2021年高中学业水平合格性考试数学模拟卷(含参考答案)09

2021年普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟题（09）（考试时间为90分钟，试卷满分为150分）一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．已知集合A＝{x|(x－4)(x＋2)<0}，B＝{－3，－1,1,3,5}则A∩B＝()A．{－1,1,3}C．{－1,1,3,5}B．{－3，－1,1,3}D．{－3,5}解析：因为A＝{x|(x－4)(x＋2)<0}＝{x|－2<x<4}，B＝{－3，－1,1,3,5}，所以A∩B＝{－1,1,3}，故选A．2．log42－log48等于()A．－2C．1B．－1D．222．B解析：log42－log48＝log4＝log441＝－1，故选B．83．函数f(x)＝2－x＋x的定义域为()A．(2，＋∞)C．(0,2)B．(－∞，0)D．[0,2]2－x≥03.解析：D由，得0≤x≤2，故选D．x≥04．已知向量a＝(1,3)，向量b＝(x，－1)，若a⊥b，则实数x的值为()A．－3C．－1B．3D．14.解析：B由于两个向量垂直，故a·b＝x－3＝0，x＝3.5．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是()1A．21C．41解析：利用几何概型得P＝.36．倾斜角为45°，在y轴上的截距为2的直线方程是()A．x－y＋2＝0C．x＋y－2＝0B．x－y－2＝0D．x＋y＋2＝01B．3D．不确定解析：易知k＝1，则直线方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.7．如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为()3A．π2C．3πB．2πD．4π2113解析：由三视图可知，该几何体为圆柱，故其表面积为2×π×＋2π××1＝π，故选A．2228．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()m∥nm⊥α⇒n⊥α；②⇒m∥n；①m⊥αn⊥α③m⊥αm∥α⇒m⊥n；④⇒n⊥α.n∥αm⊥nA．1B．2C．3D．48．C解析：①②③正确，④中n与面α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)．π9．把函数y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝g(x)的图象，再把y＝g(x)图象上所有点的纵坐标伸4长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为()πx－A．y＝2sin4π1x－C．y＝sin24πx＋B．y＝2sin4π1x＋D．y＝sin24ππx－的图象，再把y＝g(x)图象上解析：把函数y＝sinx的图象向右平移个单位得到y＝g(x)＝sin44πx－，故选A．所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，所得到图象的解析式为y＝2sin4π4－，0，cosx＝，则tan2x等于()10．已知x∈257A．2424C．77B．－2424D．－7π43－，0，得sinx＝－，10．D解析：cosx＝，x∈2553所以tanx＝－，43－2×42tanx24所以tan2x＝＝2＝－7.21－tanx3－1－411．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A．525C．2B．1025D．4解析：因为点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，故过点A的圆的切线方程为x＋2y＝5，51525令x＝0得y＝.令y＝0得x＝5，故S△＝××5＝.222412．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asinB＝3b，则角A等于()πA．12πC．4πB．6πD．33π，又△ABC为锐角三角形，故A＝.23解析：由正弦定理得2sinAsinB＝3sinB，即sinA＝113．函数f(x)＝ln|x|＋的图象大致为()x11解析：由四个选项的图象可知f(1)＝1，令x＝，f＝－1＋e>1＝f(1)，由此排除C选项．令x＝e，ee11f(e)＝1＋>1＝f(1)，由此排除B选项．由于f(－e100)＝100－100>0，排除D选项．故选A．eexy14．若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于()abA．2B．3C．4D．511xy11ba＋＝2＋＋≥2＋2＝4，解析：将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)abababab当且仅当a＝b时取等号．故选C．15．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a4a10＝16，则a6＝()A．1C．4B．2D．8a6a61616解析：∵a4＝2，a10＝a6q4，q＝2，∴a4a10＝2·a6·q4＝16，a2＝4，6＝2＝qqq4又a6>0，∴a6＝2.故选B．二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将正确答案填在题中横线上)16．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________．400解析：40×＝16.150＋150＋400＋30017．一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是________．217.解析：两个红球编号为1,2，两个白球编号为3,4，从中任取两个球，共有以下6个结果：(1,2)，342(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，其中恰有一个红球的结果有4个，故所求的概率为＝.6318．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，则tanC＝________．.2－ab31＝＝－，2ab318.－22解析：△ABC中，∵3a2＋3b2－3c2＋2ab＝0，∴cosC＝22，3a2＋b2－c22ab∴sinC＝1－cos2C＝sinC故tanC＝＝－22.cosC19．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，若l1⊥l2，则a＝________．219.解析：∵直线l1：ax＋2y＋6＝0，l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，且l1⊥l2，∴a×1＋2(a－1)＝0，32即a＋2a－2＝0，解得a＝.3三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)如图，已知△ABC是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：(1)FD∥平面ABC;(2)AF⊥平面EDB．120.证明：(1)∵F是BE的中点，取BA的中点M，连接CM，FM，∴FM∥EA，FM＝EA＝a，2∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴CD∥EA，∴CD∥FM，又CD＝a＝FM，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC，FD⊄平面ABC，MC⊂平面ABC∴FD∥平面ABC．(2)因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB，又EA垂直于平面ABC，∴CM⊥AE，又AE∩AB＝A，所以CM⊥面EAB，∵AF⊂面EAB∴CM⊥AF，又CM∥FD，从而FD⊥AF，因F是BE的中点，EA＝AB，所以AF⊥EB．EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以AF⊥平面EDB．21．(12分)已知公差不为零的等差数列{an}满足：a1＝3，且a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；1(2)若Sn表示数列{an}的前n项和，求数列S的前n项和Tn．n21.解：(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由题可知a1·a13＝a24，即3(3＋12d)＝(3＋3d)2，解得d＝2，则an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1．(2)由上述推理知Sn＝n(n＋2)，则Tn＝1111＋＋＋…＋1×32×43×5n(n2)11111111＝1－3＋2－4＋3－5＋…＋n－n＋221111＝1＋2－n＋1－n＋22113＝－－42(n1)2(n2)2n33＝－.42(n1)(n2)22．(12分)某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位