2023年江西省上饶市普通高校对口单招高等数学一自考模拟考试(含答案)

2023年江西省上饶市普通高校对口单招高

等数学一自考模拟考试（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（20题）

ɪim（-

1.极限'Tl久l等于（）.

A.A.el/2B.eC.e2D.l

2.

贝

设7t(χ)为连续函数(Iʌ∫∕(t)d^=

A./(x)+CB.f,(x)+C

C./(x)D.∕,(x)

设/(x)==,则/(X)的间断点为X=

3.x+3

A.A.5B.3C.-3D.-5

.设z=*inX.则兴■等于().

4.may

A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

∕*(∣nr).

5.ff-dx=()o

A.A.Iav+C

B.B.Im+(

C.c./(∣∏x)÷C

D.D.fɪnC

6.微分方程y"-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+C

7.若xθ为f(x)的极值点，则().

A.A.f(xO)必定存在，且f(xθ)=0

B∙f(xO)必定存在，但f(xθ)不一定等于零

C.f(xO)不存在或f(xO)=O

D∙f(xO)必定不存在

8.设函数y=exi,则dy=()

A.e^(x-3)dxB.e^(x-2)dxC.e^(x-l)dxD.e^xdx

曲线y—γ~—

9.1十工

A.有一个拐点B.有三个拐点C.有两个拐点D.无拐点

10.

若以为f(G的极值点，则

A./(X0)必定存在，且/(zo)=0

B∙∕(x0)必定存在,但，(工。)不一定等于零

C∙∕(x0)可能不存在

D∙∕(x0)必定不存在

级数∑<-i)^与α为小4常数)是()的

nI〃

A.发散

B.条件收敛

C.绝对收敛

HD.敛散性与k值有关

12.

椭圆/+2；/=27上横坐标与纵坐标相等的点处的切线斜率为

A∙Tb-^f

c4ŋ-ɪ

13.在空间直角坐标系中，方程x2-4(y-l)2=0表示()。

A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面

已知/(∙ry,∙r-y)=∕+y?,则曳基W等于n9,ɔ

14.oʃA.2B.2xC.2yD.2x+2y

卜:奴：：、二则).

lɔς.

A.A.

B.-1∏,'

C.

DM

16.若y=ksin2x的一个原函数是(2∕3)cos2x,贝IJk=

A.-4∕3B.-2∕3C.-2∕3D.-4/3

17.

若yry2为二阶线性常系数微分方程y"+pιy'+p2y=0的两个特解，则

ClyI+C2y2().

A.为所给方程的解，但不是通解

B.为所给方程的解，但不一定是通解

C.为所给方程的通解

D.不为所给方程的解

18.下列反常积分收敛的是()。

A.∫ι+ooxdx

B.∫ι+c0x2dx

r⅛

C.1ɪ

r⅛

D.jlɪ

19设z=tan(*y),则等于().

y

A.A.-c。J(Xy)

y

B.COS2(%y)

y

C.，［一(%y)2

___y__

D.i+(”

20.

设区域。是由直线y=x,x=2,y=l围成的封闭平面图形，则二重积分j∫∕(x,y)dxdy=

D

,2.,2f2λΛλ

A.J1dx∫f(x,y)dyB.ʃdx∫/(x,y)dy

C∙fdyf∕(x,y)dxD.J：dyJ>(x,y)dx

二、填空题(20题)

级数£岂的和为_________.

21.”3

,。设z=x%iny∙则生=____________

ZZ.Hr

23.

函数/(ɪ)=aretan(sinɪ)在xoy平面上的图形关于对称•

24.二元函数z=x2+3xy+y2+2x,则=。

25.

微分方程∕-6√+9›=0的通解为•

26.

设y=1+，+3,则γ'=.

«■1

27.J意U-----------

29.设>=2'+*in2.Wl、'=

1

Jxe*dx=______________

30.0

若森级数∑a^"的收敛半径为R,则骞级数∑W口一的收敛半径为

31.

32.

设/(∙x,y)=x+(y-l)arcsinx,则∕∫(x,1)=.

33.

函数y=卢-的单调增加区间是__________.

