感悟勾股定理中的数学思想2010.8.29

优秀教师成长录感悟勾股定理中的数学思想柳州市第三十五中学杨雅思中学数学教学过程，实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中，必然要涉及数学思想的问题。因为数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝，是数学的精髓，它对数学教育具有决定性的指导意义。解数学题最根本的途径是“化难为易，化繁为简，化未知为”，也就是把复杂繁难的数学问题通过一定的数学思维、方法和手段，逐渐将它转变成一个大家熟知的简单的数学形式，然后通过大家所熟悉的数学运算把它解决，这就是数学教学上常用的“转化”的思想。除此之外，还应经常在教学中渗透整体思想、分类思想、方程思想等.把传统知识型教学转化为能力型教学，是培养创造性人才的良好手段和渠道。勾股定理是反映自然界根本规律的一条重要结论，在现实世界中有广泛应用。在人教版八年级下册《勾股定理》一章中，在运用勾股定理解决实际问题时，假设能结合运用一些数学思想，那么可使思路开阔、方法简捷。使知识结构得到优化，学生终身受益。1、整体思想解数学题时，学生往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成假设干个简单的子问题，然后再各个击破、分而治之．殊不知，这种“只见树木、不见森林”的思考方法，常常导致解题过程繁杂、运算量大，甚至半途而废．其实，有很多数学问题，如果我们有意识地放大考察问题的“视角”，往往能发现问题中隐含的某个“整体”，利用这个“整体”对问题实施调节与转化，常常能使问题快速获解．象这种从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法，称为整体思想方法。例1.如图，Rt△ABC的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。分析：假设要直接求出a与b的值，要用二次方程求解较繁。但由联想到运用整体思想〔将ab视为一个整体〕，问题便可顺利获解。解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得即又由得所以解得所以2、“转化”的思想

转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的根本思想，不少数学思想都是转化思想的表达.就解题的本质而言，解题即意味着转化，即把生疏的问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为条件，把一个综合问题转化为几个根本问题，把顺向思维转化为逆向思维。例2.如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B距点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体外表从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？析解：将长方体展开成平面图形．因为两点之间线段最短，所以所求的爬行路程是线段的长度，根据点在图上的位置，展开后线段AB有两种可能，即图4和图5．在图5中，由勾股定理，得，所以，在图6中，由勾股定理，得，因为，所以蚂蚁需要爬行的最短路程是cm．由此我们知道，假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且时，最短路程就是。说明这里原本是求最短距离，却转化成研究长方体的展开图问题，但最终还是利用勾股定理求两点间的距离问题．3、分类思想分类讨论思想是指在对一个复杂问题出现的情况进行全面分析思考的根底上，将其转化为几个较简单的子问题，进而在既不重复又不遗漏的各种情况下处理解决问题的思想方法。例3.在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高线AD=12。试求BC的长。分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。解：由于三角形的形状不确定，所以求BC的长可以从以下两方面考虑：〔1〕如图，当BC边上的高线在△ABC内部时，由勾股定理，得所以〔2〕如图，当BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得此时综上所述，BC的长为25或7。

分类思想是解题的一种常见的思想方法，它有利于培养和开展同学们思维的条理性、缜密性和灵活性，使同学们学会完整地考虑问题、解决问题，只有掌握了分类思想方法，在解题中才不会出现漏解的情况。4、方程思想所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设未知数，运用定义、公式、性质、定理和条件、隐含条件，把所研究的数学问题中量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思维方法。方程思想对解决与等量有关的数学问题十分有效。例4.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，且AB=10，BC=8，求CD的长。分析：在Rt△ABC中，由勾股定理容易求出AC的长，再根据三角形的面积关系构造方程，那么问题便水到渠成。解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得因为△ABC的面积即所以5、数形结合思想大千世界，“数”与“形”无处不在。任何事物，剥去它的质的方面，只剩下形状和大小这两个属性，就交给数学去研究了。

在今后的数学学习中，要重视“数形结合”的思维训练，任何一道题，只要与“形”沾得上一点边，就应该根据题意画出草图来分析一番，这样做，不但直观，而且全面，整体性强，容易找出切入点，对解题大有益处。尝到甜头的人慢慢会养成一种“数形结合”的好习惯。例5.如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广。如图：〔1〕以Rt△ABC的三边长为边作三个等边三角形，那么这三个等边△的面积，S1、S2、S3之间有何关系，说明理由。〔2〕如图，以Rt△ABC的三边长为直径作三个半圆，那么这三个半圆的面积S1，S2，S3之间有何关系？〔3〕如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻折180°，成为下列图，请验证：“两个阴影局部的面积之和正好等于直角三角形的面积”〔此阴影局部在数学史上称为“希波克拉底月牙”〕解：〔1〕中S1，S2，S3的表示均与直角三角形的边长有关。

所以根据勾股定理可得出S1，S2，S3的关系，S1+S2=S3〔2〕类似于〔1〕：S1+S2=S3〔3〕图中阴影局部的面积是S1+S2+S△ABC-S3∴S阴影=S△ABC

例6.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。分析：此题情景与人们的日常生活密切相关，其思维深度具有一定挑战性。如何将实际问题转化为数学模型〔数形结合〕是解决问题的关键。解：构造数学模型，如下图，设O为风暴中心，OC为风暴中心移动方向，AD⊥OC。在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=300km所以AD=150km<200km即A城受到这次风暴的影响。如图，设AB=AC=200km在Rt△ABD中，应用勾股定理，得所以，A城遭受风暴影响的时间〔小时