比较法、中间值比

较法等等.

色题回顾

一'选择题

1.（2022年浙江宁波市中考数学真题）-2022的相反数等于（）

A.-2022B.2022c∙Ξ⅛d--Ξ⅛

【答案】B

【分析】应用相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数.进行计算即可得出答案.

【详解】解：-2022的相反数等于2022.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了相反数，熟练掌握相反数的定义进行求解是解决本题的关键.

2.（2022年四川德阳市中考数学真试题）-2的绝对值是（）

A.2B.—2C.+2D.—

2

【答案】A

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数即可得出答案.

【详解】解：I-2|=2

故选A

【点睛】本题考查求一个数的绝对值，根据绝对值的定义求解即可，比较简单.

3.（2022年四川省巴中市中考数学真题）下列各数是负数的是（）

A.（-1）2B.∣-3∣C.-（-5）D.O

【答案】D

【分析】先将各选项的数进行化简，再根据负数的定义进行作答即可

【详解】解：（7）2=1,是正数，故A选项不符合题意；

1-31=3,是正数，故B选项不符合题意；

-（-5）=5,是正数，故C选项不符合题意；

√=8=-2,是负数，故D选项符合题意.

【点睛】本题考查了负数的定义，涉及乘方，绝对值的化简，立方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

4.（2022年广西玉林市中考数学真题）5的倒数是（）

A.—B.—C.5D.—5

55

【答案】A

【分析】根据倒数的意义可直接进行求解.

【详解】解：5的倒数是g；

故选A.

【点睛】本题主要考查倒数，熟练掌握求一个数的倒数是解题的关键.

5.（2022年辽宁阜新市中考数学真题）在有理数-1,-2,0,2中，最小的是（）

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】B

【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可.

【详解】解：根据有理数比较大小的方法可知-2<-1<0<2,

，最小的有理数是-2

故选：B.

【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于O,O大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其

值越小是解题的关键.

6.（2022年湖北襄阳中考数学真题）如果温度上升2C记作+2°C,那么温度下降3℃记作（）

A.+2℃B.-2℃

C.+3℃D.-3℃

【答案】D

【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解.

【详解】解：上升2℃记作+2℃,下降3℃记作-3℃；

故选：D.

【点睛】本题考查正数和负数；能够根据实际问题理解正数与负数的意义和表示方法是解题的关键.

7.（2022•江苏淮安.统考中考真题）2022年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今

年城镇新增就业目标为IlOOOOOo人以上.数据IlOoOoOO用科学记数法表示应为（）

A.0.11×108B.1.IxlO7C.IlxlO6D.1.IxlO6

【答案】B

【分析】科学记数法的表示形式为“xlθ"的形式，其中1≤忖<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于或等于10时，

”是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：数据IIoOOo（X）用科学记数法表示应为LlXlOL

故选：B.

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“χlθ"的形式，其中1≤忖＜10,"为

整数，正确确定。的值以及〃的值是解决问题的关键.

二、填空题

8.（2022年山东临沂市中考数学真题）比较大小：且—（填“＞”，“＜”或"="）.

32

【答案】＜

【分析】根据实数的大小比较的方法，先将两个无理数平方，根据正数平方越大，原实数就越大即可得.

【详解】解：.•停W，净卷

32

,√3√2

,,—〈—«

32

故答案为：＜.

【点睛】本题考查了实数的大小比较，灵活运用平方将无理数转化为可比较大小的有理数是解题的关键.

9.（2022年广西柳州市中考数学真题）如果水位升高2m时水位变化记作+2m,那么水位下降2m时水位

变化记作.

【答案】-2m

【分析】根据负数的意义，可得水位升高记作“+”，则水位下降记作水位不升不降时，记作0,据此解

答即可.

【详解】解：如果水位升高2m时，水位变化记作+2m,

那么水位下降2m时，水位变化记作-2m,

故答案为：-2m.

