2023年高考第三次模拟考试卷-数学（北京B卷）（解析）

2023年高考数学第三次模拟考试卷

高三数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第一部分(选择题40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项。

1.已知集合A={x∣-2<x<2},B={Λ∣0<X≤3},则AUB=()

A.{x∣-2<x≤3}B.{x∣0<x<2}C.{x∣-2<x≤0∣D.{x∣2<x<3}

【答案】A

【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案.

【详解】根据并集的运算可知，AuB={x∣-2<x<2}u{x∣0<x≤3}={x∣-2<x≤3},

故选：A.

2.设复数Z满足(l+2i)z=5i,则Iw=()

A.ɪB.坦C.√5D.5

22

【答案】C

【分析】根据复数的四则运算得到z=2+i,再根据模长公式求解即可.

【详解】因为(l+2i)z=5i,

5/5z(l-2z)

所以Z-=z(l-2z)=2+z,

1+2/5

所以IZl=石,

故选：C.

3.在数列｛““｝中，«i=2,2α,,+∣-2α,,=l,贝IJan）I的值为（）

A.52B.51C.50D.49

【答案】A

【分析】由题判断出函数为等差数列，即可求出.

【详解】由题意，数歹∣J｛q｝满足2a,,tl-2为=1,即an+l-¾=∣,

又由4=2,所以数列｛4,,｝为首项为2,公差为T的等差数列，

所以—=4+100d=2+100x；=52.

故选：A.

4.在卜的二项展开式中，χ2的系数是（）

A.8B.-8C.10D.-10

【答案】D

【分析】利用二项式定理的通项公式，直接求出一的系数.

rr2frv

【详解】卜的二项展开式的通项公式为：7；tl=C^-（-2）χ-=C；（-2）√-,

要求χ2的系数，只需5-3r=2,解得：厂1.

所以f的系数是：¢（-2/=-10.

故选：D.

TT1

5.iiθ=-+2kπ,%∈Z''是"sine=—”的（）

62

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.

【详解】9=工+24万，A:eZ时，sin0=sin∣2kπ+ɪ∣=sinɪ=ɪ

6V6762

θ-~+2kπ,&eZR寸，sin，=Sin（2%乃+∙^）=sin至=，，

6V6J62

JT1

所以“夕=?+2版■,kwZgsinθ=]”的充分而不必要条件，

故选:A.

6.已知抛物线C:V=4x的焦点为F，抛物线C上一点尸到点F的距离为3,则点尸到原点的距离

为()

A.2B.3C.2√2D.2√3

【答案】D

【分析】由抛物线的定义，将抛物线C上一点P到焦点的距离转化为到准线的距离，列方程求出点P

的坐标，进而得出点P到原点的距离.

【详解】抛物线C:y2=4x的准线为后-1,

由题意，设P(标九)，PF=3=⅞-(-l),∙∙.⅞=2,P(2,±2√2),

则点P到原点的距离为√4+8=2√3,

故选：D

7.已知圆C：(x-3)2+y2=9,过点(1,2)的直线/与圆C交于A,B两点,贝∣1弦长度的最小值

为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由题意，可得当直线/垂直于过圆心C与定点O(1,2)的直线C。时，弦,却长度取得最小

值.

【详解】解：由题意，因为(1-3),+22=8<9,所以点。(1,2)在圆C内，

因为直线/过点0(1,2)与圆C交于A,B两点,

所以当直线/垂直于CD时弦IABl长度取得最小值，

22

因为∖CD∖=λ∕(3-l)+(0-2)=2√2,

所以IABL,=27Z^2^∣C0∣2=2收两=2，

故选：B.

8.明朝早起，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海,

形成了一套先进的航海技术——“过洋牵星术”，简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰

在填空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断水位.其采用的主要工具是牵星板，其由12块

正方形模板组成，最小的一块边长约2cm(称一指)，木板的长度按从小到大均两两相差2cm,最大

的边长约24cm（称十二指）.观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约

为72cm,使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰依高低不

停替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是

几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板,

则sin22约为（）

11

12U

一12-

A.B.3-6-D.

3537

【分析】根据题意得到六指，进而得到tanc,再结合二倍角的正弦公式和商数关系求解.