InX

设/Cr)是连续的奇函数•且f∕(∙r)d∙r-1,则∣f(∙r)ΛrF

34∙

35.

INCOSUrJdi________.

函数/(x)=2arctanX-Lln(I+X?)的单调增区间是

36.2

37.∫(x2-l)dx=o

38.

OOn

级数工本的收敛区间为

n-∖

Iim-----

39.r+∣

三、计算题(20题)

41.计算/∕dx

42.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(Ll)处的切线I的

方程.

43.设平面薄板所占C)Xy平面上的区域D为15x2+y2W4,x≥0,y≥0,

其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.

44.求微分方程y”-4y，+4y=e-2x的通解.

45.计算（中也

46计算∣*arcsinxdx.

47.研究级数工（一”“'W的收敛性（即何时绝对收敛，何时条件收敛，何

时发散，其中常数a>0.

48.求函数f（x）='-W—的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.

49.

zz

设区域D为:/≤4,ιy20,计算U√x+ydx∆y.

D

求索级数^2"χ2"的收敛区间（不考虑端点）.

50.

51.已知某商品市场需求规律为Q=IOOe025P,当p=10时，若价格上涨

1%,需求量增（减）百分之几？

52.设z=z（χ,y）是由方程八）•—'=。所确定的隐函数,求*

53.求曲线“3+2在点（1,3）处的切线方程.

54.求微分方程v"+3∕+2y=o的通解.

55.将f(x)=e-2X展开为X的幕级数.

56.设抛物线Y=I-X2与X轴的交点为A、B,在抛物线与X轴所围成的

平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所

示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

(1)写出S(X)的表达式；

⑵求S(X)的最大值.

57.求-阶线性微分方程y'-9=χ满足初始条件yl...=0的特解,

58.求函数f(x)=χt3x+l的单调区间和极值.

59.当X—0时f(x)与Sin2x是等价无穷小量，贝!)

60.证明：当x>l时.x>l+lnX.

四、解答题(10题)

61.

设Iim2+”才。=5,求α的值.

12X—4

62.求在区间［O,π］上由曲线y=sinx与y=0所围成的图形的面积A及该

图形绕X轴旋转一周所得的旋转体的体积Vxo

(本题满分8分)

设h=κ∖+2∕∙求上.

0设m「(”Ded,求V的极值与极值点.

64.J0

65.

设曲线y=f(x)过点(1,今，其上任意一点(X,y)处切线斜率恒

为,―匕

X

(1)求此曲线方程.

(2)求y=∕(x),y=0,X=I所围的图形面积4.

求^eʃdɪ.

66.

设区域D为H+为44∙y20.计算'//+，公也.

67.

68.

将函数f(x)=lIU展开成(X-I)的等级数，并指出收敛区间.

69.

求方程y+2y'=3e-u的通解.

求极限Iimx(cos∙ɪ•-?I.

XT9

70.X

五、高等数学(0题)

7Lf(x)在X=O的某邻域内一阶导数连续且W"沪=；则()o

A.x=0不是f(x)的极值点B.x=0是f(x)的极大值点C.x=0是f(x)的极小

值点D.x=0是f(x)的拐点

六、解答题(0题)

72.证明：当*>1时.x>l+InX.

参考答案

1.C

本题考查的知识点为重要极限公式.

Iim(—Γ=lim(1+⅛=e2

由于i∖τ)LTX/,可知应选C.

2.C解析：由不定积分的性质知选C.

3.C

f(x)为分式，当X=3时，分式的分母为零，f(x)没有定义，因此

x=-3为f(x)的间断点，故选C。

4.C

本题考查的知识点为二阶偏导数。

由于z=ysinx,因此

更=ycosx,

Bx

∂2z

-------≈COSX.

∂×∂Y

可知应选C。

5.C

(解析］∫^-^→lr=ʃ//(∣nχ)d(Inx)=/(Inx)+C,故选C.

6.C

因f(x)=x为一次函数，且特征方程为y-2尸0,得特征根为门=0,r2=2.

于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

7.C

本题考查的知识点为函数极值点的性质.

