人教版初中数学七年级下册全册教学课件

5.1相交线

5.1.1相交线学习目标1.理解邻补角与对顶角的概念；（重点）2.掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单实际问题.（难点）新课导入观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.知识讲解一、邻补角123ABCDO如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为____________，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________.反向延长线∠2,∠3例如：剪刀剪东西的过程中,∠AOC与∠AOD,∠AOC与∠BOD是什么关系？AOCBD

∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.

∠AOC和∠AOD有一条公共边AO，且∠AOC的另一边是∠AOD另一边的反向延长线.?邻补角二、对顶角12ABCDO1.对顶角的概念：如果两个角有一个公共顶点，并且其中一个角的两边是另一个角的两边的

，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______.反向延长线∠2例1下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）12C.12D.D12A.12B.提示：对顶角是由两条相交直线构成的；只有两条直线相交时，才能构成对顶角．2.对顶角的性质：猜想：对顶角相等COABD4321问题：∠1与∠3在数量上有什么关系呢？思考：怎样说明∠1=∠3？OABCD4321例1如图，已知：直线AB与CD相交于点O,试说明:∠1=∠3，∠2=∠4.

解：因为直线AB与CD相交于O点,所以∠1+∠2=180°

∠2+∠3=180°，所以∠1=∠3.同理可得∠2=∠4.想一想：下图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的度数的原理吗？对顶角相等解：由邻补角的定义，得

∠2=180°－∠1=140°；由对顶角相等，得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.ab）（1342）（例2如图,直线a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度数.随堂训练

C2.如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠BOD＝30°，OE是∠BOC的平分线，则∠EOA＝

.105°3.如图，直线AB、CD相交于点O，若∠BOD＝42°，OA平分∠COE，求∠DOE的度数．

4.如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE＝90°.(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数．解：(1)∠BOE＝180°－∠AOC－∠COE＝180°－36°－90°＝54°.(2)因为∠BOD∶∠BOC＝1∶5，∠BOD＋∠BOC＝180°，所以∠BOD＝30°.因为∠AOC＝∠BOD，所以∠AOC＝30°，所以∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋30°＝120°.

5.

观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图1，图中共有

对对顶角；⑵如图2，图中共有

对对顶角；⑶如图3，图中共有

对对顶角；⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，猜测：若有n条直线相交于一点，则可形成

对对顶角；⑸若有20条直线相交于一点，则可形成

对对顶角.图1图2图32612n(n-1)380课堂小结角的名称特征性质相同点不同点邻补角对顶角对顶角相等邻补角互补②有公共顶点;③有一条公共边①两条直线相交形成的角；

①两条直线相交而成的角；②有公共顶点;③没有公共边①都是两条直线相交而成的角；③都是成对出现的②都有一个公共顶点；②两直线相交时，对顶角只有两对，邻补角有四对①有无公共边；谢谢大家第五章相交线与平行线5.1相交线

5.1.2垂线学习目标

1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点）

2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用它们解决问题.（重点、难点）新课导入观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？知识讲解一、垂线在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位置变化时,a、b所成的角α也会发生变化.）α

abbbbb）α

问题：如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数是多少？为什么？ABCDO由对顶角和邻补角的性质知，当∠AOC＝90°时，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.1.垂直的定义两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直.

注意：两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直.

（1）如果直线AB与直线CD垂直，那么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.（2）如果用l、m表示这两条直线，那么直线l与直线m垂直，可记作：

l⊥m（或m⊥l）.（3）把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足（如图中的O点）.ABCDOlm2.垂直的表示法ABCDO符号语言：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，那么AB⊥CD.因为∠AOD=90°（已知）,所以AB⊥CD（垂直的定义）.3.垂线的判定例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,

则

；

(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD=______；

(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶3，那么∠COA＝____,∠BOC的补角为

.Oab1BCAOa⊥b

90°60°150°图1图2

你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？活动1

如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？活动2折一折你能用纸折出两条互相垂直的直线吗?例2如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．解：因为∠BOE＝∠NOE，所以∠BON＝2∠EON＝40°，所以∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°，∠MOC＝∠BON＝40°.因为AO⊥BC，所以∠AOC＝90°，所以∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°，综上∠NOC＝140°，∠AOM＝50°.二、垂线的画法及基本事实问题：

(1)画已知直线l的垂线能画几条?(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?A.Bl.问题这样画l的垂线可以画几条？lO（1）如图，已知直线l,作l的垂线.A无数条lA1.放2.靠3.移4.画（2）如图，已知直线l和l上的一点A,作l的垂线.

