2023-2024届新高考一轮复习湘教版 7-2 空间点、直线、平面的位置关系 学案

第二节空间点、直线、平面的位置关系

【课标标准】L借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,

抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能用定理

解决问题.

必备知识夯实双基

知识梳理

1.平面的基本事实

基本事实1：过的三个点，有且只有一个平面.

基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点

的公共直线.

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线.

2.三个推论

推论1：经过一条直线与有且只有一个平面；

推论2：经过两条一直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条一直线有且只有一个平面.

3.直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类］共面直线｛---------.

I异面直线：不同在一个平面内的两条直线

(2)异面直线所成的角：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点。分别作直线"〃”，

b'∕∕b,把直线J与〃所成的角叫做异面直线。与6所成的角(或夹角).范围为：.

4.直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有：,，______________三种

情况.

5.平面与平面的位置关系

平面与平面的位置关系：,两种情况.

6.等角定理

如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角.

［常用结论］

1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

2.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

3.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

4.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

夯实双基

1.思考辨析(正确的打“，错误的打“X”)

(1)没有公共点的两条直线是异面直线.()

(2)两两平行的三条直线可以确定三个平面.()

（3）两个平面α,仅有一个公共点A,就说α,夕相交于过A点的任意一条直线.（）

（4）如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.（）

2.（教材改编）下列命题中正确的是（）

A.过三点确定一个平面

B.四边形是平面图形

C.三条直线两两相交则确定一个平面

D.两个相交平面把空间分成四个区域

3.（教材改编）三个平面最多把空间分成部分，最少能把空间分成部

4.（易错）已知两条相交直线a,b,α〃平面α,6与α的位置关系是（）

A.b//aB.6与α相交

C.buaD.b//。或6与α相交

5.（易错）如果。4〃。凶”OB〃0B,ZAOB=^f则NAlO归I=

关键能力•题型突破

题型一平面基本事实的应用

例1［2023∙辽宁抚顺一中模拟］如图，在三棱柱4B∣G-ABC中，E,F,G,H分别为

BBι,CCl,A1B1,AICl的中点.

（1）证明：E,F,G,"四点共面.

（2）证明：EG,FH,A4三线共点.

［听课记录］

题后师说

共面、共线、共点问题的证明方法

巩固训练1

（l）［2023∙安徽淮南一中模拟］在长方体48Co-AlBlGA中，直线AlC与平面AsA的交

点为M,O为线段8。的中点，则下列结论错误的是（）

A.A,M,。三点共线

B.M,O,Al,A四点共面

C.B,Bi,O,M四点共面

D.A,O,C,"四点共面

（2）在空间四边形ABC£）各边A8、BC、CD、ZM上分别取E、尸、G、H四点，如果E尸

与GH能相交于点P,那么（）

A.点P不在直线AC上

B.点尸必在直线8。上

C.点P必在平面ABC内

D.点尸必在平面48C外

题型二空间两直线的位置关系

例2（l）［2023•河北英才国际学校模拟K多选）如图所示，正方体ABCO-4向Gu中，M,

N分别为棱GO”GC的中点，下列说法正确的有（）

A.直线AM与CCi是相交直线

B.直线AM与BN是平行直线

C.直线BN与MBl是异面直线

D.直线AM与。Qi是异面直线

（2）［2023•辽宁沈阳二中模拟］如图，G、H、例、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,

则表示直线GH与MN是异面直线的图形有.

［听课记录］............................................................................

题后师说

空间两直线位置关系的判定方法

异面

空直线

间

可构造几

两可利用中位线

直何模型

线性质,基本事实技巧

位（长方体

4、线面、面面平

置或正方

关行的性质定理

系体）

利用线面垂直

性质判定

巩固训练2

（1）若空间中四条两两不同的直线小11，”,14,满足∕∣∙U2,∕2∙L∕3,∕31∕4,则下列结论

一定正确的是（）

A./1J-/4

B.∕∣∕∕∕4

C./1与ʌt既不垂直也不平行

D.h与h的位置关系不确定

（2）α是一个平面，m,〃是两条直线，A是一个点，若InQa,«ca,JLA∈∕n,A∈a,

则w,"的位置关系不可能是（）

A.垂直B.相交

C.异面D.平行

题型三异面直线所成的角

例3［2023•河南焦作期末］在四面体4BC。中，AB=Cc,且异面直线AB与C£＞所成的

角为50。，M,N分别是边8C,AO的中点，则异面直线MN和A8所成的角为（）

A.25°或50。B.25°或65。

C.50oD.65o

［听课记录］....................................................................