【点睛】本题主要考查了正负数的意义以及应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：水位升高记作

则水位下降记作水位不升不降时，记作0∙

10.（2022年江苏镇江中考数学真题）“五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对气温的影响.大致海拔

每升高100米，气温约下降06C.有一座海拔为2350米的山，在这座山上海拔为350米的地方测得气温是

6℃,则此时山顶的气温约为℃.

【答案】一6或零下6

【分析】根据题意“海拔每升高IOO米，气温约下降06C”，列出式子即可求解.

【详解】解：山顶的气温约为6-（2350-350）÷100x（）.6=-6

故答案为：-6或零下6.

【点睛】本题考查了有理数混合运算（不带乘方）的应用，正负数的意义，理解题意是解题的关键.

ɪɪ.（2022年湖北省黄石市中考数学真题）计算：（-2）2-（2022-石）°=.

【答案】3

【分析】根据有理数的乘法与零次鬲进行计算即可求解.

【详解】解：原式=4-1=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幕以及有理数的乘方运算是解题的关键.

12.（2022年西藏中考数学真题试卷）已知〃，匕都是实数，若∣α+l∣+S-2022）2=0,则/=

【答案】1

【分析】根据绝对值，偶次幕的非负性求出。，h,再代入计算即可.

【详解】∙.∙μ+l∣+（⅛-2022）2=0,

，α+l=0,b-2022=0,

即α=-l,⅛=2022,

ab=（-1严=1,

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了绝对值，偶次鬲的非负性，求出“，方的值是解本题的关键.

三、解答题

13.（2022年广西柳州市中考数学真题）计算：3×（-1）+22+∣-4∣.

【答案】5

【分析】先计算乘方运算，同步计算乘法运算，化简绝对值，再合并即可.

【详解】解：原式=-3+4+4

=5.

【点睛】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，掌握“含乘方的有理数的混合运算的运算顺序”是解本题

的关键.

14.（2022年内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟中考数学真题）计算：［-ɪj+2cos30c+（3-π）0-√≡8.

【答案】√3+l

【分析】根据负整数指数幕、30。角的余弦值、零次幕以及开立方的知识计算每一项，再进行实数的混合运

算即可.

ɪʌ/ɜ

［详解］原式=□^+2xτ+>J2)

~2

=-2+√3+l+2

【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记30。角的余弦值是解答本题的基础.

-------------------------OO-I

一、选择题

1.（2023・四川广元•统考一模）的绝对值是（）

ɪ

A.-5B.5C.——D.

55

2.（2023•浙江绍兴・统考一模）2023的相反数是（）

1

A.2023B.—C.-2023D.

20232023

3.（2023・江苏宿迁•统考一模）-2的倒数是（）

⅛b∙2c∙4

A.D.-2

4.（2023・广东•校联考模拟预测）下列数中，最小的是（)

A.-1B.∣-1∣C.0D.2

5.（2023・吉林・统考一模）中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负

数.如果公元前500年记作-500年，那么公元2023年应记作（）

A.—2023年.B.+1523年.C.+2023年.D.+2523年.

6.（2023•山东淄博・统考一模）太阳是太阳系的中心天体，离地球最近的恒星.太阳从中心向外可分为核

反应区、辐射区、对流层和大气层，太阳的年龄约50亿年现正处于“中年阶段”.半径为696000千米，是地

球半径的109倍，696000千米用科学记数法表示为（）

A.6.96xl（）5米B.6.96x10*米C.7.0χl0∙'米D.7.0χlOS米

7.（2023•浙江嘉兴•统考一模）下列各式中，正确的是（）

A.（-3）2=9B.（-2）,=-6C.√4=±2D.（夜『=4

二、填空题

8.（2023•江苏无锡•模拟预测）比较大小：3√7.（填“>”“<”或"="）

9.（2023.重庆・模拟预测）计算：∣-2∣+（√3-2）°=.

10.（2023•黑龙江绥化•校联考一模）某冷库的温度是-KTC,下降了4≈3C,则变化后的冷库的温度是

11.（2023•浙江宁波•统考一模）若（α-2p+√^=0,则（α+6产'的值是

三、解答题

12.（2023•浙江台州•统考一模）计算：√9+∣-6∣-32.