【详解】由题意知：六指为2+5x雷5,

所以tanα=乜=L

726

所以sinIa=2sinacosa=、呼'。。，：

sin^a+cos^a

2tanα2×j_12

tan2α+I(Ijɪ37'

故选：D

9.双曲线C：*一卫=1（a>0,6>0）的左、

右焦点分别为B、F,过B的直线与双曲线C的右支

ab2

在第一象限的交点为A,与y轴的交点为B,且AABB为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A.√2B.£C.√2+lD.√3+l

【答案】B

【分析】为等边三角形，则忸制=为，480=60。，故sinN"8O=E=且，得到离心率.

2a2

【详解】聪为等边三角形，则即|=2«,

VBFO中，/4Bo=60。，故SinNGBo=些J=工=且，故e=£=百.

BFl∖2a2a

故选：B

10.已知正方体ABC。-ABCl。的棱长为2,点P为正方形AB8所在平面内一动点，给出下列三

个命题：

①若点P总满足尸。1DCx,则动点P的轨迹是一条直线；

②若点P到直线BB,与到平面CDD1C1的距离相等，则动点P的轨迹是抛物线；

③若点P到直线DDl的距离与到点C的距离之和为2,则动点P的轨迹是椭圆.

其中正确的命题个数是（）

A.0B.ɪC.2D.3

【答案】C

【分析】根据正方体中的线面垂直以及线线垂直关系，即可确定满足满足PAG的动点尸的轨

迹，从而可判断①；利用线线关系将点线距离转化为点点距离，结合圆锥曲线的定义即可判断动点P

的轨迹，即可得判断②③，从而可得答案.

【详解】对于①，如图在正方体ABa）-A4CQ中，连接切入CA,

在正方体中，因为四边形CDDC为正方形，所以。GLCR,

乂BC上平面CDDC,OGU平面COAG,所以BC，£>G，

乂CACBC=C,,BCU平面BCDl,所以OG，平面BCD1,

平面BCDc平面ABCD=BC,Pe平面ABCD,点P总满足PR1DCt,

所以Pe平面8CQ,所以PeBC,则动点尸的轨迹是一条直线，故①正确;

对于②，BBC平面ΛBCO=5,Pe平面438,则点P到直线BBi等于P到B的距离，

乂P到平面CDD1C1的距离等于P到DC的距离，

则P到B的距离等于尸到。C的距离，由抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，故②正确:

对于③，点P到直线OA的距离等于尸到。的距离，所以P到。的距离与到点C的距离之和为2,

Q∣J∣PD∣+∣PC∣=2=∣DC^,则点P的轨迹为线段。C,故③不正确.

所以正确的命题个数是2.

故选：C

第二部分(非选择题共IlO分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

II.函数/(X)=Ig(X+1)+」7的定义域为_____________.

X-I

【答案】(T』)(1,用)

【分析】根据题意，列出不等式，求解即可得到结果.

【详解】因为函数因X)=Ig(X+1)+—、

X-I

[x+l>0,

则｛1八，解得x>T且"1

x-l≠0

所以函数的定义域为(-1,1)(1,”)

故答案为：(1,M)

,,2兀,

12.已知q/是夹角为彳的两个单位向量，右向量α=3e∣-Ze?,则4∙q=.

【答案】4

【分析】直接由数量积的定义计算即可.

【详解】依题意得，e2=Ilcosɪ=--,于是α∙e∣=(3e∣-Ze?)。=3eJ-2e∣∙e?=3+1=4.

故答案为：4

13.袋子中有7个大小相同的小球，其中4个红球，3个黄球，每次从袋子中随机摸出1个小球,

摸出的球不再放回，则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是.

【答案】

【分析】利用条件概率的公式计算即可.

［详解】记事件A=｛第1次摸到红球),事件8=｛第2次摸到红球｝,

第1次摸到红球的事件种数MA)=4x6=24,

在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的事件种数〃(AB)=4x3=12,

ɪ

则小)=嚅ν2

故答案为：ɪ.

Tr

14.在ABC中，角A,B,C的对边分别为α,"c,若c=3,C=-,SinB=2sinA,贝IJa=

【答案】√3

【分析】由正弦定理得到b=2α,再由余弦定理求出。的值.

