2023-2024学年河南省驻马店市平舆一中九年级（上）期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年河南省驻马店市平舆一中九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，共30分）1．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为（）A．M在⊙O上 B．M在⊙O内 C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB＝100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°3．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．4．若x＝a是方程x2﹣x﹣2016＝0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2016的值为（）A．1 B．2016 C．﹣1 D．﹣20165．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则＝（）A． B． C． D．6．把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣m）2+k的形式是（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣37．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD为直径，弦AC的长为3，∠B＝60°，则⊙O的半径为（）A．4 B． C．3 D．9．反比例函数y1＝（x＞0）的图象与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A、B两点，其中A（1，2），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞210．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，共15分）11．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则EC的长是．12．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．13．在反比例函数y＝﹣的图象上有（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）三点，若x1＞x2＞0＞x3，则y1，y2，y3的大小关系是．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．三．解答题（共75分）16．解方程：（1）x2+2x＝0；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．如图，某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一座高为5米的建筑物CD，数学小组为了测量假山DE的高度，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物底部D点（即假山顶）的仰角为30°，沿水平方向前进25米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，求假山DE的高度．（结果保留根号）18．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A和B（8，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数的图象上，求当2≤x≤8时，函数值y的取值范围．19．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP＝2，PC＝6，求AC的长．20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a＝1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．22．如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．（1）求k的值；（2）直接写出阴影部分面积之和．23．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O为AC的中点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC于点E，求OF：OE的值．

参考答案一、选择题（本题共10小题，共30分）1．已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，4），则点M与⊙O的位置关系为（）A．M在⊙O上 B．M在⊙O内 C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方【分析】根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．解：OM＝＝5，OM＝r＝5．故选：A．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．2．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，已知∠AOB＝100°，那么∠ACB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根据图形，利用圆周角定理求出所求角度数即可．解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝50°，故选：C．【点评】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．3．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2 C．y＝2x2﹣7 D．【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．解：A、是一次函数，故本选项错误；B、整理后是一次函数，故本选项错误；C、y＝2x2﹣7是二次函数，故本选项正确；D、y与x2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．4．若x＝a是方程x2﹣x﹣2016＝0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2016的值为（）A．1 B．2016 C．﹣1 D．﹣2016【分析】根据题意可得：把x＝a代入方程x2﹣x﹣2016＝0中得：a2﹣a﹣2016＝0，从而可得a2﹣a＝2016，然后代入式子中进行计算，即可解答．解：由题意得：把x＝a代入方程x2﹣x﹣2016＝0中得：a2﹣a﹣2016＝0，∴a2﹣a＝2016，∴2a2﹣2a﹣2016＝2（a2﹣a）﹣2016＝2×2016﹣2016＝4032﹣2016＝2016，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．5．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则＝（）A． B． C． D．【分析】由平行四边形对边平行且相等得到AD与BC平行且相等，由平行得到两对内错角相等，由两对角相等的三角形相似得到三角形EDF与三角形CBF相似，由相似得比例即可求出所求式子的值．解：∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠DEF＝∠BCF，∠EDF＝∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴＝，∵AE＝2ED，∴＝＝，则＝，故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．6．把二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣m）2+k的形式是（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2+3 D．y＝（x﹣2）2﹣3【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．解：y＝x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．7．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数．解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝20°，∴∠AOC＝40°，∴∠C＝50°．故选：D．【点评】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD为直径，弦AC的长为3，∠B＝60°，则⊙O的半径为（）A．4 B． C．3 D．【分析】根据圆周角定理得到∠D＝∠B＝60°，∠ACD＝90°，根据正弦的定义计算，得到答案．解：∵∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，∵AD为⊙O直径，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝2，∴⊙O的半径为，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理、正弦的定义，熟记圆周角定理是解题的关键．9．反比例函数y1＝（x＞0）的图象与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A、B两点，其中A（1，2），当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2【分析】先求出两个函数解析式，再画出图象，即可得到答案．解：∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A、B两点，其中A（1，2），∴m＝2，b＝3，∴反比例函数解析式为：y＝；一次函数解析式为：y＝﹣x+3，如图：由图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围是0＜x＜1或x＞2．