问题这样画l的垂线可以画几条？一条lAB1.放2.靠3.移4.画（3）如图，已知直线l和l外的一点A,作l的垂线.根据以上操作，你能得出什么结论

问题这样画l的垂线可以画几条？一条垂线的性质注意：1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.CDEl1.线段AB,AC,AD,AE谁最短？

2.你能用一句话表示这个结论吗？试一试：

如图，从A点向已知直线l画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.B

A三、点到直线的距离

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成：垂线段最短.

线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.特别规定：Dl

A随堂训练1.已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是()A.相等

B.互余

C.互补

D.互为对顶角B2.如图，点C到直线AB的距离是指()A.线段AC的长度

B.线段CD的长度

C.线段BC的长度

D.线段BD的长度B3.如图,AC⊥BC,∠C=90°,线段AC、BC、CD中最短的是(

)A.AC

B.BCC.CDD.不能确定DABCC4.如图，直线AB、CD相交于点E，EF⊥AB于E，若∠CEF=58°，则∠BED的度数为

.CABEFD32°5.下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有

.

①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直；②两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直；③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直；④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直．①②③④6.如图，已知直线AB、CD相交于点O，且OE⊥AB.(1)过点O画直线MN⊥CD；(2)若点F是(1)中所画直线MN上任意一点(O点除外)，若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．解：(1)如图所示．(2)①当点F在射线OM上时．因为OE⊥AB，MN⊥CD，所以∠EOB＝∠MOD＝90°，所以∠MOE＋∠EOD＝90°，∠EOD＋∠BOD＝90°，所以∠EOF＝∠BOD＝∠AOC＝35°.②当点F在射线ON上时，如图中点F′.因为MN⊥CD，所以∠MOC＝90°＝∠AOC＋∠AOM，所以∠AOM＝90°－∠AOC＝55°，所以∠BON＝∠AOM＝55°，所以∠EOF′＝∠EOB＋∠BON＝90°＋55°＝145°，即∠EOF的度数是35°或145°.谢谢大家第五章相交线与平行线5.1相交线

5.1.3同位角、内错角、同旁内角学习目标1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角；（重点）3.从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁为简，化难为易的化归思想.（难点）新课导入6758简称“三线八角”.两条直线相交，可以构成四个角，若在图中再添加一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？BAFECD4312知识讲解一、同位角F活动1

观察∠1与∠5的位置关系：①在直线EF的同旁（右侧）②在直线AB、CD的同一侧（上方）ACBDE1234567815∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8图中的同位角还有哪些？同位角CA.(1)，(2)，(3)B.(3)，(4)

C.(1)，(2)

D.(2)，(3)，(4)

练一练：下列图形中，∠1和∠2是同位角的有（）12121212（1）（2）（3）（4）特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.变形：图中的∠1与∠2都是同位角.12121212ACBDEF12345678活动2

观察∠3与∠5的位置关系：①在直线EF的两侧②在直线AB、CD内部35∠4和∠6图中的内错角还有哪些？内错角二、内错角变形：图中的∠1与∠2都是内错角.特征：在形如“Z”的图形中有内错角.12111222ACBDEF12345678活动3

观察∠4与∠5的位置关系:①在直线EF的同旁②在直线AB、CD内部45∠3和∠6图中还有哪些同旁内角？同旁内角三、同旁内角变形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.

11112222随堂训练1.下列图形中，∠1与∠2是同位角的是()B.C.D.A.A2.如图，下列说法中不正确的是(

)A．∠1和∠3是同旁内角B．∠2和∠3是内错角C．∠2和∠4是同位角D．∠3和∠5是对顶角3.如图，写出图中∠A所有的内错角：

.∠ACD，∠ACEC4.如图，直线DE截AB

，AC，构成8个角，指出所有的同位角,内错角,同旁内角.