【详解】由正弦定理得：b=2a,

5a2-C2_5a2-9_1

再有余弦定理得…。=

2×2a∙a4a22

解得：a=∖∣3.

故答案为：B

15.对于满足一定条件的连续函数/(X),存在一个点%,使得/(x0)=Λ0,那么我们称该函数为“不

动点”函数，而称%为该函数的一个不动点，现新定义：若占满足/(%)=-%,则称%为了(%)的

次不动点，有下面四个结论

①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点

③当I≤α4∙∣时，函数/(X)=Iogz(4'-α∙2"+l)在［0,1］上仅有一个不动点和一个次不动点.

④不存在正整数根，使得函数/(x)=JeX-gX-加在区间［0,11上存在不动点,其中，正确结论的序

号为.

【答案】②③

【分析】举反例偶函数/(X)=V，利用"不动点”、"次不动点”的定义即可判断①；

对于②结合奇函数定义及性质即可判断;

对于③首先利用''不动点''定义得到4'-a-T+l=2'及利用"次不动点'’的定义得4'-4•2,+1=5，再

分离变量，利用函数单调性即可求得«的取值范围；

对于④利用“不动点”得到Je，-L-α=x,分离变量后得至∣Jα=e'-9-χ2,将问题转化为函数零点

问题即可求解.

【详解】对于①:取函数/(X)=/(0)=0,。既是“X)的不动点，又是“X)的次不动点，故①

错误；

对于②:定义在R上的奇函数满足/(0)=0,故②正确；

对于③:当Iog2(4'-a2+l)=x时，.∙.4Λ-Ω∙2Λ+1=2S即α=2jt+∕-L

令2<=f,fe［l,2］,.∙∙ɑ=f+1-l在区间［1,2］上单调递增，α=2'+/7在［0,1］上单调递增，满足

log2(4=a-2*+l)=x有唯一解;

当log2(4Λ-67∙2V+1)=-X时，.∙.4v-α∙2x+l=!即α=z^ɪ-ɪ.

令2』，PL2］,.∙.α=r+1T在区间［1,2］上单调递增，α=2*+5-∕∙在［0,1］上单调递增，满

足l°g∣(4'-a2+l)=x有唯一解；综上l≤q≤］时函数/(x)在［0,1］上仅有一个不动点和一个次不动

点，故③正确；

对于④:假设函数/(X)=P呆=在区间［0,1］上存在不动点，则/(X)=X在［0,1］上有解，即

a=e*-；X-X2在［(),1］匕有解，令ZM(X)=e*-gx-χ2,则/(x)=e*-g-2x,再令“(x)=e*-g-2x,

则"'(x)=e*-2,令〃'(x)=0,解得X=In2,所以〃(x)在Qln2)上单调递减，在(In2,l)上单调递增，

所以"(x)mM="(ln2)=2-J-21n2=g-21n2=lne5-ln4=ln√7-ln√^>0,

所以机(x)>0在［0,1］上恒成立，所以MX)在［0/上单调递增，

3

所以"(x)m⅛=m(0)=l,w(x)πm=%⑴=e-］,

a

所以实数。满足IMaWe-授，存在正整数“=1满足条件，故④错误：

故答案为：②③

【点睛】本题考查的是函数的新定义问题，试题以函数和方程的有关知识为背景设计问题，难度较

大.已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

(I)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决：

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的

图象，利用数形结合的方法求解

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.在“IBC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,J已知匕SinA=√L?cosB.

(1)求角8的大小：

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得A3C存在且唯一确定，求

,ABC的面积.

条件①：a=4,b=3；

条件②：c-a=∖,b=x∕l;

条件③：c=3,COSC=∙^∙.

14

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(Db=]

(2)见解析

【分析】(1)由正弦定理的边化角公式得出角8的大小；

(2)选①：由余弦定理以及判别式求解即可；选②：由余弦定理得出《J进而求出面积；选③：

由正弦定理得出b,进而由余弦定理得出即可得解..

【详解】(1)因为bsin(=WacosB,所以SinBSinA=正SinACoS8,

又SinAN0,所以tanB=月.

