482023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试题

2023年山东省泰安市宁阳县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各数中，负数的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据负数的定义进行解答即可．【详解】解：，是负数，共有2个，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了负数的定义，解题的关键是熟练掌握负数的定义．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【详解】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．3.如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图．【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3；故选：B．【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求．4.为了提升学生的人文素养，某校开展了朗诵经典文学作品活动，来自不同年级的30名参赛同学的得分情况如下图所示，这些成绩的中位数和众数分别是（）A.92分，96分 B.94分，96分 C.96分，96分 D.96分，100分【答案】C【解析】【分析】列表，把成绩的分数按从小到大顺序排列96分的人最多，众数为96分；位于第15位，第16位的数都处在96分一组，中位数为分．【详解】列表，把成绩的分数按从小到大顺序排列分数84889296100人数24810696分的人最多，众数为96分；位于第15位，第16位的数都处在96分一组，∴中位数为分．故选C．【点睛】本题考查了中位数和众数，解决问题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义．5.实外教职工篮球赛于11月3日开赛，某年级代表队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（）年龄（单位：岁）3536384044人数33532A.38，38 B.38，39 C.38，37 D.5，38【答案】A【解析】【分析】根据表格中的数据，可以直接写出众数，然后再找出第8个数据和第9个数据，计算出这两个数据的平均数，即可得到中位数．【详解】解：由表格可得，众数是38，年龄按照从小到大，第8个数据是38，第9个数据是38，则中位数为，故选：A．【点睛】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的含义，会找一组数据的中位数和众数．6.已知如图，在中，，，直角的顶点是边的中点，两边，分别交，于点，，当在内绕顶点旋转（点不与，重合）时，给出以下5个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤．上述结论始终正确的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【答案】A【解析】【分析】①证明得，当点E不是的中点时，，由此判断①；②由全等三角形性质得，，，则为等腰直角三角形，判断②；③由，得，进而得，可判断③；④根据等腰直角三角形的性质，，根据随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，从而判断④；⑤当不是的平分线时，，此时，由此判断⑤．【详解】①∵，，∴是等腰直角三角形，∵点P为BC的中点，∴，，∵是直角，∴，∴，在和中，，∴（ASA），∴，当点E不是的中点时，，故①错误；②∵，，∴为等腰直角三角形，故②正确；③∵，∴，∴，∴，故③正确；④根据等腰直角三角形的性质，，所以，随着点E的变化而变化，只有当点E为的中点时，，故④错误；⑤∵，AB＝AC，∴，当不是的平分线时，，此时，故⑤错误；故②③正确，故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键．7.用配方法解一元二次方程﹣2x﹣7＝0，则方程变形为（）A.＝11 B.＝11 C.＝8 D.＝8【答案】C【解析】【分析】根据配方的基本要求规范落实即可．详解】∵方程﹣2x﹣7＝0，移项得：﹣2x＝7，配方得：﹣2x+1＝8，即＝8．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键．8.我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：依题意，得：．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9.将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先确定抛物线y=x2顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．故选：A．10.如图，是的直径，与交于点，弦平分，，垂足为若的半径为，，则线段的长为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此题考查了菱形的判定与性质，熟记菱形的判定与性质定理及作出合适的辅助线是解题的关键；连接，过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形是菱形，得到，，于是得到结论．【详解】解：连接，过作于，平分，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，，，，，故选：A．11.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点．下列结论：①平分；②；③是的中点；④；⑤，其中正确的有（）A.个 B.个 C.个 D.个【答案】B【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．由旋转的性质可得，，，，，通过证明四边形是矩形，可得，，，由“”可证，可得，，，可判断①；由角的数量关系和等腰三角形的判定和性质，可判断②③；由相似三角形的判定和性质可得，由线段的和差关系可判断④；由，可得，可判断⑤，即可求解．【详解】解：，，，，将绕点逆时针旋转，，，，，，，，又，四边形是矩形，，，，，，，，，，平分，故①正确；，，，，，，，，故②正确；如图，连接，，，，，，，，，，，，，点是的中点，故③正确，如图，过点作于，∴，，，，，，，，，，，，，故④正确；，，，，，故⑤不合题意，故选：B．12.如图，在中，，，，P为边BC上一动点，过点P作于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A.1.2 B.1.5 C.2 D.2.4【答案】D【解析】【分析】先证四边形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出AP即可．