2022-2023学年湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学高二（上）入学数学试卷

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学高二（上）入学

数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求）

I.(5分)设集合4={Mx2-2xW0},8={-l,0,1,2,3},则AnB=()

A.{-1}B.{-1,0)C.{0,1}D.{0,1,2}

2.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，AE=3AF,则Z⅛=()

33333436

3.（5分）已知（I-2i）z=4-3i,则Z=（）

A.10+/B.2+iC.2-/D.2+5/

4.（5分）命题“对任意实数x∈[l,3],关于X的不等式Λ2-αW0恒成立”为真命题的一个

必要不充分条件是（）

A.a≤9B.心8C.心9D.a≥10

5.（5分）已知函数/（x）=（4Λ-4'X）/小|的图像大致为（）

6.（5分）已知〃=Iog32,⅛=70°1,

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

7.（5分）已知三棱锥Q-ABC的顶点都在球。的球面上，底面AABC为等边三角形，且

其所在圆Oi的面积为6π.若三棱锥D-ABC的体积的最大值为9b，则球0的半径R

为（）

LL77√3

A.4√2B.3Λ∕3C.-D.-----

23

8.（5分）分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件M=“至少有2枚正面朝上”，则与事件

M相互独立的是（）

A.3枚硬币都正面朝上

B.有正面朝上的，也有反面朝上的

C.恰好有1枚反面朝上

D.至多有2枚正面朝上

二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

（多选）9.（5分）若a、氏C为实数，则下列命题不正确的是（）

A.若a>b,则4c2>6c∙2B.若α<b<0,则

C.若“<匕<0,则工V工D.若α<b<O,则2>±

abab

（多选）10.（5分）己知平面向量向量Q=（1,-2）,b=（4,y）,（）

A.若则y=-8

B.若则会在热+b方向上的投影向量是（1,0）

C.α与α+b的夹角为锐角，则y的取值范围为（-8,≥）

D.若b的夹角为120°,则y=3

11

（多选）11.（5分）从甲袋中摸出一个红球的概率是一,从乙袋中摸出一个红球的概率是一,

32

从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）

1

A.2个球都是红球的概率为Z

B.2个球中恰有1个红球的概率为？

5

C.至少有1个红球的概率为二

D.2个球不都是红球的概率为1

（多选）12.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABC£）-48Iaz）I中，E,尸分别为棱BICι,

BBl的中点，G为面对角线Al力上的一个动点，则（）

A.三棱锥Bi-EFG的体积为定值

B.线段AlQ上存在点G,使AiCL平面EFG

C.线段4。上存在点G,使平面EFG〃平面ACDi

,2√2

D.设直线FG与平面AOQiAl所成角为3则SinO的最大值为一^―

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13.（5分）函数f（x）=Sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间

为.

Iln

14.（5分）设0>b>c,∕ι∈N,且---+----≥----恒成立,则n的最大值是,

a-bb-ca-c

15.（5分）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于I（TC即为入冬.将连续5天

的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、

③、④，依次计算得到结果如下：

①平均数xV4；

②平均数x<4且极差小于或等于3；

③平均数x<4且标准差sW4；

④众数等于5且极差小于或等于4.

则4组样本中一定符合入冬指标的共有.（填序号）

16.（5分）某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中A8,AC为两条

公路，NBAC=I20°,M,N为公路上的两个景点，测得AW=2h〃，AN=Tkm,为了拓

展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P,为了获得最佳观景效果，要求P对例，N的

视角NMPN=60°.现需要从观景台p到M,N建造两条观光路线PM,PN,且要求观

光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方造价为100元，则该景区预算需投入

万元可完成改造.（夕~2.65）

四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知圆柱高为4,母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积.

18.（12分）在aABC中，角4,B,C的对边分别为“，b,c,且反os4+坐”=c.

（1）求B的大小；

（2）若0=g，a+b=2,求aABC的面积.

19.(12分)已知函数/(x)=2SirLr(SiIIr+cosx).

(1)求/(x)的最小正周期和最小值；

a2

(2)若/(一)=5，求Sin2〃的值.

2乙

20.(12分)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生

活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过

随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得

到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)求4；

(2)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数元(单位：分钟)；

(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)

(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间

位于分组［50,60),［60,70)和［80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调

查，求其中至少有1人每天阅读时间位于［80,90)的概率.