解：两条直线是AB，AC，截线是DE，同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8,∠6和∠3；内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.EDCBA87654321课堂小结名称特征基本图形代表字母相同点共同特征同位角同旁内角内错角FZU截线:同侧被截线:同旁截线:同侧被截线:内部截线:两侧被截线:内部121212都在截线同侧都在被截线内部这三类角都是没有公共顶点的谢谢大家第五章相交线与平行线5.2平行线及其判定

5.2.1平行线学习目标1.理解平行线的定义；2.掌握平行线的画法；（重点）3.平行线的基本事实及其推论.（重点、难点）新课导入

生活中两条直线除了相交以外，还有什么情形呢？观察下列图片，你发现了什么？知识讲解一、平行线的定义及表示思考如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交.想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？abcabcabc在木条转动过程中，存在直线a与直线b不相交的情形，这时我们说直线a与b互相平行(parallel).记作a∥b.在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.注意：平行线的定义包含三层意思：（1）“在同一平面内”是前提条件；（2）“不相交”就是说两条直线没有交点；（3）平行线指的是两条直线,而不是两条射线或两条线段．1.平行线的定义abc我们通常用“//”

表示平行.CBAD

a

∥

b

AB

∥

CDab读作：“AB

平行于CD”

读作：“a平行于b”

在同一平面内，不重合的两直线的位置关系有平行与相交两种.2.平行线的表示法二、平行线的画法（1）放（2）靠（3）推（4）画1.平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.·A·B··CDab三、平行线的基本事实及推论几何语言表达：cba2.平行线基本事实的推论（平行线的传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.因为a//c,c//b(已知）

所以a//b(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.随堂训练

2.在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是(

)A．垂直或平行 B．垂直或相交C．平行或相交 D．平行、垂直或相交AC3.有下列四种说法：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②同一平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；③直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中正确的个数是(

)A．1

B．2

C．3

D．44.下列推理正确的是（

）

A.因为a//d,b//c，所以c//dB.因为a//c,b//d，所以c//dC.因为a//b,a//c，所以b//cD.因为a//b,c//d，所以a//cCD5.如图，直线a//b，b∥c，

c∥d，那么a

∥d吗？为什么？abcd解：因为a

∥b，b∥c，所以a

∥c

(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行).

因为c∥d，所以a

∥d

(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行).谢谢大家第五章相交线与平行线5.2平行线及其判定

5.2.2第1课时平行线的判定学习目标1.掌握平行线的三种判定方法，会运用判定方法来判断两条直线是否平行；（重点）2.能够根据平行线的判定方法进行简单的推理.新课导入问题1

两条不重合的直线的位置关系有哪几种？问题2怎样的两条直线平行？相交（包括垂直）和平行两种.在同一平面内，不相交的两条直线平行.思考根据平行线的定义，如果同一平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行.但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据两条直线是否相交来判定是否平行，那么有没有其他判定方法呢？知识讲解一、利用同位角判断两直线平行（1）放（2）靠（3）推（4）画bA21aB（1）画图过程中，什么角始终保持相等？

（2）直线a，b位置关系如何？思考：判定方法1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.应用格式：

因为∠1=∠2(已知)，所以l1∥l2

（同位角相等，两直线平行）.12l2l1AB你能说出木工师傅用图中的角尺工具画平行线的道理吗？同位角相等，两直线平行.二、利用内错角和同旁内角判定两直线平行问题1：如图，由

3=2，可推出a//b吗？如何推出的呢？2ba13解：

∵

1=3(已知），

3=2（对顶角相等），

1=2，

a//b(同位角相等，两直线平行）.判定方法2：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.∵∠3=∠2(已知)，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）.应用格式：

2ba13问题2

：

如图，如果

1+2=180°，你能判定a//b吗?c2ba13解:能,∵

1+2=180°（已知），1+3=180°（邻补角的性质），

2=3（同角的补角相等），

a//b（同位角相等，两直线平行）.判定方法3：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.应用格式：

2ba13∵∠1+∠2=180°(已知)，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）.同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.①∵∠1=_____（已知），

∴AB∥CE().②∵∠1+_____=180o（已知），

∴CD∥BF().③∵∠1+∠5=180o（已知），

∴_____∥_____().ABCE∠2④∵∠4+_____=180o（已知），

∴CE∥AB().∠3∠313542CFEADB内错角相等,两直线平行同旁内角互补,两直线平行同旁内角互补,两直线平行同旁内角互补,两直线平行例根据条件完成填空.随堂训练1.如图,可以确定AB∥CE的条件是()A.∠2=∠BB.∠1=∠AC.∠3=∠BD.∠3=∠AC123AEBCD2.如图，下列说法错误的是(

)A．若a∥b，b∥c，则a∥cB．若∠1＝∠2，则a∥cC．若∠3＝∠2，则b∥cD．若∠3＋∠4＝180°，则a∥cC3.如图,已知∠1=30°,∠2或∠3满足条件

，则a//b.213abc∠2＝150°或∠3＝30°4.如图，给出下列条件：①∠B＋∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠B＝∠D.其中，一定能判定AB∥CD的条件有

