2023年高考数学一轮复习习题：第七章第5节　直接证明与间接证明

第5节直接证明与间接证明

考纲要求1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思

考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.直接证明

内容综合法分析法

从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立

利用已知条件和某些数学定义、公理、定

的充分条件,直到最后把要证明的结论归

定义理等，经过一系列的推理论证，最后推导

结为判定一个明显成立的条件(已知条

出所要证明的结论成立

件、定理、定义、公理等)为止

实质山因导果执果索因

框图

…T。，户臼I垣卜1I叵I1iT得成到立一*个的明薪显I

表示

文字因为……所以……要证……只需证……

语言或由……得……即证……

2.间接证明

间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.

(1)反证法的定义：假设原命题丕成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理,

最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立的证明方法.

(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进

行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.

•——常用结论与微点提醒

I.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻

找已知的必要条件.

2.综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法.

3.用反证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾,

矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.

诊断自测

►•思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“，”或“X”)

(D分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()

(2)用反证法证明结论“α>∕时，应假设Z6”.()

答案(1)×(2)×

解析(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件.

(2)应假设''"W∕√'.

〉教材衍化

2.若P=∖ja+6+7a+7,(2=∙χ∕α+8+^«+5(«^0),则P,Q的大小关系是()

A.P>QB.P=QC.P<QD.不能确定

答案A

解析假设P>Q,只需产>Q2,gp2α+13+2√(«+6)^+7)>20+13+2√(α+8)(0+5),只需

a2+13a+42>α2+l3α+40.θτ⅛42>40⅛±,所以P>Q成立.故选A.

3.实数α,b,C满足α+Z>+c=O,ahc>O,则：+[+(的值()

A.一定是正数B.一定是负数

C.可能是0D.正、负不确定

答案B

解析由α+6+c=0,abc>O得α,b,c中必有两负一正，不妨设“<0,b<0,c>0,且⑷<∣c∣,

则玩？从而一另，而胸，所以5+H%°∙

►•考题体验

4.命题“对于任意角仇COSilJ-Sirf4O=Cos2/'的证明："cos，。一sin%=(COS20—siMOXcos2。

÷sin20)=cos20-sin20=cos2Θ",其过程应用了()

A.分析法B.综合法

C.综合法、分析法综合使用D.间接证法

答案B

5.(2020.西安月考)利用反证法证明：若m+√}=0,则x=y=O,应假设为()

A.X,y都不为0

B.X,y不都为0

C.X,y都不为0,且XWy

D.X,y至少有一个为0

答案B

解析x=y=O的否定为XWo或yW0,即x,y不都为0,选B.

6.(2020.安庆检测)在不等边三角形中，.为最大边，要想得到A为钝角的结论，三边a,b,

c应满足.

答案b2+c2<a1

按+/一屋

解析根据余弦定理，CosA=—说一<0,

所以b2+ci<a1.

考点分层突破考点聚焦・题型剖析

考点一综合法的应用师生共研

【例1】设小b,C均为正数，且。+8+c∙=l,证明：

(l)ab+bc+cawg；

Q2RcP-

(2)ι-+-+^^1.

''bca

222221

证明(1)由a÷⅛≥2fz⅛,b+c^2bc9c+a^2ca,

得6Γ2÷⅛2÷C2^67⅛÷⅛C÷Ca.

由题设得(α+8+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,

所以3(6r⅛÷⅛c+c6r)≤1,即ah+hc+ca^^9

当且仅当iia=b=cff时等号成立.

〃2/

(2)因为石+0224,—+c≥2⅛,—+tz≥2c,

当且仅当“〃2=抉=C2”时等号成立,

。2b?

故石+7~+5+(α+8+c)N2m+A+c),

后h2C2

则7十一+—Nα+8+c.

hca

所以5。2+吩日¢2

感悟升华1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的

逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理,

最后导出所要求证结论的真实性.

2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.