13.（2023•浙江台州•统考一模）计算：|—2|—（G-2）°+4sin30。

14.（2023・北京•校考模拟预测）计算:-π-2020°+1√3-21-3tan30°.

一'选择题

1.下列四个数中，最小的数是（）

A.1B.0C.-3D.-5

2.若实数“的绝对值是3,贝IJa的值是（）

A.3B.-3C.±3D.±-

3

与互为倒数的数是（

3.g)

A.--B.-C.5D.-5

55

4.如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出10元记作（）

A.5元B.一10元C.11元D.一8元

上的相反数为（）

5.中国人使用负数最早可追溯到两千多年前的秦汉时期，则

2023

1

A.-2023B.2023C.D.—

20232023

6.据悉，截至2022年底，中国高铁营运里程约为4200∞米,数据420000用科学记数法可表示为（

A.4.2×10,B.4.2×IO6C.4.2×IO7D.4.2×IO8

7.南、北为两个相反方向，如果+5m表示一个物体向北移动5m,那么-3m表示一个物体（）

A.向北移动3mB.向南移动3mC.向北移动8mD.向南运动8m

二'填空题

8.4的算术平方根是—.

9.∣-2∣+（√3-2）°=.

10.计算：5÷V-8=.

11.计算：+2013。+(-3)2=

三、解答题

12.计算：6x(g-j-(-2)2

13.计算:-4×sin60o.

14.计算：√12+2sin60o-11-√3∣-(2023-Æ)0

参考答案

名校预测

1.D

【分析】根据绝对值的性质，即可求解.

【详解】解：-g的绝对值是

故选：D

【点睛】本题主要考查了求绝对值，熟练掌握正数的绝对值等于它本身，O的绝对值等于0,负负数的绝对

值等于它的相反数是解题的关键.

2.C

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可得到答案.

【详解】解：2023的相反数是-2023.

故选：C

【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.

3.C

【分析】根据倒数的定义求解即可.

【详解】解：-2的倒数是

故选C.

【点睛】本题考查求一个数的倒数.掌握两个数乘积是1的数互为倒数是解题关键.

4.A

【分析】根据有理数的大小比较法则，即可求解.

【详解】解：∙.∙∣τ∣=ι,

.∙.-l<0<l<2,

即最小的数是-1.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了有理数的大小比较，绝对值，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键.

5.C

【分析】根据相反意义的量进行求解即可.

【详解】解：公元前500年记作-500年，

，公元前为“一”，

，公元后为“+”，

公元2023年就是公元后2023年，

•••公元2023年应记作+2023年.

故选：C.

【点睛】本题考查了相反意义的量，理解相反意义的量是解题的关键.

6.B

【分析】科学记数法的表现形式为“χlθ”的形式，其中1≤∖a∖<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n

是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：696000千米=6960OooOo米=6.96×IOii,

故选B.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

7.A

【分析】根据鬲的运算，算术平方根，平方根的意义计算即可.

【详解】A、(-3)2=9,符合题意；

B、(-2)3=-8,不符合题意；

C、√4=2,不符合题意；

、不符合题意；

D(λ∕∑y=2,

故选：A.

【点睛】本题考查了鬲的运算，算术平方根，平方根的意义，熟练掌握运算法则是解题的关键.

8.>

【分析】先分别计算两个数的平方，然后进行比较即可解答.

【详解】解：∙.∙(77)2=7,32=9,

V7<9,

：.3>S,

故答案为：>.

【点睛】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键.

9.3

【分析】利用绝对值的定义，零指数哥计算.

【详解】解：∣-2∣+(√3-2)"=2+l=3

故答案为：3.

【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握绝对值的定义，零指数幕.

10,-14

【分析】用冷库的温度减去下降的温度，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可.

【详解】解：-10-4=-14,

，变化后的冷库的温度是-14。。，

故答案为：-14.

【点睛】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键.