(填写所有正确的序号)．①③④5.如图，已知BC平分∠ACD，且∠1＝∠2，AB与CD平行吗？为什么？解：AB∥CD.理由如下：∵BC平分∠ACD，∴∠1＝∠BCD.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠BCD，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．课堂小结文字叙述符号语言图形

相等，两直线平行

∵

(已知),

∴a∥b

相等,两直线平行∵

(已知),

∴a∥b

互补,

两直线平行∵

(已知)∴a∥b

判定两条直线平行的方法同位角内错角同旁内角∠1=∠2∠3=∠2∠2+∠4=180°abc1243谢谢大家第五章相交线与平行线5.2平行线及其判定

5.2.2第2课时平行线判定方法的综合学习目标1.进一步掌握平行线的判定方法，并会运用平行线的判定解决问题；（重点）2.掌握垂直于同一条直线的两条直线互相平行.枕木铁轨在铺设铁轨时，两条铁轨必须是互相平行的.思考：如何确定两条铁轨是否平行？到目前为止，判定两直线平行的方法有哪些？(1)定义法.(2)平行线的基本事实的推论：若a//b，b//c，则a//c.(3)判定方法1：同位角相等，两直线平行.(4)判定方法2：内错角相等，两直线平行.(5)判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.知识讲解（3）如果∠D+∠DFE=180°,可以判断哪两条直线平行？为什么？

例1如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长

线上一点.（1）如果∠B=∠DCG,可以判断哪两条直线平行？为什么？（2）如果∠D=∠DCG,可以判断哪两条直线平行？为什么？ABDCEFG解:

(1)AB//CD,同位角相等，两直线平行；

(2)AD//BC,内错角相等，两直线平行；(3)AD//EF,同旁内角互补，两直线平行.

例2如图，已知∠1=75o,∠2=105o,

AB与CD平行吗？为什么？AC1423BD5FE75o105o还有其它解法吗？解：AB//CD，理由如下：∵∠1+∠3=180°，（邻补角的性质）∠1=75°，（已知）∴∠3=180°-∠1=180°-75°=105°.∵∠2=105°，（已知）∴∠2=∠3，（等量代换）∴AB//CD.（同位角相等，两直线平行）思考:在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？abcb⊥a,c⊥ab∥c？猜想：垂直于同一条直线的两条直线平行.在同一平面内，b⊥a,c⊥a，试说明：b∥c.abc12∵b⊥a，c⊥a

，（已知）∴b∥c.(同位角相等，两直线平行)∴∠1=∠2=90°，

(垂直的定义)解法1：如图，验证∵b⊥a,c⊥a，(已知)∴∠1=∠2=90°，(垂直的定义)∴b∥c.(内错角相等，两直线平行)abc12解法2：如图，在同一平面内，b⊥a,c⊥a，试说明：b∥c.∵b⊥a,c⊥a,(已知)∴∠1=∠2=90°,(垂直定义)∴∠1+∠2=180°,∴b∥c.(同旁内角互补，两直线平行)abc12解法3：如图，在同一平面内，b⊥a,c⊥a，试说明：b∥c.

例3

如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得∠1=90°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由.解：方法1：测出∠3=90°，理由：同位角相等，两直线平行.方法2：测出∠2=90°，理由：同旁内角互补，两直线平行.方法3：测出∠5=90°，理由：内错角相等，两直线平行.方法4：测出∠2,∠3,∠4,∠5中任意一个角为90°，理由：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.随堂训练1.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（）A.第一次向右拐150º，第二次向左拐30ºB.第一次向左拐30º，第二次向右拐30ºC.第一次向右拐130º，第二次向右拐50ºD.第一次向左拐150º，第二次向左拐30ºB

若∠1＝120°，∠3＝＿＿，则AB//CD.