【训练1】本例的条件不变，证明储+炉+/当

证明因为“+%+c=l,

所以1=(α+8+c)2=/+⅛2+c2+208+28c+20c,

因为24bW42+82'2∕?CWb2+c2,2αcWq2+c2,

当且仅当"a=b=c”时，等号成立，

所以240+28c+2Qc≤2(α2+按+c2),

所以1・〃2+抉+/+2(/+62+”)，

即α2+⅛2+c2≥∣.

考点二分析法师生共研

【例2】若m⅛≡(1,+∞),证明ʌ/ɑ+Xdl+"•

证明要iiy∣a+b<y∣I+ab,

只需证Na+b)2<(y/1+〃。)2,

只需证a-∖-b—1—ah<O,即证(α—1)(1—h)<0.

因为α>l,b>l,所以。一1>0』一XO,

即(ɑ-l)(l一份<0成立，所以原不等式成立.

感悟升华分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，

而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条

件时命题得证.

【训练2】己知aABC的三个内角A,B,C成等差数列，A,B,C的对边分别为mb,

c.

11ɜ

求证：

Fa-↑-b+Kb-χ-c=a-,rb1-r.c

113

证明要证F+k=F⅛-,

a-rbb-vc。十。十C

rr-"+8+c,α+b+c,v,c,a

即证—T7~+>.=3,也就k是tF+k=l,

a-vbb-∖-ca-↑-bb-τc

只需证c3+c)+〃(〃+》)=(〃+b)S+c),

需证c2+tz2=πc+⅛2,

又三内角A,B,C成等差数列，故8=60。，

由余弦定理，得b2=c2+a2-2accos60°,

222112

即b=c+a~act故c+a=ac+b成立.

于是原等式成立.

考点三反证法师生共研

【例3】设数列｛斯｝是公比为4的等比数列，S“是它的前”项和.

(1)求证：数列｛S,｝不是等比数列；

(2)数列｛S.｝是等差数列吗？为什么？

⑴证明假设数列｛S.｝是等比数列，则Z=SlS3,

即同(l+q)2=αι∙4r(l+q+q2),

因为αι≠0,所以(l+q)2=l+q+q2,

即q=0,这与公比q≠0矛盾，所以数列｛S,｝不是等比数列.

(2)解当q=l时，Sn=na↑,故｛*｝是等差数列；

当(7W1时，｛S,,｝不是等差数列，否则2S2=S+S3,

即2α∣(l+q)="ι+αι(l+q+q2),得q=0,这与公比qW0矛盾.综上，当q=l时，数列｛SJ

是等差数列；当qWl时，数列｛S,｝不是等差数列.

感悟升华L适用范围：当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形

式出现时，宜用反证法来证.

2.关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、

公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.

【训练3】已知“，b,c,J∈R.且α+b=l,c+d=1,αc+庆Z>l.求证：a,b,c,"中

至少有一个是负数.

证明假设dh,c,d都是非负数，

因为“+6=c+4=l,所以（α+6）（c+J）=l,

即ac+bd+ad+bc=1,又ac-i^hd+ad+bc^ac+hd,

所以αc+"Wl,与题设矛盾，故假设不成立，

故4,b,c,"中至少有一个是负数.

、课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分

析法是逆推法；⑤反证法是间接证法.其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

答案D

解析由定义可知①②③④⑤都正确，选D.

2.若a,b,C为实数，且“<⅛<0,则下列命题正确的是（）

A.ac2<bc2B.a2>ab>b2

11、ba

C.^^<7D.^^>7

abab

答案B

解析a2-ab=a（a-h）,'."a<h<O,.'.a-h<O,a2-ab>0,a2>ab.φ

又ab~b2-b（a~b）>0,.'.ab>b2,②

由①②得a2>ab>h2.

（•厦门月考）用反证法证明：若整系数一元二次方程）有有理数根,

3.2020αχ2+fcc+c=om≠θ

那么α,b,C中至少有一个是偶数.用反证法证明时，下列假设正确的是（）

A.假设〃，h,C都是偶数

B.假设α,b,C都不是偶数

C.假设α,b,C至多有一个偶数

D.假设a,b,C至多有两个偶数

答案B

解析“至少有一个”的否定为“都不是”，故B正确.