因为Be(Om),所以B=1.

⑵选①：由余弦定理"=/+<?-24ccosB可得，9=l6+c2-8c×^.

即C2-4C+7=0,1⅛时A=16-28<0,无解，不合题意.

I7—∕^t2IC~_aC

选②：由余弦定理可得^~,整理得/+〃_6=0,

∖c-a=ι

解得〃=2或a=—3(舍)，即c=3.

满足一ABC存在且唯一确定，贝ILABC的面积为LCSinβ=l×2×3×-=—.

2222

选③：SinC=JlJ也T=返,由正弦定理可得b=*g=:7套=".

V114J14SinC3√21

14

由余弦定理A2=∕+c2-2αccos8可得，7=∕+9-3α,BPa2-3a+2=0.

解得α=l,α=2,

当α=l时，CoSC=工^~~7==--,不合题意;

2×1×√714

所以α=2,满足A4?C存在且唯一确定，

则“A6C的面积为LaCSinB='x2χ3X且

2222

17.如图，在四棱锥P—ASCD中，D4_L平面ABCr>,AB//CD,AB±AD,AB=I,

PA=AD=CD=I.E为棱PC上一点、,平面ABE与棱尸Q交于点尸.再从条件①、条件②这两个条

件中选择一个作为己知，完成下列两个问题

(2)求二面角B-Q-P的余弦值.

条件①：BEHAF-,

条件②：BELPC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

⑵立

7

【分析】(1)若选条件①，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形AfiE尸为平行四边形,

又AB=；C。即可得E尸为.PS的中位线即可得出证明；若选条件②，利用勾股定理可得E为PC

的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得8〃即，即可得出证明；

(2)建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面BCT7的法向量为〃7=(2,-1,3),易知AF是

平面PS的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果.

【详解】(1)选条件①：BE//AF

因为45∕∕CD,ABg平面PC。，CDU平面PC£),

所以AB〃平面PCZ)

因为平面ABEFC平面PCD=EF,

所以A3〃所

又BEIIAF,所以四边形ABE尸为平行四边形.

所以AB〃所且AB=砂.

因为AB//C。且AB=LC£>,所以EFHCD且EF=[cD.

所以EF为APCD的中位线.

所以尸为PO的中点.

选条件②：BE±PC.

因为PAL平面ABC£>,48,AOU平面ABCD,所以％，AB,PAL4).

在RLPAB中，PB-^AB2+AP2=√5.

在直角梯形ABC。中，

由A3=l,AD=CD=2,可求得BC=石，所以依=BC.

因为5E"LPC,所以E为尸C的中点.

因为ABCD,ABa平面PC。，8U平面PCD,所以AB〃平面PCD.

因为平面ABEFC平面尸Cr)=EF,所以AB〃防.

所以CD〃所,

所以尸为PD的中点；

(2)由题可知因为∕¾L平面ABCZ),所以Λ4∙LAB,PA_LAD.

又ABL4),所以A&4ZAP两两相互垂直.

如图建立空间直角坐标系A-XyZ,

Z

Bx

则A(0,0,0),8(1,0,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),D(0,2,0),F(O,1,1).

LlLU

所以BC=(1,2,0),βF=(-1,1,1).AF=(OJJ).

ih∙BC=O[x+2λy=0,

设平面BCF的法向量为M=(X,y,z),则，g∣Ja

m∙BF=0[-x+ʃ+Z=O.

令y=T,贝IJX=2,z=3.于是质=(2,T,3).

因为AB-Z平面PA£),且A8〃C£),所以C£>_L平面尸Ar>,

又AFU平面240,所以AF_LC£>.

又∕¼=AD,且尸为PD的中点，所以AFl.PD.CDCPD=D,CD,PDu平面PCD,

所以AFJ_平面Pa)，所以AF是平面PC。的一个法向量.

山题设，二面角B-FC-P的平面角为锐角,

所以二面角8-FC-P的余弦值为五.