（）ABCDEF1232.如图，直线AB,CD被直线EF所截.若∠1＝120°，∠2＝＿＿，则AB//CD.（）内错角相等,两直线平行120°60°同旁内角互补,两直线平行3.如图，∠1＝35°，∠B＝55°，AB⊥AC，AD与BC有怎样的位置关系？为什么？解：AD∥BC.理由如下：∵∠1＝35°，∠B＝55°，AB⊥AC，∴∠BAD＝90°＋35°＝125°.∵∠BAD＋∠B＝125°＋55°＝180°，∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．4.如图，MF⊥NF于点F，MF交AB于点E，NF交CD于点G，∠1＝140°，∠2＝50°，试判断AB和CD的位置关系，并说明理由．Q解：AB∥CD.理由：过点F向左作FQ，使∠MFQ＝∠2＝50°，则∠NFQ＝∠MFN－∠MFQ＝90°－50°=40°，所以AB∥FQ.又因为∠1＝140°，所以∠1＋∠NFQ＝180°，所以CD∥FQ，所以AB∥CD.课堂小结平行线的判定方法：1.定义法：同一平面内，不相交的两条直线平行．2.平行线的基本事实的推论：平行于同一条直线的两条直线平行3.同位角相等，两直线平行；

内错角相等，两直线平行；

同旁内角互补，两直线平行.4.同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．谢谢大家第五章相交线与平行线5.3平行线的性质

5.3.1第1课时平行线的性质学习目标1.掌握平行线的性质，会运用平行线的性质判断角相等或互补；（重点）2.能够根据平行线的性质进行简单的推理.复习导入两直线平行

1.同位角相等2.内错角相等3.同旁内角互补问题

平行线的判定方法是什么？思考反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?知识讲解平行线的性质活动

画两条平行线a//b，然后画一条截线c与a、b相交，标出如图所示的角.度量所形成的8个角的度数，把结果填入下表：角∠1∠2∠3∠4度数角∠5∠6∠7∠8度数b12ac567834观察

∠1~∠8中，哪些是同位角？它们的度数之间有什么关系？说出你的猜想：

性质1：两条平行线被第三条直线所截，

同位角＿＿＿.相等b12ac567834简单说成：两直线平行，同位角相等.∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）.∵a∥b（已知）,应用格式:abd再任意画一条截线d，同样度量同位角的度数，你的猜想还成立吗？

如图，已知a//b,那么

2与

3相等吗？为什么?b12ac3解:∵a∥b(已知),∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).又∵∠1=∠3(对顶角相等),

∴∠2=∠3(等量代换).性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.

b12ac3∴∠2=∠3

（两直线平行，内错角相等）.∵a∥b（已知）,应用格式:如图,已知a//b,那么

2与

4有什么关系呢？为什么?b12ac4解:

∵a//b

（已知）,

∴

1=

2（两直线平行，同位角相等）.

∵

1+

4=180°

（邻补角的性质）,

∴

2+

4=180°

（等量代换）.思考：类似地，已知两直线平行，能否得到同旁内角之间的数量关系？

性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补.b12ac4∴∠2+∠4=180

°（两直线平行，同旁内角互补）.∵a∥b（已知）,应用格式:例如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？ABCD解：因为梯形上、下底互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补.所以梯形的另外两个角分别是80°、65°.于是∠D=180°-∠A=180°-100°=80°,∠C=180°-∠B=180°-115°=65°.随堂训练1.如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是(

)A．∠1＝∠2

B．∠3＝∠4C．∠1＋∠3＝180°

D．∠3＋∠4＝180°2.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1的度数是(

)A．14°

B．15°

C．16°

D．17°DC3.如图，已知AD∥BC，∠B＝30°，DB平分∠ADE，则∠CED的度数为

.4.如图，直线a∥

b,直线b垂直于直线c，那么直线a垂直于直线c吗?abc

解:a⊥c.

因为两直线平行,同位角相等60°5.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截(1)从∠1=110o可以知道∠2是多少度吗,为什么？(2)从∠1=110o可以知道∠3是多少度吗,为什么？(3)从∠1=110o可以知道∠4是多少度吗,为什么？23E14ABDC解：(1)∠2=110o

∵两直线平行，内错角相等；（2）∠3=110o∵两直线平行,同位角相等；（3）∠4=70o∵两直线平行,同旁内角互补.6.如图，AB∥CD，DE⊥AC，垂足为点E，∠A＝105°，求∠D的度数．解：∵AB∥CD，∴∠A＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠A＝105°，∴∠C＝180°－105°＝75°.又∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠C＋∠D＝90°.∴∠D＝90°－75°＝15°.课堂小结两直线平行

同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质直线的位置关系角的数量关系性质角的数量关系直线的位置关系判定谢谢大家第五章相交线与平行线

5.3平行线的性质

5.3.1第2课时平行线的性质与判定的综合应用学习目标1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质；2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算；（重点、难点）复习导入两直线平行

同位角相等内错角相等同旁内角互补平行线的判定平行线的性质直线的位置关系角的数量关系性质角的数量关系直线的位置关系判定知识讲解

例1

如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=45°，∠B=45°，∠AED=70°.

