0gk%coxq2024年第十三届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛-全国通用

第十三届全国“华罗庚庚金杯〞少年数学邀请赛决赛试卷〔初一组〕、.~我们‖打〈败〉了敌人。②我们‖〔把敌人〕打〈败〉了。第十三届“华罗庚金杯〞少年数学邀请赛决赛试卷〔初一组〕〔建议考试时间：2008年4月19日10:00～11:30〕一、填空〔每题10分，共80分〕1.某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1℃，2月22日至29日的平均气温为-0.5℃，2.×(新+奥+运)=2024，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么算式=.3.代数和－1×2024+2×2024－3×2024＋4×2024＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数字是.4.用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形,这个多边形的边数最多有条.5.一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2024个数是.6.当x取相反数时,代数式ax+bx对应的值也为相反数,那么ab等于.7.是以x为未知数的一元一次方程,如果,那么的值为.8.在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.二、解答以下各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)9.如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？10.小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?11.以以下列图中,E,F为三角形ABC边上的点,CE与BF相交于P.三角形PBC的面积为12,并且三角形EBP,三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同,求三角形EBP的面积.12.现有代数式x+y,x-y,xy和,当x和y取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?三、解答以下各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)13.对于某些自然数n,可以用n个大小相同的等边三角形拼成内角都为120°的六边形.例如,n=10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n.14.对于有理数x,用[x]表示不大于x的最大整数,请解方程第十三届“华罗庚金杯〞少年数字邀请赛决赛试题参考答案〔初一组〕一、填空〔每题10分，共80分〕题号12345678答案1℃29862024036064二、解答以下各题〔每题10分，共40分，要求写出简要过程〕9.答案:20,21,22.解答:设最小角为x,最大角为4x,另一个角为y.那么由题目的条件得,,①由①的前两个式子得到:,解得;又由①的第三个式子得到,所以.评分参考:1)给出三个关系①给4分;2)得出范围给4分;3)给出答案给2分.10.答案:10.解答:设有n只猴子,小明留给自己p个桃子.每只猴子分到了4p个桃子.那么,所以p是4的倍数,令,那么,是4的倍数.令,那么,,因为n是正整数,所以.当时,.评分参考:1)给出p,n的关系给3分;2)得到n,k的最终关系给4分;3)得到答案给3分.11.答案:4解答:设三角形EBP的面积为X,连接AP.假设令三角形APF的面积为Y,那么三角形AEP的面积为.因为,而,,所以有,解得,即,所以X=4.三角形EBP的面积为4.评分参考:1)引出辅助线给2分;2)得到X与Y的关系给4分;3)得到答案给4分.12.答案:,,,.解答:首先必须,否那么没有意义.假设,那么,矛盾.所以.假设,那么由,或都得到,所以,即.因此,三个相等的式子只有两种可能:(1).由后一等式得到,或,而是不可能的,因为此时由第一个等式得到,矛盾.当时,由第一个等式得到,即,所以.(2).由后一等式同样得到,或,同样,是不可能的,而当时,由第一个等式得到,所以.评分参考:1)(1)之前给2分;2)(1)和(2)各给4分.三、解答以下各题〔每题15分，共30分，要求写出详细过程〕13.答案:6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.解答:设所用的等边三角形的边长单位为1.任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l的大等边三角形.该六边形可以通过切去边长分别为的等国三角形的角而得到,其中为正整数,并且满足,.又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x(正整数)的等边三角形所需要的个数是.因此,,其中,,.(1)时,n可以为.(2)时,n可以为..(3)时,与上面不同的n可以为,.,.(4)时,与上面不同的n可以为,.,.,=36-3=33.(5)时,与上面不同的n都比27大.(6)时,可以证明满足要求的n都不小于26.由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25评分参考:1)写出10个中的1个给1分;2)给出足够的理由,例如(1)之前的局部给5分.14.答案:或.解答:因为方程左边的第1、3项都是整数,所以是整数.注意到,代入方程,得到,.所以是整数,是10的倍数.令,k是整数,代入得,其中,对于有理数x,=.所