11.-1

【分析】根据一个数的平方的非负性及算术平方根的非负性即可解答；

【详解】解：∙.∙(α-2)2+JΓ石=0,

∙*∙a—2=0,⅛+3=0,

a=2,O=—3,

20232023

Λ(α+⅛)=[^2+(—3)J=—11

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了一个数的平方的非负性及算术平方根的非负性，有理数的乘方运算，掌握一个数的平

方的非负性及算术平方根的非负性是解题的关键.

12.O

【分析】先分别求算术平方根，绝对值，乘方，然后进行加减运算即可.

【详解】解：原式=3+6—9=0.

【点睛】本题考查了算术平方根，绝对值，乘方.解题的关键在于正确的运算.

13.3

【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幕，特殊角的三角函数值进行计算即可求解.

【详解】解:∣-2∣-(√3-2)0÷4sin30o

=2-1+4XL

2

=1+2

=3.

【点睛】本题考查了求一个数的绝对值，零指数幕，特殊角的三角函数值，熟练掌握求一个数的绝对值,

零指数幕，特殊角的三角函数值是解题的关键.

14.4-π-2√3

【分析】根据负整数指数幕，零次幕，化简绝对值，特殊角的三角函数值进行计算即可求解.

【详解】解：(g)-π-2020°+1√3-21-3tan30°

=3-π-l+2-√3-3×-

3

=4—π—2y∣3.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幕，零次幕，化简绝对值，特殊角的三角函数值是

解题的关键.

专家押题

1.D

【分析】根据有理数比较大小的方法进行求解即可.

【详解】解：∙.∙∣-5∣=5>∣-3∣=3,

**•-5V—3<O<1,

，四个数中最小的数是-5,

故选D.

【点睛】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大

其值越小是解题的关键.

2.C

【分析】根据绝对值的意义即可求解.

【详解】解：实数。的绝对值是3,则”的值是±3,

故选：C.

【点睛】本题考查了实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握实数的性质是解题的关键.

3.C

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案.

【详解】解：与1互为倒数的数是5；

故选：C.

【点睛】本题考查了倒数，乘积为I的两个数互为倒数.

4.B

【分析】根据正负数的意义收入为正，那么支出为负进行选择即可.

【详解】解：由题意得：支出10元记作TO元；

故选B.

【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键.

5.D

【分析】根据相反数的意义可得.

【详解】解：根据相反数的意义得出：的相反数是-焉，

故选：D.

【点睛】本题考查的是相反数，解题的关键是掌握相反数的意义.

6.A

【分析】科学记数法的表现形式为αχlθ”的形式，其中1≤∖a∖<10,〃为整数，确定〃的值时，要看把原

数变成“时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，”

是正数，当原数绝对值小于1时〃是负数；由此进行求解即可得到答案.

【详解】解：420000=4.2×IO5,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义.

7.B

【分析】根据正数和负数的意义解答即可.

【详解】解：南、北为两个相反方向，如果+5m表示一个物体向北移动5m,那么-3m表示一个物体向南移

动3m,

故选：B.

【点睛】本题考查正数和负数，明确正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示是解题的关键.

8.2

【分析】根据算术平方根定义直接求解即可得到答案.

【详解】解：4的算术平方根是4=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查算术平方根定义，熟记算术平方根定义是解决问题的关键.

9.3

【分析】根据绝对值的性质和零指数零的性质计算即可.

【详解】解：原式=2+1=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键.

10.3

【分析】原式先化简舛=-2,再进行减法运算即可.

【详解】解：5+0

=5-2

=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，正确化简舛=-2是解答本题的关键.

11.18

【分析】分别计算负指数黑，零指数幕和乘方，再算加减法.

【详解】解：(]'+20130+(-3)2

=8+1+9

=18

故答案为：18.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握负指数幕，零指数幕和乘方的运算法则.

12.-17

【分析】根据有理数的混合运算进行计算即可求解.

【详解】解：原式=6xg-6x1-4x4

32

=2-3-16

=-17.

【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，正确的计算是解题的关键.