21.(12分)如图，PO是三棱锥P-A8C的高，PA=PB,ABlAC,E为PB的中点.

(1)证明：OE〃平面B4C；

(2)若NABo=NCBo=30°,Po=3,PA=5,求二面角C-AE-3的正弦值.

(1)求函数f(x),gω的解析式:

(2)设函数F(X)=+1,记H(n)=F(ɪ)+F(-)+F(ɪ)+.........+F(-)

f(%-今)nnnn

("∈N*,心2).探究是否存在正整数〃(心2),使得对任意的x∈(0,1],不等式g(2x)

>H(n)∙g(x)恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数"的值；若不存在，请说

明理由.

2022-2023学年湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学高二（上）入学

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求)

1.(5分)设集合A={x∣∕-2x<0},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()

A.{-1}B.{-1,0)C.{0,1}D.{0,1,2}

【解答】解：∙.∙A={x∣χ2-ZrW0}={x∣0WxW2},

B={-1,0,1,2,3),

ΛA∩B={O,I,2}.

故选：D.

2.（5分）如图，在平行四边形A8CZ）中，E是BC的中点，AE=3AF,则而=（）

1→2一IT2一IT3-IT5一

A.B.-AB--ADC.-AB--ADD.-AB--AD

33333436

【解答】解：在平行四边形中，由已知可得:

DF=AF-AD=^AE-AD=∣(½⅛÷∣⅛-ΛD

ITITTIT5→

=^AB+^AD-AD=^AB-^AD

DOɔOf

故选：D.

3.(5分)已知(1-2i)5=4-3i,则Z=()

A.10+zB.2+/C.2-iD.2+5z

【解答】解：・・・(l-2i)z=4-3/,

.__4-3i_(4-3i)(l+2i)_4÷5i+6_10+5i.

*∙z=I≡2f=(l-2i)(l+2i)=1+4=~5~=2+/,

.∙.z=2-/,

故选：C.

4.（5分）命题“对任意实数x∈[l,3],关于X的不等式7-aWO恒成立”为真命题的一个

必要不充分条件是（)

A.4W9B.心8C.心9D.心10

【解答】解：命题”对任意实数XH1,3],关于X的不等式,jWO恒成立”=“介9”

故命题“对任意实数xRl,3],关于X的不等式W-a≤0恒成立”为真命题的一个必要

不充分条件是“z8,

故选：B.

5.(5分)已知函数/(x)=(4'-4^x)/〃国的图像大致为()

/(-x)=(4-X-4")/川-Xl=-(4x-4D加IM=-f(x),

可得/U)为奇函数，其图像关于原点对称，可排除选项C、。；

f(%)的零点为0,±bf(|)<0,可排除选项&

故选：A.

6.(5分)已知α=log32,⅛=7001,c=log95×logs3,则()

A.c<h<aB.c<a<hC.b<c<aD.a<c<b

【解答】解：因为α=log32,⅛=70°',C=IOg95Xlog53,

所以a=log32∈(0,I),⅛=70∙01>l,

C=箱X耦=A，。938Va=的32VI，

所以c<a<b.

故选：B.

7.（5分）已知三棱锥O-ABC的顶点都在球。的球面上，底面AABC为等边三角形，且

其所在圆Oi的面积为6π.若三棱锥D-ABC的体积的最大值为9/，则球。的半径R

为（）

LL77√3

A.4√2B.3Λ∕3C.-D.-----

23

【解答】解：三棱锥Q-ABC的顶点都在球。的球面上，底面AABC为等边三角形，且

其所在圆Oi的面积为6π,

设圆0\的半径r,则ιτr2=6n,r=√6,

设AABC的边长为“,则等边BC的高（中线）为苧"，

∙.∙重心分中线之比为2：1,

.".—a=5Vβ,α=3V2,

22

三棱锥D-ABC的体积的最大值为9√5,

设棱锥的高为H,-XJXl（3√Σ）2X∕7=9√3,H=6,

34

外接球的半径为R，可得解=（6-R）2+（√6）2,解得R=M

故选：C.