（1）DE和BC平行吗？为什么？解:（1）DE∥BC.理由如下：

∵

∠ADE=45°，∠B=45°，

∴∠ADE=∠B，

∴

DE∥BC

.

(同位角相等，两直线平行).

CABDE例1如图，三角形ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ADE=45°，∠B=45°，∠AED=70°.

（2）∠C是多少度？为什么？CABDE解：∠C

=70°.理由如下：由（1）得DE∥BC,

∴∠C=∠AED

.(两直线平行，同位角相等）

又∵∠AED=70°，

∴∠C=∠AED

=70°.

例2

如图，若AB//CD，你能确定∠B、∠D与∠BED的大小关系吗？说说你的看法．BDCEA解：过点E

作EF//AB,∴∠B=∠BEF．∵AB//CD,∴EF//CD,∴∠D=∠DEF,∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF

＝∠DEB,即∠B＋∠D＝∠DEB．F

变式1：如图,AB∥CD,则:CABDEACDBE2E1当有一个拐点时：∠A+∠E+∠C=360°

当有两个拐点时：∠A+∠E1

+∠E2

+∠C

=540°

当有三个拐点时：∠A+∠E1

+∠E2

+∠E3+∠C

=720°

ABCDE1E2E3…ABCDE1E2En当有n个拐点时：

∠A+∠E1

+∠E2

+…+∠En+∠C

=180°

（n+1）若有n个拐点，你能找到规律吗？变式2：如图,若AB∥CD,

则：ABCDE当左边有两个角，右边有一个角时：

∠A+∠C=∠E当左边有两个角，右边有两个角时：

∠A+∠F=∠E+∠DCABDEFE1CABDE2F1当左边有三个角，右边有两个角时:∠A+∠F1+∠C

=∠E1

+∠E2CABDE1F1E2EmF2Fn∠A+∠F1+∠F2

+…+∠Fn=∠E1

+∠E2+…+∠Em+∠D当左边有n个角，右边有m个角时：若左边有n个角，右边有m个角；你能找到规律吗？随堂训练1.直线a,b与直线c相交，给出下列条件：

①∠1=∠2;②∠3=∠6;

③∠4+∠7=180o;④∠3+∠5=180°，其中能判断a//b的是()A.

①②③④

B.①③④C.①③D.④12345678cabB3.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=80°，∠2=100°，∠3=85°，则∠4度数是（）A．80° B．85°

C．95° D．100°B4.如图，∠B=∠C，∠A=∠D，下列结论：①AB∥CD；②AE∥DF；③AE⊥BC；④∠AMC=∠BND，其中正确的结论有（）A．①②④ B．②③④

C．③④D．①②③④A5.已知AB⊥BF，CD⊥BF，∠1=∠2，试说明∠3=∠E.ABCDEF123解：∵∠1=∠2(已知），∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.∵AB⊥BF，CD⊥BF，∴AB∥CD∴EF∥CD∴∠3=∠E(垂直于同一条直线的两条直线平行).(平行于同一条直线的两条直线平行).

(两直线平行，同位角相等).6.如图,EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70°，求∠AGD

的度数.解：∵EF∥AD(已知）,∴∠2=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3.∴DG∥AB.∴∠BAC+∠AGD=180°.∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-70°=110°.（两直线平行，同位角相等）(已知）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）（两直线平行，同旁内角互补）DAGCBEF132谢谢大家第五章相交线与平行线5.3平行线的性质5.3.2命题、定理、证明学习目标理解命题，定理及证明的概念，

会区分命题的题设和结论；（重点）2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用.新课导入小花与小明正在津津有味地阅读一本科学类的图书.这个黑客终于被逮住了.是的,现在的互联网给我们的生活带来了,但…….这个黑客是个小偷.是个喜欢穿黑衣服的贼.坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.

小刚的百米成绩有进步，已达到9秒9.

好！继续努力,争取跑进9秒.操场上，裁判员向老师汇报训练成绩.知识讲解一、命题的定义与结构2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么它就不是命题.

如：画线段AB=CD.1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.如：相等的角是对顶角.注意：判断一件事情的语句，叫作命题.1、命题的概念

例1判断下列四个语句中，哪个是命题，哪个不是命题？并说明理由：（1）对顶角相等吗？（2）画一条线段AB=2cm;（3）两条直线平行，同位角相等；（4）相等的两个角，一定是对顶角.解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.（2）两条直线相交，有且只有一个交点（）（5）取线段AB的中点C；（）（1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?()（6）画两条相等的线段（）练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×表示.（3）不相等的两个角不是对顶角（）（4）相等的两个角是对顶角（）×√××√√观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴交流.（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.都是“如果……那么……”的形式2、命题的结构

命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.

