2023学年完整公开课版勾股定理

第17章勾股定理在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。据我国古算书《周髀算经》记载，约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五。后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系。右边的图案有什么意义？为什么选它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？17.1勾股定理一、知识回顾引入课题1、每个小方格代表一个单位面积，正方形ABCD的面积是个单位面积。13方法一、构造长方形方法二、分割成直角三角形和正方形2、相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．

我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？（2）在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1-1图1-2你是如何计算正方形C的面积？谈谈你的想法？⑴观察图1-1:正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积。正方形B的面积是个单位面积。正方形C的面积是_个单位面积。探究199918答：448观察上面，你有什么发现？发现1：正方形A和正方形B的面积之和等于正方形C的面积即：等腰直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。思考：如果是其他的直角三角形会有这个结论吗探索二A（A′)的面积B(B′)的面积C(C′)的面积左上面图右下面图4913课本65页探究92534观察思考：前面的发现是否成立？abc面积A面积B面积C=a2=b2=c2∟命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2请同学们拿出四个全等的直角三角形，用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形。你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。∟abc动动手

看左边的图案，这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）．化简得：c2=a2b2．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。赵爽弦图这就是本届大会会徽的图案．

这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．

有人利用这4个直角三角形拼出了右图，你能用两种方法表示大正方形的面积吗？大正方形的面积可以表示为——————————

又可以表示为：———————aaaabbbbcccc对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？ab²c2+12ab×4勾股定理的其他证法：abcabc历史资料∟

勾股定理被誉为“几何的基石”，许多世纪以来，寻求论证它的人一直络绎不绝，曾有人统计过，迄今为止世界上已找到约五百种不同的证明勾股定理的方法。总统法这是美国第二十任总统加菲尔德于1876年证明的

刘徽在《九章算术》中对勾股定理的证明：勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也．令正方形ABCD为朱方，正方形BEFG为青方．在BG间取一点H，使AH=BG，裁下△ADH，移至△CDI，裁下△HGF，移至△IEF，是为“出入相补，各从其类”，其余不动，则形成弦方正方形DHFI．勾股定理由此得证．刘徽的证法返回向常春的证明方法

注:这一方法是向常春于1994年3月20日构想发现的新法．abcba-bADCBEc

勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。abc∠A=90°勾股定理也可以用数学语言表示为：acbACB在西方又称毕达哥拉斯定理！勾股弦变式:a2=c2-b2b2=c2-a2三、精讲提升例1、（1）如图：∠BAC=90°，AB=3，AC=4，求BC的长度（2）如图：∠BAC=90°，BC=10，AD⊥BC,AB=6，求AC和AD的长度。（3）直角三角形的两边长分别为3,4，则第三边的长为。练习：课本24页练习第1题，第2题。完成学案当堂过关