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m和函数y＝﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】分m＞0及m＜0两种情况考虑两函数的图象，对照四个选项即可得出结论．解：当m＞0时，函数y＝mx+m的图象经过第一、二、三象限，函数y＝﹣mx2+2x+2的图象开口向下，∴C选项不符合题意；当m＜0时，﹣＝＜0，∴函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，函数y＝﹣mx2+2x+2的图象开口向上，且对称轴在y轴左侧，D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，分m＞0及m＜0两种情况考虑两函数的图象是解题的关键．二、填空题（本题共5小题，共15分）11．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB＝4，AB＝6，BE＝3，则EC的长是．【分析】由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB＝BE：BC，又由DB＝4，AB＝6，BE＝3，即可求得答案．解：∵DE∥AC，∴DB：AB＝BE：BC，∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，∴4：6＝3：BC，解得：BC＝，∴EC＝BC﹣BE＝﹣3＝．故答案为：．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理，解题时注意：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．12．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤1．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m＝0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解：由一元二次方程x2+2x+m＝0可知a＝1，b＝2，c＝m，∵方程有实数根，∴Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．13．在反比例函数y＝﹣的图象上有（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）三点，若x1＞x2＞0＞x3，则y1，y2，y3的大小关系是y2＜y1＜y3．【分析】由反比例函数y＝﹣的可知，k＝﹣1＜0，函数的图象在二四象限，y随x的增大而增大，由此进行判断．解：由反比例函数y＝﹣的可知，k＝﹣1＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴当x1＞x2＞0时，则0＞y1＞y2，又C（x3，y3）在第二象限，y3＞0，∴y2＜y1＜y3，故答案为y2＜y1＜y3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点．关键是根据反比例函数的增减性解题．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是2．【分析】根据垂径定理和勾股定理，即可得答案．解：连接OC，由题意，得OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，CE＝ED＝＝，CD＝2CE＝2，故答案为2．【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，解题关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有①②⑤．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故答案为①②⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．三．解答题（共75分）16．解方程：（1）x2+2x＝0；（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）方程二次项系数化为1变形后，利用配方法求出解即可．解：（1）∵x2+2x＝0，∴x（x+2）＝0，∴x＝0或x+2＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2；（2）方程整理得：x2﹣2x＝，配方得：x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，开方得：x﹣1＝±，解得：x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．17．如图，某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一座高为5米的建筑物CD，数学小组为了测量假山DE的高度，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物底部D点（即假山顶）的仰角为30°，沿水平方向前进25米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，求假山DE的高度．（结果保留根号）【分析】解：设假山DE的高度为x，于是得到CE＝DE+CD＝x+5，解直角三角形即可得到结论．解：设假山DE的高度为x，则CE＝DE+CD＝x+5，在Rt△BCE中，∵∠CBE＝45°，∴BE＝CE＝x+5，∴AE＝AB+BE＝30+x，在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，DE＝x，∴AE＝＝x，解答：x＝15+15，答：假山DE的高度为（15+15）米．【点评】此题是解直角三角形的应用﹣﹣﹣仰角和俯角，解本题的关键是利用三角函数解答．18．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A和B（8，n）两点．（1）求k和n的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数的图象上，求当2≤x≤8时，函数值y的取值范围．【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出点B的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；（2）由k＝8＞0结合反比例函数的性质，可得当x＞0时，y随x值增大而减小，即可求解．解：（1）把B（8，n）代入，得：，∴B（8，1），∵反比例函数过点B（8，1），∴k＝8×1＝8；（2）由（1）可知反比例函数的解析式为，∵k＝8＞0，∴对于反比例函数，当x＞0时，y随x值增大而减小，当x＝2时，y＝4，当x＝8时，y＝1，∴当2≤x≤8时，1≤y≤4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，用到了点在函数图象上，则点的坐标就适合所在函数图象的函数解析式，待定系数法等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．19．如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC．（1）求证：△APC∽△ACB；（2）若AP＝2，PC＝6，求AC的长．【分析】（1）证明∠B＝∠ACP，结合∠A＝∠A，即可解决问题．（2）由△APC∽△ACB，得到，利用AP＝2，PC＝6，AB＝8，即可解决问题．解：（1）∵PB＝PC，∴∠B＝∠PCB；∵PC平分∠ACB，∴∠ACP＝∠PCB，∠B＝∠ACP，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB．（2）∵△APC∽△ACB，∴，∵AP＝2，PC＝6，AB＝8，∴AC＝4．∵AP+AC＝PC＝6，这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，∴该题无解．【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键．20．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC的一边a＝1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根．（2）根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长．【解答】证明：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．解：（2）分两种情况：①若b＝c，∵方程x2﹣（k+2）x+2k＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴此时方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，∴△ABC的周长为5；②若b≠c，则b＝a＝1或c＝a＝1，即方程有一根为1，∵把x＝1代入方程x2﹣（k+2）x+2k＝0，得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，∴此时方程为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴方程另一根为2，∵1、1、2不能构成三角形，∴所求△ABC的周长为5．综上所述，所求△ABC的周长为5．【点评】考查根的判别式，等腰三角形的性质及三角形三边关系．21．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC＝CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD＝AB，即可得：∠B＝∠D；（2）首先设BC＝x，则AC＝x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2＝42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．【点评】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与