若xθ为函数y=f(x)的极值点，则可能出现两种情形：

⑴f(x)在点xθ处不可导，如y=∣x∣,在点Xo=O处f(x)不可导，但是

点XO=O为f(x)=∣xI的极值点.

(2)f(x)在点xθ可导，则由极值的必要条件可知，必定有f(xO)=O.

从题目的选项可知应选C.

本题常见的错误是选A.其原因是考生将极值的必要条件：“若f(x)在

点xθ可导，且xθ为f(x)的极值点，则必有f(xO)=O”认为是极值的充

分必要条件.

8.B

9.D

本题考查了曲线的拐点的知识点

c

gɪ√=z--≡-τ7,√=?，则y"在定义域内恒不等于0,所以无拐点.

10.C

11.C

12.B

13.A

S/(Hy,H-y)=JT1+√=(ɪ->)t+2Hy,故/(x,y)=>z+2工，从而=2.

14.Adr

15.D

本题考查的知识点为偏导数的计算.

3.

X=V

是关于y的塞函数，因此

故应选D.

由于2«»2x为ksin2r的原函数，因此

3

C_Y_4.....

cos2x———sin-ksin2x,

【3J3

可知大=-二，应选D.

16.D解析：3

17.B

：d'∙-TIr,系数微分方程解的结构.

-三式本次以分方程y"+p,>'+p：y=0的两个解.由解的结构定理琥

一."立二排除〔)•又由解的结构定理可知.当八.九线性无关时.

鲁・♦/、'，凡>=O的通解.因此应该选B.

叁；；国是选C.这是由于忽略了线性济系£,r万权解的结构定理中的条件所

♦,W**构定理中指出：“若，,.X为二阶线性f系其；r方程，"十八<+P,>=o的两

K一一行三,则C,y,+C,y3为所给微分方程的通第.H：，，」.为任意常数.”由于所给

⅛feY.”为线性无关的将解,可知G、，+，E.Y的通解.但是由辨的结

*,-<>：为方程的解,因此应选B.

18.D

ɪ+00

A,JF0Xdx==2ɪ=8发散；

BJ：x2clr=jx3J=8发散；

Cj-ɪ-dr=ln∣ɪIɪ=8发散；

D.[-⅜cLr=--=0+1=1收敛.故选D.

J1xiXɪ

19.B

本题考查的知识点为偏导数运算.

由于z=tan(xy),因此

dxcos'(xy)""cos?(xy)可知应选B.

20.D解析

积分区域如图中阴影部分所示.

D可以表示为

IWXW2,IWyWX或IWyW2,y=≤x≤2

对照所给选项，知应选D.

21.

22.

3√sinʃ［解析］将y看做常盘，则^=3/Siny.

23.坐标原点坐标原点

所噫=2z+3y+2,源=3.

24.因为z=x2+3xy+y2+2x,

25.

3x

e(cι+czx)

26.

本题考查的知识点为导数运算.

y=x3+X1+3,

y,—3XJ+2x,

y,=3∙I2+2-1=5.

27.[*]

28.1.

本题考查的知识点为导数的计算.

’(1÷x)-ln(1+x)

.­In(1÷x)V.1÷xɪ-ln(I+x),.,

由于y=—="可τ知tly==-，进wa而c自，

(∣+χ)2(I+*)

29.

?'ln2.

本题考查的知识点为初等函数的求导运算.

本题需利用导数的四则运算法则求解.

>'=(2*+Nin2)'=(2*),+(Sin2)'

=In2

本题中常见的错误有

(sin2),=cos2.

这是由于误将sin2认作Sinx,事实上sin2为一个常数，而常数的导

数为0,即

(sin2”=0,

相仿(cos3)r≡0,(ln5)*=0,(ef)r≡0⅛5.

请考生注意，不论以什么函数形式出现，只要是常数，它的导数必定

为0.

30.1

球级数Xα,√r"的收敛半径为R.由幕级数的逐项微分定理知

η≡0

OCX

(∑JαM")'=的收敛半径也是R.