8.（5分）分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件M=“至少有2枚正面朝上”，则与事件

M相互独立的是（）

A.3枚硬币都正面朝上

B.有正面朝上的，也有反面朝上的

C.恰好有1枚反面朝上

D.至多有2枚正面朝上

【解答】解：分别抛掷3枚质地均匀的硬币，可能出现记过的样本空间为：

Q=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，

正，反），（反，反，正），（反，反，反）｝,共8个样本点，

事件M="至少有2枚正面朝上”，

则M=｛（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）｝,共4个样本

Λ1

点，则P(M)=言=，

OL

设A="3枚硬币都正面朝上"，则A={(正，正，正)},

11

：.P(A)=AP(AM)=AP(AM)≠P(A)P(M),A错误；

OO

设8=”有正面朝上的，也有反面朝上的"，则8={(正，正，反)，(正，反，正)，(正,

艮

腐

反

正

正

Z∖Z正∖

fJfJ

K≡,ZkZ

41633

-=_=-=-

8,288

4,

：.P(BM)=P(M)P(B),事件B与M相互独立，B正确;

设C="恰好有1枚反面朝上“，贝∣JC={(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)},

P(C)=卷P(CM)=⅛,PCCM)≠P(C)P(M),C错误；

OO

设。="至多有2枚正面朝上“，则。={(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反),

(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)},

72

P(D)=JP(DM)=^,P(DM)≠P(D)P(Λ∕),£)错误.

OO

故选：B.

二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

(多选)9.(5分)若〃、b、C为实数，则下列命题不正确的是()

A.若α>b,贝!］次，>灰？B.若α<Z?V0,贝!J廿

C.若αVbV0,则一V二D.若QVbV0,则一>二

abab

【解答】解：对于A,令C=O,则〃。2=藤2,故A错误，

u

对于3,∖a<b<Of

∙∖a2-ab=a(a-b)>0,ab-b2=bCa-Z?)>0,

Λa1>ab>b2,故B正确,

对于C,VΛ<⅛<O,

Λ⅛-a>01CIb>3

11b-a11

ʌ—-7=-ZT>θ,即—>工，故C错误，

ababab

ba

对于力，令4=-2,b=-1,满足α<b<O,但一〈:，故。错误.

故选：ACD.

(多选)10.(5分)已知平面向量向量Q=(1,-2),b=(4,y),()

A.若贝∣Jy=-8

B.若段，£则以在展+1方向上的投影向量是(1,0)

C.α与α+b的夹角为锐角，则y的取值范围为(一8,1)

D.若工R勺夹角为120°,则y=3

【解答】解：A：若则lXy+2X4=0,解得y=-8,故A正确；

B：若或J.1,则lX4-2y=0,解得y=2,所以Z=(4,2),则N+1=(5,0),

TTT

所以。在自+1方向上的投影是0呼¥)=∙∣=1，则最在％+。方向上的投影向量为(1,0)，

∖a+b∖5

故B正确；

C：设之与2+1的夹角为。，则COSe=生F)*'l)e(。,1),解得5，<£且尸^-8,

√5√25+(y-2)2

故C错误；

D：cos<a,b>=_2-=-J,解得y≠3,故。错误.

√5∙J16+y22

故选：AB,

11

(多选)11.(5分)从甲袋中摸出一个红球的概率是j从乙袋中摸出一个红球的概率是:，

32

从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是()

1

A.2个球都是红球的概率为二

6

1

B.2个球中恰有1个红球的概率为一

2

C.至少有1个红球的概率为:

6

1

D.2个球不都是红球的概率为孑

【解答】解：2个球都是红球的概率为:X：=J

故选项A正确；

11111

2个球中恰有I个红球的概率为:X(l-ɪ)+(l-ʌ)×4=i,

3，ɔLL

故选项B正确;

2个球都不是红球的概率为（l-ɪ）X（l-ɪ）=|,

2

故至少有1个红球的概率为3

故选项C错误；

2个球不都是红球的概率为=£，

OO

故选项。错误；

故选：AB.

（多选）12.（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-Ai为Cgl中，E,F分别为棱BlC1,

381的中点，G为面对角线4。上的一个动点，则（）

A.三棱锥Bl-EFG的体积为定值

B.线段40上存在点G,使AleL平面EFG

C.线段4。上存在点G,使平面EFG〃平面40

2√2

D.设直线FG与平面AOE>ι4所成角为。，则SinO的最大值为三

【解答】解：易得平面AOCiAl〃平面BCCiBi,所以G到平面BeCI曲的距离为定值，

又SABlEF为定值，所以三棱锥G-BIEF即三棱锥Bi-EFG的体积为定值，.'A选项正确；

易证4C_L平面BCiO,当G为线段Alo上靠近。的四等分点时，可证平面CEF〃平面

BC∖D,

所以AiCL平面EFG,二B选项正确；

设平面AiBiCD与平面EFG相交于GM平面AiBiCD与平面ACD∖相交于CM,

若平面EFG〃平面ACDi,则CM//GN,则G必在DAi的延长线上，；.C选项错误；

因为尸到平面ADrMI的距离为定值2,所以Sino=e

Λ

在aA1FE>中，A1F=√5,A1D=2√2,DF=3,则cos/D&F=五,

3

所以SinO的最大值为之.'D正确.