13.1

【分析】先化简二次根式、绝对值，负整数指数幕'特殊角三角函数值，再进行计算即可.

【详解】解：原式=∣3-2码+4-4×√3

=2√3-3+4-2√5

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的计算.熟记特殊角的三角函数值，正确的计算，是解题的关键.

14.2+

【分析】先化简二次根式、计算特殊角的正弦值、化简绝对值、计算零指数幕，再计算实数的混合运算即

可.

【详解】解：√12+2sin600-11-√31-(2023-π)°

=2√3+2×-γ-(√3-l)-l

=2√3+λ^-√3+l-1

=2√3.

【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及化简二次根式、特殊角的正弦值、化简绝对值和零指数幕.掌握

实数的混合运算法则是解题关键.

代数式

，中考命题预测

I.从考查的题型来看，涉及本知识点的问题多以填空题、选择题为主的形式考查，部分涉及本知识点以解

答题形式的出现，属于中低档题

2.从考查内容来看，涉及本知识点主要的有整式：幕的运算（同底数幕相乘'事的乘方、积的乘方、同底数

鬲相除）、合并同类项、整式的加减、整式的乘法法则；分式:分式的意义、分式的加减乘除化简；二次根式:

二次根式的混合运算、二次根式的意义与化简；因式分解:因式分解与整式乘法的区别、选用适当的方法进

行分解因式、分式的化简中运用因式分解.

3.从考查热点来看,涉及本知识点主要有合并同类项、代数式的化简求值、因式分解、分式的意义将成为中

考命题的热点.

=η

二：应试技巧二

1）代数式

代数式的书写要注意规范，如乘号“X”用“•”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.

2）整式

1.单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数,

数字因数叫做单项式的系数.

注：①单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如-4』/匕，这种表示

3

就是错误的，应写成-二/b;②一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如—5α3∕√c

3

是6次单项式。

2.多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的

次数，其中不含字母的项叫做常数项.

3.整式：单项式和多项式统称为整式.

4.同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.

5.整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.

6.幕的运算：a",∙a"=a"'+n](〃")"=〃""；(.ah')n=a"b"；a"'÷a"=am~n

7.整式的乘法：(1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里

含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

(2)单项式与多项式相乘j/H(α+b+c)-ma+mb+mc.

(3)多项式与多项式相乘：(加+〃)(tz+⅛)=ma+mb+na+nb.

8.乘法公式：(1)平方差公式：(α+ZO(α-与=/一/.(2)完全平方公式：缶土少=/±2ab+/.

9.整式的除法：(1)单项式除以单项式，把系数、同底数的幕分别相除，作为商的因式：对于只在被除

式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.(2)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项

式，再把所得的商相加.

3)因式分解

1.把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.

2.因式分解的基本方法：(1)提取公因式法：mα+，泌+mc=m(α+b+c).

222

(2)公式法：运用平方差公式：/一〃=(α+∕7)(α一份.运用完全平方公式：a±2ab+h^(a±b).

3.分解因式的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，

可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用

分组的方法进行分解；(3)检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止。以上步

骤可以概括为“一提二套三检查”。

4)分式

1.分式的定义

ΛA

(1)一般地，整式A除以整式以可以表示成G的形式，如果除式B中含有字母，那么称K为分式.

BB

A

(2)分式一中，A叫做分子，B叫做分母.

B

ΛΛA

【注】①若B≠0,则总有意义；②若B=O,则G■无意义；③若A=O且母0,则百=0.

BBB

2.分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.

ΔΛ.ΓAA-C

用式子表示为G=K(C≠0)或G=h*(C≠0),其中A,B,C均为整式.

BB-CBB÷C

3.约分及约分法则

(1)约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.

(2)约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式

的最低次募；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数.如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式,

然后约分.

【注】约分的根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式.

4.最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式.

【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式.

5.通分及通分法则

（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一

过程称为分式的通分.

（2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相

同因式的最高次鬲和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的

商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式;

③若分母是多项式，则先分解因式，再通分.