18.网购生鲜蔬菜成为很多家庭日常消费的新选择.某小区物业对本小区三月份参与网购生鲜蔬菜

的家庭的网购次数进行调查，从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取10户，分别

记为A组和B组，这20户家庭三月份网购生鲜蔬菜的次数如下图：

/组

98

8753

478

359

假设用频率估计概率，且各户网购生鲜蔬菜的情况互不影响•

(1)从一单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中随机抽取1户，估计该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20

的概率；

(2)从一单元和二单元参与网购生鲜蔬菜的家庭中各随机抽取1户，记这两户中三月份网购生鲜蔬菜

次数大于20的户数为X,估计X的数学期望E(X);

(3)从A组和B组中分别随机抽取2户家庭，记。为A组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数

大于20的户数，乙为8组中抽取的两户家庭三月份网购生鲜蔬菜次数大于20的户数，比较方差

。信)与。值)的大小.(结论不要求证明)

【答案】⑴、3

(2)1

【分析】(1)根据古典概型的概率公式即可求出；

(2)由题可知，X的可能取值为0,1,2,再分别求出对应的概率，由期望公式即可求出;

(3)根据方差公式计算可知,D(⅞)=D(⅛).

【详解】(1)设“该户三月份网购生鲜蔬菜次数大于20”为事件C,在A组10户中超过20次的有3

3

户，由样本频率估计总体概率，则P(C)=三.

(2)由样本频率估计总体概率，一单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次

37

概率为本二单元参与网购家庭随机抽取1户的网购生鲜蔬菜次数超过20次概率为木，X的可能

取值为0,1,2,所以,

P(X=O)=I得⅛'P(X=D4“729

x1+1X—=—，

-⅛⅛-⅛1050

3721212921

P(χ=2)=-×-=——,E(X)=Ox——÷1×-+2×-=1.

101010010050100

(3)依题可知，3的可能取值为0，1，2,且刍，么服从超几何分布,

P侑=1)=等='，^.=2)=f-=⅛

*=°)=3W'b-zl()ɪɔjo

Pe=O)=署=［，2©=1)=等=(C_7

P©=2)=C^=15

joɪɔC∣0ɪɔ

3377

因为EK)=2x而=1,E(¾)=2×-=-,所以,

28

75

鹤)=所以，D(⅞)=D(⅞2).

19.已知/(x)=；x2-In(X+1)+Or(αeR).

⑴当a=2时，求函数”x)在点(0,0)处的切线方程;

(2)求证：ɪʃ2+x≥ln(x+l)；

⑶若/(x)≥0在Xwo,4w)恒成立，求。的取值范围.

【答案】(I)V=X

(2)证明见解析

⑶[L+∞)

【分析】(I)当a=2时，求出了'(O)的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；

(2)当α=l时，利用导数求得f(x)min=f(0)=0,即可证得结论成立；

(3)分析可知对任意的x≥0,/(Λ)≥∕(0)=0,对实数。的取值进行分类讨论，利用导数分析函

数f(x)在[0,+e)上的单调性，验证/(x)≥0对任意的x≥0能否恒成立，综合可得出实数。的取值范

围.

【详解】(1)解：Ilja=2时，ʃ(ɪ)=—A,^—Jn(x+1)+2x,则/'(x)=x------+2,

则A。)=。，r(o)ɪi,

所以，函数/(χ)在点(0,0)处的切线方程为y=x.

(2)解：当。=1时，/(x)=∣√+x-ln(x+l),该函数的定义域为(T,+∞),

则rα)=χ+ι--L=(*+ι)τ=χ(*+2),

v,x+lx+lx+1

当T<x<0时,f'(x)<O,此时函数"x)单调递减,

当X>o时，∕qχ)>o,此时函数/(X)单调递增，

所以，/(x)>∕(0)=0,即gχ2+χ≥in(χ+l).

(3)解：/(x)ɪɪɪ2+αx-ln(x+l),则尸(X)=X+”——!ʒ,⅛ʃ(O)=0,

由题意可知，对任意的x≥0,/(x)≥∕(0)=0.

令g(x)=x+α-^j,其中x≥0,则g，(X)=I+(,+］1>0,

所以，函数g(x)在［。,+8)上单调递增，所以，g(x)mjιι=g⑼=α-l.