31.R"=。"=i

32.

f；(x,y)=1+(y-1[2，故1)=1•

33.[e+s)(注：如果写成x>e或(e+oo)或x>e都可以)。[e,+s)(注：如果写

成x≥e或(e,+∞)或x>e都可以)。解析：

【解题指导】本题考查的知识点为判定函数的单调性.

Y=言的定义域为N>0'“∙LBP(O,1)U(1,+»).

令y'=0得驻点》=e.

当z<e时,lnz<l;当x>e时,lnx>l.可知当z>e时,有∕>0,y为单调增加.故y的单调

增加区间为[e,+8).

【错谡防范】如果题目换为求函数的单调减少区间，则容易发生不考虑函数定义域的错

误.易写为(0,e).因此这类问题求解时，应该先确定函数的定义域.

ɪ/(-r)是奇函数，则P∕(x)dx=0,因此,JQ)d∙r=-∫'∕(j)dj=-1.

35.

36.(Q2)

37.

ʃ(ɪ2—Ddr=Jx1dɪ—Jdx≡ɪɪ3—x+C.

38.(—∞9+∞).

本题考查的知识点为求募级数的收敛区间.

求Ea,,，的收敛区间的一般方法为：

nsO

对于不缺项情形（即3#0）：

（1）求出Iima=p.

iBα.

（2）若pK0,则收敛半径K=',收敛区间为（-A,R）.

P

若P=0,则收敛半径R=+8,收敛区间为（一8,+∞）.

若P=+OO,则收敛半径R=O,级数仅在点X=O收敛.

对于缺项情形（即有某些项a“=0）,需用后项与前项之比的绝对值取极限来确定.

由于α=；,因此

"n!

.a..n!「1八

]1ɪm-JLLL=1Iim---------=Iim--------=0,

L8Ia"―（〃+ɪ）!-sn+1

Xn

可知P=O,因此H=+8,得知、的收敛区间为（-8,+8）.

Win!

39.3

40.x—arctanx+C.

本题考查的知识点为不定积分的运算.

LdX=J一中"=/（|-r⅛）而

=τ-Jirrtnnɪ+C.

41.

【解析】令r=√7,则X=『,dx=2ιdt.当x=0时/=0；当X=1时,1=1

ʃJdX=J2te'dt

=2（fe]：-∫∖d）=2（e-e'|：）=2.

42.

y=*-∣nX的定义域为（0,+8）,y'-ɪ--ɪ-.

当"1时.y'=0;当x>∣时,y'>0,函数y=x-∣nx单调增加.

当0<x<l时,y'<0,函数y=*-lnX单。减少.

曲线y=x-lnX在点（1.1）处的切线方程为y-∣=0.

43.由二重积分物理意义知

m=Jμ(x,y)dσ=J(x2+/)dxdy=ʃ此jr'dr=ɪir.

r»n

44.解：原方程对应的齐次方程为y*,-4y'+4y=0,

特征方程及特征根为/-4r+4=0,八2=2，

jl

齐次方程的通解为r=(Cl+C2)e.

在自由项/(χ)=e-"中,α=-2不是特征根,所以设/=/e”'，代入原方程∙有

4ss⅛,

故原方程通解为y=(C,+C1)e"+上e小.

IO

45.

∫l±k2Edx=J±dx+∫⅛

=InX+pnXdInx=Inx÷-ɪ-(Inx)2+C.

或/LtIn;/(1+Inx)dlnx≡pɪ÷Inx)d(I⅛Inx)

=∙~(1÷Inx)2+C.

46.

设〃=arcsinx./=1,则

arcsinxdx=xarcsinx-I——-Ax

J/l-J

=xarcsinx+ɪʃ(1-x2)^τd(i-x2)

=xarcsinx+√1-x+C,

47.

【解析】记U.=(-1尸口.则∣u,l=W从而知£IUJ=S-!为P级数，且

nn*7^n

当a>l时，Y2收敛，因此f(-1)3口绝对收敛.

・♦1n«71n

当OvaWl时，Y4发散，注意到此时£(-1广一为交错级数，

Γ7ιnMin

..11

IU.I=—>-----------≡

*Λ∙(n÷l)∙

IimI%I=limɪɪθ

ι∙i・n∙

由莱布尼茨定理可知当O<αWl时，£(_1)””!收敛,故此时£(_l)∙"4条件收敛.