4.在aABC中，sinAsinC<cosAcosC,则AABC一定是（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

答案C

解析由SinASinC<cosAcosC得cosAcosC-sinAsin。>0,即COS（A+O>0,所以A+C是

TT

锐角，从而B>],ZVlBC必是钝角三角形.故选C.

5.分析法又称执果索因法，已知x>0,用分析法证明∙√1+x<l+5时,索的因是（）

A.Λ2>2B.Λ2>4

C.x2>0D.x2>l

答案C

解析因为QO,所以要证√币<1+不只需证（护金）2<（1+今2，即证O告，即证Λ2>0,

因为QO,所以χ2>0成立，故原不等式成立.故选C.

6.（2021.西安模拟）已知”,b,c∈R,若*1且如注一2,则下列结论成立的是（）

A.a,b,C同号

B.b,C同号，α与它们异号

C.a,C同号，人与它们异号

D.b,C同号，。与4C的符号关系不确定

答案A

解析由号1知3与加号，若/）且呆O,不等式3+如-2显然成立，若，且10,则

一沁一2H）+（-»2寸]一飘司>2,即/宗—2,这与杆念—2矛盾，故

hC

7>0且70,即G,b,C同号.故选A.

二、填空题

7.布+币与2巾+小的大小关系为.

答案√6+√7>2√2+√5

解析要比较加+币与2加+小的大小，

只需比较（#+币）2与（2吸+小F的大小，

只需比较6+7+2日与8+5+4、所的大小，

只需比较顺与2√而的大小，只需比较42与40的大小，

V42>40,Λ√6+√7>2√2+√5.

8.下列条件：①加>0；②帅<0；③G>0,⅛>0;®a<0,KO.其中能使，月22成立的条件的

序号是.

答案①③®

解析要使与+£22,只需］>0且£>0成立，即α,b不为O且同号即可，故①③④均能使§+

注2成立.

9.若二次函数./U)=4χ2-2(P—2)X—2p2—p+1,在区间［-1,1］内至少存在一点c,使#c)>0,

则实数P的取值范围是.

答案(-3,1)

解析若二次函数yu)WO在区间［—1』］内恒成立，

∫Λ-l)=-2p2++l≤0,

则彳ɔp

hl)=-2p2-3p+9W0,

3

解得PW—3或〃21

故满足条件的P的取值范围为(一3,1).

三、解答题

10.已知％y,z是互不相等的正数，且x+y+z=l,求证：Q-l)(ɪ-1)Q-1)>8.

证明因为X,y,Z是互不相等的正数，且x+y+z=l,

所以'—1=3=∑⅛岖，①

XXXX

1l-yx+z2∖∕^

-1--=>ι②

yyyy

ɪ-l=l-zx+y2∖[xy^

③

ZZZZ

又无，y,Z为正数，由①X②X③，

得—M

11.已知〃>5,求证：y∣a-5-y∣a-3‹∖∣a-2-y[cι.

证明要证Na—5-y∣a-3<y∣a-2—y[a,

只需证-5-∖-y[a‹∖∣a—3~∖~y∣a—2,

只需证Na—5+y[a)2<(y∣a-3+y∣a-2)2,

只需证2a—5+2y∣a2—5a<2a—5+2y∣a2—5a+6,

只需证Ma2—5α<d屋一5r+6,

只需证屏一5Q<Q2-5Q+6,

只需证0<6,

因为0<6恒成立，

所以7a-5-y∣a_3<∖∣a-2-y［^成立.

B级能力提升

12.(2021∙长春模拟)①已知p3+q3=2,求证p+qW2,用反证法证明时，可假设p+q>2;

②设“为实数，&)=x2+0v+”,可证贝1)|与直2)|中至少有一个不大于今由反证法证明时可

假设网)|丛且火2)|当以下说法正确的是()

A.①与②的假设都错误

B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确，②的假设错误

D.①的假设错误，②的假设正确

答案C

解析用反证法证明时，应假设结论不成立，所以①正确；设”为实数，yU)=χ2+0χ+”,

求证IAI)I与次2)冲至少有一个不大于;，用反证法证明时假设应为IAl)K且次2忌，所以②