【详解】解：连接AP，如图：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠AEP=∠AFP=90°，∵∠BAC=90°，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，当AP⊥BC时，AP最短，∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴，∵△ABC的面积=，∴AP=2.4，即EF=2.4，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键．二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.计算：______．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．先计算二次根式的乘法和负整数指数幂，再算加减，即可解答．【详解】解：．故答案为：．14.已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北风向的距离的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离的长为_________．【答案】【解析】【分析】根据，和勾股定理求出的长，再根据求出的长，即可得到以及的长，进而得到答案．【详解】解：，，过点作．交延长线于，在中，，，，，，即，，，在中，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得到边长是解题的关键．15.如图，在⊙O中，直径，AC切于，交⊙O于，若，则阴影部分的面积为______.【答案】1【解析】【分析】根据题意连接AD，得到ABC为等腰直角三角形，推出AB=BD，则弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积，可解出最终结果．【详解】连接AD，，AC切⊙O于A点，，ABC为等腰直角三角形，又，AD=BD，弓形BD的面积=弓形AD的面积，故阴影部分的面积=△ACD的面积，AB=2，CD=AD=BD=，∴S△ACD=CD×AD==1，即阴影部分的面积是1．【点睛】本题考查圆的性质及切线和弓形面积的知识，属于综合题，需要充分掌握圆的基础知识，学会运用圆的性质进行解题是关键．16.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围________．【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，即，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．17.如图，矩形纸片中，，，点、分别在、上，将、分别沿、翻折，翻折后点与点重合，点与点重合当、、、四点在同一直线上时，线段长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，根据勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，设，由勾股定理列方程得到，，由折叠的性质得到，，求得，设，则，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：在矩形纸片中，，，，，，将沿翻折，翻折后点与点重合，，，，，设，，，，，解得：，，，将沿翻折，翻折后点与点重合，，，，，设，则，，，，线段长为，故答案为：．18.根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字__________．【答案】738【解析】【分析】通过观察得出：1，3，5，7，9为等差为2的等差数列，则表格中2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，根据此规律求解．【详解】解：观察图中的数字得出框中右下角的数字计算分别为：2=1×1+1，30=3×9+3，130=5×25+5，350=7×49+7，所以在最后一个空格中填上适当的数字为：9×81+9=738．故答案为：738．【点睛】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，此类型题应该仔细观察分析给出的数据，从而发现规律根据规律解题．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.（1）先化简，再求值：，其中．（2）解不等式组：．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．（1）先把除法转化为乘法，同时将分式的分子和分母分解因式，然后约分，再算加法，最后将的值代入化简后的式子计算即可；（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．【详解】解：（1），当时，原式；（2），解不等式，得：，解不等式，得：，该不等式组的解集是．20.某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．类别类型足球羽毛球乒乓球篮球排球其他人数根据以上信息，解答下列问题：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有______人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为______（2）被调查学生的总数为______人，其中，最喜欢篮球的有______人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为______（3）该校共有名学生，根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数．（4）一个不透明的袋子中有三个完全相同的小乒乓球，把它们分别标号为，，，小明从中随机摸出一个小球，记下标号后放回，再随机摸出一个小球并记下标号，求两次摸出的小球标号的和是偶数的概率．【答案】（1），（2），，（3）人（4）【解析】【分析】（1）根据表格和扇形图可直接得出答案；（2）由羽毛球人数及所占百分比可得总人数，总人数乘以对应百分比可得篮球人数，用足球人数除以总人数可得其所占百分比；（3）总人数乘以样本中排球人数所占比例即可；（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及统计表和扇形统计图．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．【小问1详解】解：（1）被调查的学生中，最喜欢乒乓球的有人，最喜欢篮球的学生数占被调查总人数的百分比为，故答案：，；【小问2详解】被调查学生的总数为人，最喜欢篮球的有人，最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为，故答案为：，，；【小问3详解】根据调查结果，估计该校最喜欢排球的学生人数为人，【小问4详解】列表得，标号所有等可能的结果数有种，其中两次摸出的小球标号的和是偶数的有种结果，两次摸出的小球标号的和是偶数的概率为．21.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围．（3）若点在线段上，且，求点的坐标．【答案】（1），（2）或（3）【解析】【分析】（1）把坐标代入可得解析式，继而求出，用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据图象直接写出的的取值范围即可；（3）利用得出，设坐标利用勾股定理建立方程求出即可．