∙∙I∏Erin-

48.

AX)的定义域为(-8,0)u(0,+oo).

∕,(X)=2X+4∕*(X)=2-4∙

TV

令/'(W=O科χ=-l;令广(X)=O,得“总

列表：

X(-8t-l)-1(-1,0)0(O.√5^)沉(万・♦•)

y9-0÷.

yw+,-0

/(-D≡3拐点

y∖uZu没定义ZnZu

为极小债(苏.0)

函数/C)的单调减少区间为(-8,-1)；单调增加区间为(-1.0)U(O.+8)；极小值为

/(-1)=3.

曲线y=∕(x)的凹区间为(-8.0)u(Z^.+8)：凸区间为(0.添)：拐点为(言.0).

说明

由于/"(工)在点工=0处没有定义.因此Ax)的单调增加区间为(-∣.0)U(O.+8),不

能写为(0.+8)!

49.

解利用极坐标，区域D可以表示为

0≤6≤π,0≤r≤2,

j√x2+y2dxdy=ʃd^ʃɑr2Jr

⅛

=J：R)

=Jofd9=lπ∙

解利用极坐标，区域D可以表示为

0≤6≤π,0≤厂≤2,

0√⅛2+ydxdj>=ʃ刈ʃrzJr

二J胃心

=Jof^=F*

解:=Iim2∣

50.M→)M»

由2∣X2∣<I可解得ɪ<x<*.

√2√2

故所给级数收敛区间为(⅛⅛)∙

lθθeifi

孤P)=-»"oθ>⅛-=O∙25∕)

51.需求规律为Q=IOoeP225p*0)2.5，当P=IO时

价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=IOOep-225P,

一、一IOOetn*•(-0.25)

2)一Pλ一丽湎一=0.25力

7(10)・2・5，当P=IO时,价格上涨1%需求量减少

2.5%

52.

利用隐函数求偏导数公式，记

f(ɪ,v,ɪ)=x2÷r2-e∖

则

尺=2x,F>-e,.

—dɪ=—F——：二2—x_

∂XEe'

53.曲线方程为'=3+2,点(1,3)在曲线上.

,2,1

''=7∙)j因此所求曲线方程为7=-2(x-l),或写为2x+y-5=0.

如果函数y=f(x)在点xθ处的导数F(XO)存在，贝!j表明曲线y=f(x)在点

(xθ,fxθ))处存在切线，且切线的斜率为F(X0).切线方程为

,

y√(χ0)=∕(⅞)(χ-⅞)∙

如果/'(%)射0,则曲线y=∕(χ)在点(&/(%))处的法线方程为

y√(⅜)≈X)(「一航).

如果f'(xJ=0.则v="r)为曲线τ=√(χ)在点(X处的水平切线.

54.

(解析】特征方程为人3r+2=0.

特征根rl=-2,Γ2=-1.

方程的通解为y=C,e-2"+C,e∙,

55.

【解析】由于e'=f[(-8<x<+8).可得

Γ7on'

-.浸(-2χ)∖3(-D∙2V_

ej=>■≡>------------1y-0c<x<÷∞)

Γ∏ιn!⅛⅛∏!

56.

由F"r'解得X=±1,则A、B两点坐标分别为

Iv=O

4(-1.0)和8(1.0)M8=2,

(1)S(X)=:(2+2x)(l-J)=(l+x)(l--).

(2)Sj)=-3∕-2x+l,令V(X)=O,即(3x-l)(x+l)=0,得X,=%,=-1(舍去).

S"(x)IΛ=(-6X-2)Ij-4<0Msg)嵯为极大值.根据实际问题,S旁为最大值.

57.由一阶线性微分方程通解公式有

y=e5"(∫g(χ)ei<k+C)

=J÷4^(∫χe卅dx+C)

=e'"'Qx∙e',"dx+C)=X(JX,gdM+C)=X(*+C),

将rI-=O代入上式,可得C=-I,因此所求特解为V=Jr∙

58.函数的定义域为

(-8,+CO).f'(x)≈3χj-3.