所以FG的最小值为4∕siMD4ιF=济∙

三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)

13.(5分)函数yQ)=sin(3x+φ)的部分图象如图所示,则y(x)的单调递增区间为[24

2&一耳],LwZ•

12π51

【解答】解：根据函数/(x)=sin(ωx+φ)的部分图象，可得了了=]一？∙'ω=π∙

再根据五点法作图，可得πx*+φ=π,.∙.φ=票/(ɪ)=Sin(πx+苧).

令2kn-2≤πx+w≤2Λιι+于kEZ,解得2k-[≤xW2Z-4，kCZ,

故函数的增区间为0-/2度-3,Ze函

C1

故答案为：⑵1一本2k-Jtez.

Iln

14∙(5分)设心Qc,"∈N,用工+M≥H*成立，则"的最大值是.4

11n11

【解答】解：根据题意，a>b>c,÷-≥-----=>77≤Ca-c)(+------),

a-c--------------a-bb-c

,1111a-b

又由(“-C)(-----+------)=[(a-b)+(b-c)J(-------+------)=2+τ------H

a-bb-ca-bb-cb-c

bb—-cc、八Ca—bb—c

2+2λ

Ha→-b≥√∂=ΞX百=4,

11

即(4-c)(-----+-----)的最小值为4,

a-bb-c

若“W(α-c)(-----+-----)恒成立,

a-bb-c

则必有"W4,

则〃的最大值为4i

故答案为：4.

15.（5分）根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于I（TC即为入冬.将连续5天

的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、

③、④，依次计算得到结果如下：

①平均数xV4；

②平均数x<4且极差小于或等于3；

③平均数x<4且标准差.v≤4;

④众数等于5且极差小于或等于4.

则4组样本中一定符合入冬指标的共有②④.（填序号）

【解答】解：对于①，举反例：0,0,0,4,11,其平均数x=3<4,但不符合题意，故

①错误；

对于②，假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3,

得到此数据中最小值为10-3=7,此时数据的平均数必然大于7,

与x<4矛盾，故假设错误，

此组数据全部小于10,符合题意，故②正确；

对于③，举反例：1,1,1,1,11,平均数x=3V4,且标准差s=4,

但不符合入冬指标，故③错误；

对于④，T众数为5,极差小于等于4,

；・最大数不超过9,故④正确.

故答案为：②④.

16.（5分）某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P（如图所示），其中AB,AC为两条

公路，NBAC=I20°,M,N为公路上的两个景点，测得AM=2h〃，AN=Ikm,为了拓

展旅游业务，拟在景区内建一个观景台P,为了获得最佳观景效果，要求P对M,N的

视角/MPN=60°.现需要从观景台P到M,N建造两条观光路线PM,PN,且要求观

光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每平方造价为100元，则该景区预算需投入

265万元可完成改造.（近右2.65）

【解答】解：在AAMN中，由余弦定理得

MN2=AM2+AN2-2AM∙A∕Vcosl20o=7,

解得MN=夕（千米）；

(II)设NMNP=a,NMPN=60°,INPMN=120°-α,

MNPMPN

在APMN中,由正弦定理「得嬴Z标——,

sinaSiTI(120。一«)

MN_=.∙,pM=^⅛ina,PN=^ɪsin(120。

-a),

SinZ-MPNsιn60o333

PM+PN=^ɪɪsina+^ɪɪsin(120o-a)=(sina+ɪeosa+ɪsina)

f-vɜ1r-

=2√7(—Sina+τyCOSa)=2V7sin(a+30o)

22

一1

又YaG(0o,120o),.β.sin(a+30o)∈(一，1]

2

:∙PM+PNW(√7,2√7],

观光路线最长为2√7,该景区预算需投入5.3×5×1≡×100=265万元.

