新教材高中数学人教B版学案1-1-2集合的基本关系

1．1.2集合的基本关系[课程目标]1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；2.能使用Venn图表示集合间的关系；3.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用．知识点一子集、真子集的概念[填一填]1．子集、真子集、等集一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB(或BA)．一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记作A＝B.2．维恩(Venn)图如果用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合间的关系，这种示意图通常叫做维恩图．[答一答]1．若A⊆B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．2．如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集？提示：如图所示：知识点二集合间关系的判断[填一填]1．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，如果A⊆B，则x∈A⇒x∈B.于是，x具有性质p(x)⇒x具有性质q(x)，即p(x)⇒q(x)．反之，如果p(x)⇒q(x)，则A一定是B的子集，其中符号“⇒”是“推出”的意思．2．∅与其他集合之间的关系(1)∅是任意一个集合的子集；(2)∅是任意一个非空集合的真子集．[答一答]3．对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，那么集合A与C有什么关系？提示：A与C的关系为：A⊆C.4．0，{0}，∅三者之间存在什么关系？提示：它们的关系为：0∈{0},0∉∅，∅{0}．知识点三集合相等关系的应用[填一填]如果命题“p(x)⇒q(x)”和命题“q(x)⇒p(x)”，都是正确的命题，这时我们常说，一个命题的条件和结论可以互相推出，互相推出可用符号“⇔”表示．显然，如果p(x)⇔q(x)，则A＝B；反之，如果A＝B，则p(x)⇔q(x)．[答一答]5．给定两个集合：A＝{0,1}，B＝{x|x2＝x}．(1)集合B能否用列举法表示出来？(2)集合A中的元素和集合B中的元素有什么关系？提示：(1)能，B＝{0,1}．(2)由(1)知A＝B.6．与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a＝b”相类比，在集合中，你能得出什么结论？提示：若A⊇B且B⊇A，则A＝B.类型一子集、真子集的概念[例1]设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．[解]由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：∅；由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1，4}；由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}，真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：1确定所求集合；2合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；3注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.[变式训练1]写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P.解：由题意知，集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合．因此所有满足题意的集合P为{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．类型二集合间关系的判断[例2]指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈Z|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)A＝{－1,1}，B＝{∅，{－1}，{1}，{－1,1}}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(5)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}．[解](1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)观察发现集合A是集合B的一个元素，故A∈B.(4)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(5)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示．由图可发现AB.判断集合之间的关系的基本方法是转化为判定元素和集合间的关系，首先判断一个集合A中的任意一个元素是否属于另一个集合B.若是，则A⊆B，否则AB.其次判断另一个集合B中的任意一个元素是否属于集合A.若是，则B⊆A，否则BA.最后下结论：若A⊆B，B⊆A，则A＝B；若A⊆B，BA，则AB；若AB，B⊆A，则BA；若上述三种情况均不成立，则AB，BA.[变式训练2]判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{x|－3≤x<5}，B＝{x|－1<x<2}；(2)A＝{x|x＝k＋eq\f(1,2)，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋eq\f(1,2)，k∈Z}．解：(1)将两个集合在数轴上表示出来，如下图所示，显然有BA.(2)在集合A中，x＝k＋eq\f(1,2)＝eq\f(2k＋1,2)，k∈Z.∵当k∈Z时，2k＋1是奇数，∴集合A中的元素是所有的奇数除以2所得的数．在集合B中，x＝2k＋eq\f(1,2)＝eq\f(4k＋1,2)，k∈Z.∵当k∈Z时，4k＋1只表示了部分奇数，∴BA.类型三集合相等关系的应用[例3]已知M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．[解]因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0.解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.(1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关．要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．(2)若两个集合中元素均为无限多个，要看两个集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两个集合相等．(3)证明两个集合相等的常用思路是证A⊆B且B⊆A.[变式训练3]设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求a2019＋b2019.解：由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,ab＝b))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,ab＝1.))若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,ab＝b，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b∈R))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0.))由集合中元素的互异性可知a≠1，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0，))故a2019＋b2019＝－1.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,ab＝1，))则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))由集合中元素的互异性可知a≠1，故此解舍去．综上所述，a2019＋b2019＝－1.类型四由集合关系求参数取值范围[例4]设集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|m＋1≤x≤2m＋3}，若B⊆A，求实数m的取值范围．[解](1)当m＋1>2m＋3，即m<－2时，B＝∅符合题意；(2)当m＋1≤2m＋3，即m≥－2时，B≠∅.如图，由B⊆A，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≥1，,2m＋3≤4，))解得0≤m≤eq\f(1,2).综合(1)(2)可知，m<－2或0≤m≤eq\f(1,2).1.1分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.2利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.)[变式训练4]已知集合A＝[1,2]，B＝[1，a]，其中a>1.(1)若AB，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若AB，由下图可知a>2.(2)若B⊆A，由下图可知1<a≤2.1．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数为(B)A．4 B．7C．8 D．16解析：可知A＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．共有23－1＝7(个)．2．已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是(C)解析：M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴NM.3．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，则b－a＝(C)A．1