1.“如果”后接的部分是题设,

2.“那么”后接的部分是结论.如命题：狐狸没有翅膀.改写为：如果一种动物是狐狸，那么它就没有翅膀.注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，改写过程中要适当增加词语，不可生搬硬套.命题题设结论已知事项由已知事项推出的事项

两直线平行

同位角相等题设（条件）结论命题的组成：把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.1.邻补角相等；2.同位角相等；3.两直线被第三条直线所截，内错角相等；4.垂直于同一直线的两直线平行；5.等角的余角相等.练一练特别规定：正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.命题2：“如果两个角相等，那么它们是对顶角”二、真命题与假命题（1）同旁内角互补（）（3）两点可以确定一条直线（）（6）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（）（2）一个角的余角大于这个角（）判断下列命题的真假.真命题的用“√”，假命题的用“×表示.（4）两点之间线段最短（）×√（5）等角的补角相等（）√√√×练一练三、证明与举反例“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人偷了，我知道张三家没有种玉米。所以我家玉米肯定是张三偷的.”片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷了一袋子玉米.孙县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯:孙县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米?”李老汉想证明什么？他是怎么证明的？这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边的师爷“师爷，你怎么看？”师爷说：“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚掰的玉米，还要看看地里的脚印是不是张三的才行。如果袋子里装的是刚掰的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。”从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.证明：因为∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3，且∠1与∠3是同位角，所以AB与CD平行.例2如图，∠1=∠2，试说明直线AB、CD平行.数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.两点确定一条直线.两点间线段最短.经过直线外的一点有且仅有一条直线与已知直线平行.直线的基本事实：线段的基本事实：平行线的基本事实：1、基本事实有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据.同角或等角的补角相等.（2）余角的性质：同角或等角的余角相等.（4）垂线的性质：①在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（1）补角的性质：（3）对顶角的性质：对顶角相等.②垂线段最短.学过的定理：2、定理的概念

在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.注意：证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.3、证明的概念例3已知：b∥c，

a⊥b．求证：a⊥c．证明：

∵

a⊥b（已知），∴∠1=90°（垂直的定义）.

∵

b

∥c（已知），∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）.∴

a⊥c（垂直的定义）.abc12确定一个命题是假命题的方法：例如，要判定命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：如图，OC是∠AOB的平分线，

∠1=∠2，但它们不是对顶角.））12AOCB只要举出一个例子（反例）：它符合命题的题设，但不满足结论即可.思考：如何判定一个命题是假命题呢？4、举反例随堂训练1.下列命题是假命题的是()A.同位角相等B.对顶角相等C.钝角三角形有两个锐角D.两直线平行，内错角相等A

B3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？（1）一条狗有四只脚；

（2）内错角相等；（3）画一条直线；（4）四边形是正方形；（5）你的黑板报做完了吗？

（6）内错角相等，两直线平行；

（7）平行于同一直线的两直线平行；

（8）过点P画线段MN的垂线；

（9）x<3.是真命题否是假命题是假命题否是真命题是真命题否否4.举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab＝0，则a＋b＝0.解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.5.在下面的括号内，填上推理的依据.

如图，AB∥CD,CB∥DE,求证：∠B+∠D=180°.证明：∵

AB∥CD,

∴

∠B=

∠C().

∵CB∥DE，

∴

∠

C+∠

D=180°()，

∴

∠

B+∠

D=180°().等量代换两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补课堂小结真命题假命题基本事实定理（只需举一个反例）（不需证明）（由推理证实）1.命题的定义:2.命题的组成:3.命题的分类判断一件事情的句子题设和结论谢谢大家第五

章相交线与平行线第五章相交线与平行线5.4平移学习目标12理解平移的概念及决定因素.（难点）会找出平移前后图形中对应点、对应角和对应线段.掌握平移的性质及其运用.（重点）3新课导入