故答案为：265.

四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知圆柱高为4,母线与侧面展开图的对角线成60°角，求该圆柱的体积.

【解答】解：设圆柱的底面半径为r,则侧面展开图是一个长为如厂，宽为4的矩形，

2τΓ7,ɔF5

依题意---=tan60o,BPr=------,

4/r

所以该圆柱的体积为：πr2.4=4π×ð2=

FS

18.（12分）在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且反osA+手a=c.

(1)求B的大小；

(2)若c=√5,a+b=2,求AABC的面积.

【解答】解:(1)*/⅛cosA+ɪɑ=c,

由正弦定理可得sinBcosA+ɪsiɪvl=sinC,

又SinC=Sin(A+8)=SinACoS8+cosAsin8,

√3

-sinA=SinAcosB,

2

VsinΛ≠O,

・PB

..COsB=-ʃr

VB∈(O,π),

,B=1.

6

(2)VB=I,c=√3,

2

由余弦定理可得COSB=1+3_)=卓，整理可得/-b+3=3a,

2×α×√32

又a+b=2,解得α=h=l,

・「1∙Γ*11/7T1\^3

•・SzχA8C=7〃CSIn8=2×1×V3×2=彳.

19.(12分)已知函数/(1)=2SinX(SinX+cosX).

(1)求fG)的最小正周期和最小值；

a7

(2)若/(5)=2»求sin24的值.

【解答】解：(1)由题意得/(x)=2SirLY(sirEi+cosx)=sin2x-cos2x+l=V2sin(2x—

÷1,

可得/(x)的最小正周期为T=当=π,

所以当X=E-髭Z时，f(x)有最小值-¢+1.

(2)由/(一)=可得企Sin(a—?)+1=卜,

可得sin(a-ξ)=景

所以CoS(2a—*)=1-2sin2(a—=.,

JrQ

所以sin2α=cos(2a—)=ξ∙

20.（12分）书籍是精神世界的入口,阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生

活习惯，每年4月23日为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过

随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得

到样本的频率分布直方图，如图所示.

(1)求a；

（2）根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数元（单位：分钟）；

（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）

（3）为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间

位于分组［50,60）,［60,70）和［80,90）的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调

查，求其中至少有1人每天阅读时间位于［80,90）的概率.

频率

组距

0.010

0.005

O5060708090100

【解答】解:(1)根据频率分布直方图得：(0.005+0.0l+2a+0.045)×10=l,

解得4=0.020,

(2)根据频率分布直方图得：

平均数元=(55×0.01+65×0.02+75×0.045+85×0.02+95×0.005)义10=74,

(3)由于［50,60),［60,70)和［80,90)的频率之比为：1：2：2,

故抽取的5人中［50,60),［60,70)和［80,90)分别为：1人，2人，2人，

记［50,60)的1人为a,［60,70)的2人为6c,［80,90)的2人为A,B,

故随机抽取2人共有(a,h),Ca,c),(a,A),Ca,B),(b,c),Ch,A),(b,B),

(c,A),(c,B),CA,B)10种结果，

其中至少有1人每天阅读时间位于［80,90)的包含7种，

故概率P=ɪ.

21.（12分）如图，P。是三棱锥P-ABC的高，PA=PB,ABYAC,E为P8的中点.

(1)证明：OE〃平面B4C；

(2)若∕ABO=NC3O=30°,P0=3,B4=5,求二面角C-AE-8的正弦值.

又OAU平面ABC,OBU平面A8C,则。匕LOA,OPLOB,

NPOA=NPoB=90°,

又PA=PB,OP=OP,则APOA也Z‰P08,

.,.OA=OB,

延长8。交AC于点F,又ABLAC,则在RtAAB尸中，。为BF中点，连接PR

在aPBF中，。，E分别为BR8P的中点，则OE〃PF,

；。年平面B4C,PFc5FffiPAC,

：.OE〃平面PAC↑

(2)过点A作AA/〃OP,以A8,AC,AM分别为X轴，y轴，Z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，

由于Po=3,B4=5,由(1)知0A=0B=4,

又NABo=NC80=30°,则AB=46，

Q

ΛP(2√3,2,3),B(4√3,0,0),A(0,0,0),F(3√3,1,分

又AC=ABtan60°=12,即C(0,12,0),

设平面AEB的一个法向量为n