令，'(幻=0.番驻点乐=T.X,=∣,列裘得

X(-8.-I)-!(-1.1)I(∣,+∙)

/'30-O♦

/(-1)=3

∖/(1)≡-1

为极大值为极小值

函数/(x)的单调增区间为(-8

函数/(χ)的单潮减区间为［-1」］.

/,(-1)=3为极大佰."Q=-I为极小侑.

注意

如果将(-8,71写成(-8.-1),将”.+8)写成(1.+8),爵(-1,1］写成(-1,1)也让

59.由等价无穷小量的定义可知!⅛⅛kL

60.

设/(M)=M-I-Inx,则/(x)的定义域为(0,+8).

∕,(χ)≈ɪ-ɪ.

V

令广=0得X=I.

当x>l时J'(x)=l-y>0.可知/(X)单调增加.

由于/(1)=0,可知当X>l时√∙(w)MI)=0.从而Al-In*>0,即

七,1÷1nr.

61.

解由于所给极限存在，且分母的极限Iim(Z-2)=0,可知分子的极限为0,即

x→,2

0=Iim(N2÷x⅛α)=6+α,

上一2

从而a=—6.

解由于所给极限存在，且分母的极限Iim(Z-2)=0,可知分子的极限为。，即

x→-2

O=lim(ɪ2+<r+α)=6+α,

L2

从而a=-6.

62.

平面图形如右图中阴影部分所示

A≈jʃsinxdx=-cosx[θ=2.

K=πf"sin2xdx=xf"i(I-cos2x)dx

*JoJn

2分

4分

6分

y=j^(r-l)e,dr,

则∕=(x-l)ej.

令∕=0∙得唯,驻点X=L

当x<1时,yt<0：x>1时，yf>0.

因此点x=l为丁的极小值点.极小值为

£(/-l)e'd/=(∕-l)e,∣θ-∫^c,d/=l-e,∣θ=2-e.

y-j^(r-Dc,dr,

则y=(x-l)e*.

令y=o.得唯一驻点X=I.

当x<1时，y<O;x>∖时，/>0.

因此点Al为y的极小值点.极小值为

β(r-l)eld∕=(∕-l)e,∣^-^c,d∕=l-e,∣θ=2-e.

解(1)依题设，y'=Y-2,即y'+2=Y.

XX

因为广(X)=L⅛(Λ)=Λ2

X

jp(x)dx=ʃɪdr=Inx

jq(x)eJH*)ιudx=∫z2elnxdx=∫xjdjf=-^-

通解为

将4,T=L代入通解，得C=O,故所求为：y=-x3.

44

(2)记所求面积为A,贝【JA=fL-ilx=—11=—.

65.Jn416∣o16

解(1)依题设：V=XZ-2,即y'+2=l.

XX

因为P(X)=Lq(x)=x2

X

∫p(x)dx=LdX=InX

X

Jq(X)ClP“心位=∫Λ2ebxdx=∫xjdjf=-^

通解为L叫/W

将丸T=工代入通解，得C=O,故所求为：y=-x∖

44

I341fl

(2)记所求面积为A,则A=f-⅛=⅛=4，

Jn416O16

66.

xleʃdɪ=xzdeɪ=ʃ2er—2xexda∙

=x2eɪ—2∙rde,

=x2er-2(ɪeʃ-eʃdɪ)

⅜

=XZCJ—2JCCT+2ez+C.

67.

解：

利用极坐标，区域D可以表示为

O≤6≤π∙0≤r≤£♦

J√,xi÷y2drd>=ʃr2dr

=∫o⅜^=⅜π∙

68.

解/(x)=lnx=ln[l+(X-I)]

I大I为一--=[—JC+#2_χ∙∖+…Kn+…

1+JC

K/J6

两边枳分：ln[l+Λ]=X-----H-------------F•・・+(-1)”------÷∙∙∙

234∏÷1

从而加……]=(1)-铝J与L4+…+5生卑

234n+1

=£寄1)“H

"Q九+