图片引入

观察上面几组美丽的图案，它们有什么共同的特点？能否根据每幅图中的一部分绘制出整幅图案？这些运动有什么共同的特点？知识讲解★

平移的相关概念探究

如何在一张半透明的纸上，画一排形状和大小都如图所示的雪人呢？请把你的方法与同伴交流后动手画图．思考：“雪人”的形状、大小、位置在运动前后是否发生了变化？形状不变，大小不变，位置改变平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.试一试：判断下面几组图形运动是不是平移？ACDB××√×问题：我们先观看以下几种生活现象，再想一想平移是由什么决定的？2.图形的平移由移动的方向和距离决定.1.图形的平移不一定是水平的，也不一定是竖直的.★

平移的性质ABCDEF试一试：如图，平移三角形ABC，得到△DEF.分析两个图形中的对应关系.点A、B、C的对应点分别是D、E、F；线段AB、AC、BC的对应线段分别是DE、DF、EF.思考：上面图形中AD、BE、CF都有怎样的关系？ABCDEF线段AD、BE、CF平行且相等.几何符号语言：平移的两个图形形状和大小完全相同ABCDEF∵三角形ABC平移得到三角形DEF，∴AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF(或共线)，

AB=DE，AC=DF，BC=EF，AD∥BE∥CF(或共线)，AD=BE=CF.②对应线段平行(或在同一直线上)且相等；图形平移的基本性质：③各对应点所连线段平行

(或在同一直线上)且相等；ABCDEF例1如图，AB∥CD，AD∥BC，DE⊥AB于E点．将三角DAE形平移，得到三角形CBF．

⑴请画出平移后的三角形CBF

．⑵写出平移前后的对应顶点和对应相等的边．FDACBE对应顶点：点D和点C，点A和点B，点E和点F.AD=BC,AE=BF,DE=CF对应边：★

平移作图

如图，已知线段AB，平移线段AB，使端点A

平移到A'，你能作出线段AB平移后的图形A'B′吗？⑷根据平移的性质特征如何确定B点移动后的位置B′点？⑴要想平移整条线段，需要把握上哪些关键的点？⑵平移的方向是什么？⑶平移的距离是谁的长度？①先确定被平移图形的特殊点；②再过特殊点沿平移的方向作出平行线;③在平行线上分别截取特殊点移动的距离，确定特殊点平移后的位置；④连接平移后的各点成图．BAA'B'平移一个图形的基本方法:例2

如图，平移三角形ABC，使点A移动到点A’，画出平移后的三角形A’B’C’．解：连接AA′，过点B、C两点分别做AA′的平行线l1、l2，在l1、l2上分别截取BB′=CC′=AA′，则B′、C′是B和C的对应点，连接A′、B′、C′即可．CABA′C′B′l1l2随堂训练1.平移改变的是图形的（）A.位置B.大小C.形状D.位置、大小和形状2.经过平移，对应点所连的线段（）

A.平行

B.相等

C.平行(或在同一直线上)且相等

D.既不平行,又不相等AC3.如图，经过平移，四边形ABCD的顶点A移动到点A′，作出平移后的四边形．ABCDA′D′C′B′1m1m21m15mACDB图14.如图是一块长方形的草地,长为21m.宽为15m.

在草地上有两条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?1m1m21m15mACDB图1解：长草部分的面积=(21-1)×(15-1)=280(m2).1m21m15mACDB5.如图是一块长方形的草地,长为21米.宽为15米.在草地上有一条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?思路点拨：平移构成规则图形.解：长草部分的面积=(21-1)×15=300(m2).课堂小结关键在于按要求作出对应点；然后，顺次连接对应点即可平移前后图形的形状和大小,完全相同对应线段平行(或在同一直线上)且相等平移的概念平移的性质平移作图平移各对应点所连线段平行(或在同一直线上)且相等谢谢大家第六章实数6.1平方根第六章实数第1课时算术平方根学习目标12了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根;（重点）会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．（重点、难点）

学校要举行美术作品比赛，小红想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小红算一算吗？新课导入

11.962.2591636

11.41.5346

这个问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数.知识讲解算术平方根1.概念

2.符号表示a的算术平方根

互为逆运算被开方数（a≥0)读作：根号a(x≥0)

例1解：所以100的算术平方根为10,

所以0.0001的算术平方根为0.01，

可以发现：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.

解：（1）11；（2）3；（3）3；

练一练3.算术平方根的性质（1）一个正数的算术平方根有几个？0的算术平方根有一个，是0.（2）0的算术平方有几个？负数没有算术平方根.（3）-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?一个正数的算术平方根有1个.

应用

算术平方根的双重非负性判断：下列各式是否有意义？为什么？有有有无

例2

解：

规律总结几个非负数的和为0，则每个数均为0，此时我们学过的非负数有绝