题后师说

求异面直线所成角的步骤

巩固训练3

[2021•全国乙卷]在正方体ABCZ)-AIBClOl中，尸为8Q∣的中点，则直线PB与AZ)I所

成的角为()

第二节空间点、直线、平面的位置关系

必备知识•夯实双基

知识梳理

1∙‘木在一条直线两个点有且只有一条平行

2.这条直线外一点相交平行

3.相交直线平行直线任何(0,ɪ]

4.直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行

5.平行相交

6.相等或互补

夯实双基

1.答案：(1)×(2)×(3)×(4)×

2.解析：对于A,过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；

对于B,四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；

对于C,三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；

对于D,平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确.

答案：D

3.解析：三个平面可将空间分成4,6,7,8部分，所以三个平面最少可将空间分成4

部分，最多分成8部分.

答案：84

4.解析：因为α,6是两条相交直线，所以α,b确定一个平面夕，若夕〃α,则％〃α,

若“与α相交，则6与α相交.故选D.

答案：D

5.解析：：OA〃OlAOB∕∕O∖B∖,

当直线OA,OA∣,OB,0囱中方向都相同或都相反时，ZA∣O1Bl=p

当直线OA,0Al,0B,。8中方向有一条不同，一条相反时，/A∣0∣B∣=等

答案.-a£—

关键能力•题型突破

(1)如图，连接EF,GH.

：GH是aAiBiG的中位线，：.GH/∕BiCl.

'：BiE//CiF,且SE=GF,四边形BIE尸CI是平行四边形,

"

：.EF/∕BiCi,..EF∕∕GH,：.E,F,G,月四点共面.

(2)如图，延长EG,FH相交于点、P.

VP∈EG,EGU平面ABBA,...Pe平面ABBIA∣.

'JP&FH,尸HU平面ACGA1,.∙.P∈平面ACClA1.

Y平面ABBIAlA平面ACClAi=AAl,

ΛP∈A41,：.EG,FH,AAl三线共点.

巩固训练1解析：

(1)因为A4|〃CG,则4,A1,Cl,C四点共面.

因为M∈A∣C,则Me平面ACGAI,又M∈平面ABlz)ι,

则点M在平面ACClAl与平面AB∣D∣的交线上，

同理，0、A也在平面ACClAl与平面ABIol的交线上，

所以A、M,。三点共线，从而0,A∣,A四点共面，A,0,C,M四点共面.

由长方体性质知：0M,BBl是异面直线，即8,Bi,0,M四点不共面.

故选C.

(2)

在空间四边形ABCD中，点E、尸分别在边AB、BC上，有E∈平面ABC,尸∈平面ABC,

则直线EFU平面ABC,

同理，直线G”U平面AOC,因EEG”能相交于点P,即PCEr，PGGH,

因此P∈平面ABC,PW平面AOC,而平面ABCn平面AOC=4C,于是有P∈AC,A

不正确，C正确，D不正确；

又直线Ae与BD没有公共点，即点尸不在直线8。上，B不正确.

故选C.

答案：(I)C(2)C

例2解析：

(D因为点A在平面CCl外，点M在平面α>r>∣C∣内，直线CCl在平面CmG内，

CG不过点所以AM与CCl是异面直线，故A错；

如图，取Od的中点E,连接AE,则BN〃AE,但AE与4例相交，故B错；

因为Bl与BN都在平面BCGBl内，M在平面BCGBi外，BN不过点B∣,所以BN与

MBl是异面直线，故C正确；同理D正确.

故选CD.

(2)根据题意，

在①中，MG〃HN且MG=NH,则四边形Λ∕GMV是平行四边形，有"G〃MN,不是异

面直线；

图②中，G、H、N三点共面，但A腐平面GHM因此直线GH与MN异面；

在③中，G、M分别是所在棱的中点，酝以GM〃HN且GM乎HN,故HG,NM必相交，

不是异面直线；

图④中，G、M、N共面,但照平面GMM；.GH与MN异面.

所以图②④中GH与MN异面.

答案：(I)CD⑵②④

巩固训练2解析：bJ-b,与h的位置关系不确定,

又/4，/3,,/I与，4的位置关系不确定.

故A、B、C错误.故选D.

(2)Ya是一个平面，内〃是两条直线，A是一个点，机*。，nua,

，〃在平面仪上，相与平面仪相交，

VA∈∕w,A∈α,

∙∙A是"7和平面、相交的点,

Tzn和〃异面或相交，一定不平行.故选D.

答案：(I)D(2)D

例3解析：

取AC中点G,连接GM,GN,，：M、N分别为边BC和A。的中点，

.∖GM∕∕AB,GN//CD,且GM=IB,GN=^CD,

异面直线AB与C。所成的角是NMGN或其补角，由GM精4B,GN崔CD,A