①当α-l≥0时,即当时,∕,(x)>∕,(0)=α-l≥0,

此时函数/(X)在［0,+8)上单调递增，

故当x≥0时,/(x)≥∕(0)=0,合乎题意；

②当a—1<0时，即当a<1时，由r(x)=0可得X+”=占，即d+(α+l)x+α-l=0,

此时A=(α+l)2-4(α-l)=∕-2α+5>0,

解得X=2α+5,X=-(。+1)+LJ2α+5,则不<左，

1222

由书达定理可得Xι∙¾=α-l<0,必有看<0<々，

当0<x<W时，Γ(x)<O,此时函数/(x)单调递减，则/(Λ2)</(O)=0,不合乎题意.

综上所述，实数。的取值范围是［l,+∞).

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(χ)>g(χ)(或/(χ)<g(χ))转化为证明“X)-g(x)>O(或

/(x)-g(x)<O),进而构造辅助函数MX)=/(x)-g(x);

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩：二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.

22

20.已知椭圆C:2+京=im>∕7>0),点A((U)为椭圆C的上顶点，设直线/过点E(TO)且与椭

圆C交于P,Q两点，点只。不与C的顶点重合，当尸X轴时，IPQI=

(1)求椭圆C的方程:

(2)设直线A2A。与直线x=3的交点分别为AAN,求IMNl的取值范围.

【答案】⑴二+产=1

4

(2)¥，3卜(3，+8)

【分析】(1)利用椭圆上的点求椭圆方程；

(2)分类讨论，设直线/的方程，与椭圆联立方程组，设P,Q两点坐标，得直线4RA。的方程,

得M、N两点的坐标，借助韦达定理和二次函数的性质，求解IMM的取值范围.

【详解】(1)点4(0,1)为椭圆C的上顶点，；.6=1,

当尸QLX轴时，点P,。关于X轴对称，不妨设点尸在X轴上方，

又因为此时IPQI=G,点E(TO)在线段PQ上，所以，点P坐标为\,日),

13

故-⅛+==l,解得α=2,

a4

所以椭圆C的方程为三+y2=l.

4'

(2)当直线/不存在斜率时，则直线/的方程为x=-l,

不妨设点P在X轴上方，Q在X轴下方，

则(闱，2卜,制，

所以，直线AP的方程为y=l-ɪX+1,当χ=3时，解得点M的纵坐标为yιw=4-±叵，

k/2

同理，解得点N的纵坐标为％=4+孚，

所以∣Λ17V∣=M—洞=3√5.

当直线/存在斜率时，设其方程为y=Mχ+l),点R。与椭圆C的顶点不重合，则ZKO且女#±1,

y=R(x+l)

由M消y并整理得,(1+4⅛2)X2+8⅛2X+4⅛2-4=0,易得△>(),

——+y=l

14

设P(XI，，1)，。(均％)，则ɪi+x2=]+必2,J"?=]+二2

xχ2

lι-2∣=y∣(xl+x2)-4xlx2=4—

y.—l

又直线AP的方程为ʃ=+1,

当x=3时，解得点M的纵坐标为W=3（/二1）+]=N+3”-3:

王演

同理，解得点N的纵坐标为%=N也1）+1=&+3%-3,

MX?

x∣+ɜʃj—3%+3%—3

所以，IMM=M-y7J=

,

(xlx2+3>1X2-3X2)-(x2x1+3xiy2-3x1)3∣1-A∙∣∣x1-x2∖

2

3,I4√1+3ΛJ______I______

=即一⑷1+4〃=3/+3%2=31+37

4无2-4∣Λ+1∣∖(∕c+l)2

l+4p^

∣3(k+l)2-6(k+l)+4Γ~46

=T07i?=√(Γκi7-二

令f=J;,贝∣Jr≠1目JH1,

+1≥苧且PVfiVIW3.

所以IMNl=344/-6/+3=3.

综上，IMVl的取值范围是

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决

相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.

21.对于每项均是正整数的数列A吗、%、L、氏，定义变换7；,刀将数列A变换成数列工（可:〃、

q-1、a2-KLʌα,,-1.对于每项均是非负整数的数列8讷、%、L、bm,定义变换心，1将

数列8各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列（（3）；又定义

S（B）=2佃+2⅛++⅛）+⅛+⅛++⅛.设