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．【小问1详解】解：反比例函数经过，，反比例函数解析式为，在反比例函数的图象上，，，直线经过，，，解得，一次函数的解析式为；【小问2详解】解：观察函数图象可知的的取值范围是或；【小问3详解】解：设，∵，即，，解得舍去，，点坐标为22.已知：如图，在中，∠ABC=45°，CH⊥AB于点H，点D为CH上的一点，且DH=AH，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．（1）求证：HC=HB；（2）判断BD与AC的数量关系和位置关系，并给出证明；（3）求证：∠BEH=45°．【答案】（1）证明见解析（2）BD=AC，BD⊥AC，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意易求出∠BCH=∠HBC，即得出HC=HB；（2）由题意易证△AHC≌△DHB(SAS)，即得出BD=AC，∠ACH=∠DBH．从而可求出∠ABE+∠A＝90°，即可证明BD⊥AC；（3）过点H作HF⊥HE交BE于点F，即易证△CHE≌△BHF(ASA)，得出EH=FH，从而可得出．【小问1详解】证明：∵CH⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BCH＝90°-∠HBC=45°，∴∠BCH=∠HBC，∴HC=HB；【小问2详解】BD=AC，BD⊥AC；证明如下：在△AHC和△DHB中，∴△AHC≌△DHB(SAS)，∴BD=AC，∠ACH=∠DBH．又∵∠ACH+∠A=90°，∴∠DBH+∠A＝90°，即∠ABE+∠A＝90°∴∠AEB=90°，即BD⊥AC；【小问3详解】如图，过点H作HF⊥HE交BE于点F，∴∠FHD+∠EHD=90°．又∵∠BHF+∠FHD=90°，∴∠BHF=∠EHD，即∠BHF=∠EHC．在△CHE和△BHF中，∴△CHE≌△BHF(ASA)，∴EH=FH．∴．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定条件是解题关键．23.在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点,连结CG．（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：①△ABM≌△CBM；②CG⊥CM.（2）如图2，当点E在BC的延长线上时,（1）中的结论②是否成立？请写出结论，不用证明．（3）试问当点E运动到什么位置时，△MCE是等腰三角形?请说明理由.【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）成立；（3）当BE=或BE=时，△MCE是等腰三角形.【解析】【详解】试题分析：（1）①根据正方形的性质，利用边角边定理即可证明△ABM≌△CBM；②根据全等三角形的性质可得∠BAM=∠BCM，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得GC=GF，根据等腰三角形和平行线的性质得到角的等量关系得∠BCM=∠GCF，即可证得结论；（2）类比（1）的方法即可得结论；（3）分当点E在BC边上时和当点E在BC的延长线上时两种情况讨论求解即可.试题解析：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC，∠ABM=∠CBM又∵BM=BM,∴ΔABM≌ΔCBM.②∵ΔABM≌ΔCBM，∴∠BAM=∠BCM又∵∠ECF=90º,G是EF的中点∴GC=GF,∴∠GCF=∠F又∵AB∥DF,∴∠BAM=∠F，∴∠BCM=∠GCF∴∠BCM+∠GCE=∠GCF+∠GCE=90º∴GC⊥CM(2)成立(3)①当点E在BC边上时∵∠MEC＞90º,要使△MCE是等腰三角形,必须EM=EC,∴∠EMC=∠ECM∴∠AEB=2∠BCM=2∠BAE，∴2∠BAE+∠BAE=90º,∴∠BAE=300∴BE=.②当点E在BC的延长线上时,仿①易知BE=.综上①②,当BE=或BE=时，△MCE是等腰三角形.点睛：本题主要考查正方形、全等三角形的判定与性质、直角三角形以及等腰三角形，难度适中，符合学生的解题要求.24.综合与实践如图1，已知点G在正方形ABCD对角线AC上，GE⊥BC，垂足为E，GF⊥CD，垂足为F．【证明与推断】（1）①四边形CEGF的形状是______________；②的值为_______________；【探究与证明】（2）在图1的基础上，将正方形CEGF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°<α<45°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；【拓展与运用】（3）如图3，在（2）的条件下，正方形CEGF在旋转过程中，当B、E、F三点共线时，探究AG和GE的位置关系，并说明理由．【答案】（1）①正方形；②；（2）AG=BE，理由见解析；（3）AG⊥GE，理由见解析【解析】【分析】（1）①由两个垂直及正方形的性质可得四边形CEGF是矩形，根据对角线的性质可得CE=GE，从而可得四边形CEGF是正方形；②根据平行线分线段成比例定理可得，再由四边形CEGF是正方形即可求得比值；（2）AG=BE；连接CG，及折叠的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质可证得△ACG∽△BCE，从而相似三角形的性质即可得AG与BE之间的数量关系；（3）AG与GE的位置关系是垂直；由点B、E、F三点共线及△ACG∽△BCE，可得∠AGC=∠BEC=135°，从而可得点A，G，F三点共线，进而易得AG与GE垂直．【详解】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=∠B=90°,∠BCA=45°．∵GE⊥BC，GF⊥CD，∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°,∴四边形CEGF是矩形．∵∠CGE=∠BCA=45°，∴CE=GE，∴四边形CEGF是正方形．故答案为：正方形②∵∠B=∠CEG=90°，∴GE∥AB，∴．∵四边形CEGF是正方形，∴CE=GE，∴由勾股定理得：．∴．故答案为：（2）AG=BE，理由如下：如图所示，连接CG．由旋转可得∠BCE=∠AGG=，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴，由①得四边形GECF是正方形，∴∠GEC=∠ECF=90°，GE=EC，∴△EGC为等腰直角三角形．∴，∴，∴△ACG∽△BCE，∴．∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE．（3）AG⊥GE，理由如下∶如图所示，连接CG，∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC=135°．∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC=∠BEC=135°．∴∠AGF=∠AGC+∠CGF=135°+45°=180°，∴点A，G，F三点共线，∴∠AGE=∠AGF-∠EGF=180°-90°=90°，∴AG⊥GE．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，旋转的性质，正方