【注】通分的根据是分式的基本性质.通分的关键是确定几个分式的最简公分母.

6.最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次鬲的积作为公

分母，这样的分母叫做最简公分母.

7.分式的运算

/7C〃+C

（1）分式的加减①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减.用式子表示为：-±-=^-.

bbb

②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分-式，然后再加减.

ac_adbe_ad±bc

用式子表示为：—ɪ-=--ɪ--=———・

babababcl

（2）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.

ac_a∙c

用式子表示为:

^b'7~Vd

（3）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.

cada∙d

用式子表示为：，———•—=--------

bdbcbe

（4）分式的乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方.

用式子表示为：（£）"=《（〃为正整数，6≠0）∙

（5）分式的混合运算：含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算.

混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减.有括号的，先算括号里的.

5)二次根式

1.二次根式的有关概念

(1)二次根式的概念：形如右(a≥0)的式子叫做二次根式.其中符号“、厂”叫做二次根号，二次根号下

的数叫做被开方数.【注】被开方数。只能是非负数.即要使二次根式W有意义，则”≥O∙

(2)最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，

叫做最简二次根式.

(3)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式.

2.二次根式的性质

a(a>0)

2

⑴y[a≥0(α≥0)；(2)(ʌ/ɑ)=a(a≥0)•;(3)“二Ia=<0(α=0)；

-a(a<0)

(4)y[ab=∖∣a->Jb(a≥O,/?≥0)；(5)=^^(a≥O,b>O).

3.二次根式的运算

(0二次根式的加减

合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式,

可把同类二次根式合并成一个二次根式.

(2)二次根式的乘除

乘法法则：&.枇=寂(a≥Qb≥O);除法法则：卷=J∣(α≥O,A>O).

(3)二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的.

在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用.

1妻鹘回顾

选择题

1.(2022•攀枝花)下列各式不是单项式的为()

【分析】根据单项式的概念判断即可.

【解答】解：43是单项式，故本选项不符合题意;

B、”是单项式，故本选项不符合题意；

C、且不是单项式，故本选项符合题意；

a

/)、是单项式，故本选项不符合题意;

2-

故选：C.

2.(2022•无锡)分式旦中X的取值范围是()

2-x

A.Λ≠2B.x≠-2C.x<-2D.x<2

【分析】由分母不等于0列式计算即可.

【解答】解：•••分式旦有意义，

2-χ

Λ2-χ≠0,

解得Λ≠2,

故选：A.

3.(2022•西藏)下列计算正确的是(

A.2ab-abz=abB.2ab+ab=2a2b2

C.4a3⅛2-2a=2a1bD.-2ab2-a2b=-3a2b2

【分析】根据合并同类项法则进行一一计算.

【解答】解：As2cιb-ab=(2-1)ab=ab,计算正确，符合题意；

B、2ah+ah=(2+1)ah=3ah,计算不正确，不符合题意；

C、4/后与-2α不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意；

D、-2〃层与不是同类项，不能合并，计算不正确，不符合题意

故选:A.

4.(2022•济宁)下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是()

A.Λ2-X-1=X(χ-1)-1B.x2-l=(X-I)2

C.x2-χ-6=(.χ-3)Cr+2)D.x(ɪ-1)=x2-x

【分析】根据因式分解的定义判断即可.

【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意;

B选项计算错误，故不符合题意；

。选项是因式分解，故符合题意；

O选项不是因式分解，故不符合题意；

故选：C.

5.(2022•安顺)估计(2√^+5J5)X的的值应在()

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案.

【解答】解：原式=2+∙∖∕IO,

V3<√iθ<4,

Λ5<2+√iθ<6,

故选：B.

二.填空题

6.(2022•荷泽)若1在实数范围内有意义，则实数X的取值范围是Λ>3

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由题意得，x-3>0,

解得x>3.

故答案为：x>3.

7.(2022•辽宁)分解因式：3Λ2V^^3V=3y(X+1)(XT).

【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答.

【解答】解:3∕y-3y

=3yGc2-I)

=3y(x+I)(x-1),

故答案为：3y0+1)(χ-1).

8.(2022•恩施州)因式分解：If/+%="(α-3)2.

【分析】先提公因式“，再利用完全平方公式进行因式分解即可.

【解答】解：原式=α(α2-6Λ+9)=«(α-3)2,

故答案为：a(«-3)2.

9.(2022•襄阳)化简分式：-≡-+-gL=m.

a+ba÷b

【分析】根据分式的加减运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=咽也

a+b

=m(a+b)

a+b

故答案为：

10.(2022•青海)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第〃个图中共有木料_n(n+l)

2

根.

(⅝⅞))

())(Y)))

⅝⅜⅜]

第1个第2个第3个第4个

【分析】观察图形可得：第〃个图形最底层有〃根木料，据此可得答案.

【解答】解：由图可知：

第一个图形有木料1根，

第二个图形有木料1+2=3(根)，

第三个图形有木料1+2+3=6(根)，

第四个图形有木料1+2+3+4=10(根)，

第〃个图有木料1+2+3+4+……+”=n(n+l)(根)，

2

故答案为：n(n+l).

2

三.解答题

11.(2022•河池)计算：|-2&|-3-1-yx&+(π-5)°.

【分析】先去绝对值，计算负整数指数零，零指数幕和二次根式乘法，再合并即可.

【解答】解：原式=2&-』-2&+1

3

=2_

3^'

12.(2022•安顺)(1)计算：(-1)2+(π-3.14)0+2sin60o+∣l-√3l-√12.

2

(2)先化简，再求值：(x+3)+(Λ+3)(X-3)-2x(x+l),其中X=JL.

2

【分析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；

(2)先去括号，再合并同类项，然后把X的值代入化简后的式子，进行计算即可解答.

【解答】解：(I)(-1)2+(π-3.14)0+2sin60o+∣l-√3∣-√12

=I+∣+2×2∕A+√3-I-2√3

2

=2+√3+√3-1-2√3

=1;

(2)(x+3)2+(x+3)Cx-3)-2x(x+l)

=Λ2+6X+9+/-9-2X2-2X

=4x,

当X=I-时，原式=4x1=2.

22

13.(2022•襄阳)先化简，再求值：(α+2b)2+(α+2Z?)(a-2b)+2aCb-a),其中α=√3~√2,b

=V3+Λ∕2∙

【分析】直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案.

［角星答］解：原式=/+4/+44/?+/-4b2+2ah-2a2

=6ah,

Vα=√3-√2,⅛=√3+√2,

***原式=6ab

=6×(√3-√2)(√3+√2)

=6.

2

14.(2022•内蒙古)先化简，再求值：(2-x-l)÷×∑⅜×tl,其中x=3.

χ-lχ-l

【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将x=3代入计算即可.

2

［解答］解：原式=3Tx-1)仁、

x-1(X-2)2

=_(x+2)(χ-2).χ-l

χ-ι(x-2)2

=_x+2,

χ-2

当x=3时，

原式=一丝

3-2

=-5.

2_

15.(2022•营口)先化简，再求值：Q+1-殳&_)⅛⅜tl,其中α=√ξ+∣-2∣-(1)-1.

a÷la+12

【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，接着把分子分母因式分解，则约分得到原式=

≤2,然后根据算术平方根的定义、绝对值和负整数指数幕的意义计算出〃的值，最后把。的值代入计

a+2

算即可.

2

［解答］解：原式=（a+l）T5+2a）让二

a+1（a+2）2

=a2+2a+l-5-2a.a+1

a+1（a+2）2

=」24.a+］

a+1（a+2）2

=(a+2)(a-2).a+1

a+l(a+2)2

—-a--~,2

a+2

*∙^ο=√9+∣-2∣-(A)^'=3+2-2=3,

2

-.选择题

1.（2023•杨浦区二模）下列单项式中，孙2的同类项是（）

A.x3y2B.x^yC.2xyzD.2x2γ3

2.