自动控制原理（第4版）课件 第7章非线性控制系统分析

第7章非线性控制系统分析目录7.1

非线性系统的基础知识

7.2

相平面分析法

7.3描述函数分析法7.4基于MATLAB的非线性系统分析7-1非线性系统的基础知识

严格地讲，所有实际物理系统都是非线性的，只是非线性的程度不同而已。 对某些在研究区间内连续的、非线性程度不严重（二阶导数趋于0）或信号变化范围不大的实际物理系统，可在平衡点附近进行线性化处理后，将系统近似当做线性系统来分析。

当系统中非线性程度比较严重，或输入信号变化范围较大(如电机起制动)或系统不连续，采用线性化方法来研究系统动态特性就出现很大缺陷，此时必须考虑非线性本质才能得到符合实际的结果。 因此，建立非线性系统数学模型、寻求非线性系统的研究方法是很必要的。 另外，在非线性系统研究中，人们发现如果在系统中适当地接入非线性元件，能更有效地改善控制系统的性能。7.1.1非线性系统的特点1．瞬态响应 在线性系统中瞬态响应过程曲线的形状与输入信号大小无关，与初始条件无关。 在非线性系统中瞬态响应曲线的形状却与输入信号大小、初始条件有密切的关系。

图7-l(a)表示同一个非线性系统对不同幅值阶跃信号的响应，显然瞬态响应是截然不同。即使形式相同，而超调量Mp、过渡过程时间ts等指标也不相同，如图7-l(b)所示。因此，叠加原理不适用于非线性系统。

2．稳定性线性系统的稳定性仅取决于系统的结构和参数，而和输入信号大小、初始状态无关。而非线性系统的稳定性，除了和系统结构、参数有关外，还与初始状态及输入信号大小有密切关系，这一点是十分重要的。3．自持振荡(自激振荡)线性系统在输入信号作用下才有输出，输出响应有稳定和不稳定两种形式。而在非线性系统中，除了稳定和不稳定运动形式外，还有一个重要特征,就是系统有可能发生自持振荡。所谓自持振荡是指在没有周期信号作用下，由系统结构和参数所确定的一种具有固定频率和振幅的振荡状态，通常是一种非正弦的周期振荡，如图7-2所示。

4．多值响应和跳跃谐振在线性系统中，输入信号为正弦信号时，系统输出是同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同。面对非线性系统，在正弦信号作用下系统的响应组成很复杂，常常包含有倍频、分频等谐波分量；有些非线性系统当输入信号的频率由低频端开始增加时，输出的幅值也增加，如图7-3中点l到点2，若频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴有振幅和相位的改变，出现跳跃谐振。当频率再增加时，输出振幅由点3到点4。若换一个方向，即频率减小，振幅通过点又逐渐增大，直到点5为止，当频率继续减小时，将引起从点5到点6的另一个跳跃，也伴有振幅和相位的改变。另外，在这个频率范围内，稳定与振荡可能是两者之一，即存在多值响应。7.1.2常见的非线性特性1．死区(不灵敏区)特性一般的测量元件、执行机构都存在不灵敏区。死区的数学表达式为其中，x表示输入；y表示输出；

表示死区；-

<x<

的区域叫做不灵敏区或死区2．饱和特性在一定的输入范围内保持输出和输入之间的线性关系，当输入信号超过某一范围后，环节输出信号不再随输入信号而变化仍保持某一常值。3．间隙特性一般齿轮传动副的齿轮间隙、丝杆螺母传动副、链轮传动副等往往存在间隙。数学表达式为4．继电器特性(a)理想继电特性，(b)为回环继电特性，(c)为具有死区的继电特性，(d)为兼有死区和回环的继电特性。7.1.3非线性系统的分析方法返回由于非线性系统的复杂性和特殊性，使得非线性问题的求解非常困难。有关线性系统中的分析方法（如叠加原理、时域分析法、复域分析法、频域分析法、代数稳定判据等），在非线性系统中都不能应用。到目前为止，对于非线性系统的研究还没有形成一个通用的方法。虽然有一些针对特定非线性问题的系统分析方法，如相平面分析法和描述函数分析法，但它们的适用范围都有限。

返回用计算机直接求解非线性微分方程，以数值解形式进行仿真研究，是分析和设计复杂非线性系统的有效方法。当前，随着计算机技术的发展，计算机仿真已成为研究非线性系统的重要手段。本章将着重介绍相平面分析法和描述函数分析法。

7.2相平面分析法相平面分析法(简称相平面法)是Poincare.H于1885年提出来的，它是一种用于求解二阶线性或非线性系统的图解方法。相平面分析法的主要工作是画相平面上的相轨迹图，有了相轨迹图，就可以在相平面上分析系统的稳定性、时间响应特性、稳态精度以及初始条件和参数对系统性能的影响等。7.2.1概述

1．基本概念设一个二阶系统可以用下列微分方程描述

式中， 是和的线性函数或非线性函数。描述该系统特性必须有两个变量和，即系统在某一初始状态[(0),(0)]下的解可由(t)、(t)两张曲线图来表示。也可以将时间

t作为参变量，用(t)和(t)的关系曲线来表示，如图7-9(a)表示。(1)相平面、相点和相轨迹将和为状态构成的坐标平面称为相平面，如图7-9（a）所示。相平面上的点称为相点，如。当t变化时，由某一初始状态出发在相平面上描绘出的曲线称为相平面轨迹，简称相轨迹。(2)相平面图、相平面法不同初始状态下构成的相轨迹，称为相轨迹族。由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。由相平面图分析系统的方法，称为相平面法。相平面图能给出二阶系统相轨迹的清晰图像，但要做出三阶或三阶以上系统的相轨迹比较困难，甚至是不可能的。但是从分析非线性因素对二阶系统响应的影响中得到的结果，对于分析具有同样非线性因素的高阶系统的动态过程是很有用的。(3)相轨迹方程对于一个二阶系统，其微分方程为式中

是和的线性或非线性函数。根据相平面的定义，令则有一般形式为从方程中消去时间变量，可得到上式是关于和的一阶微分方程，该方程给出了相轨迹上通过点的切线的斜率。一般情况下，相轨迹不相交。对任一相点，通过该点相轨迹的斜率由上式唯一确定，所以不同初始状态下的相轨迹是不会相交的。求解方程式，就可得相轨迹方程，即

它表示了相平面上的一条曲线，并且反映了点沿曲线的运动情况，该曲线就为相轨迹。（4）相轨迹的性质相平面的上半平面中，，相点沿相轨迹向轴正方向移动，所以上半部分相轨迹箭头向右；同理，下半相平面， 轨迹箭头向左。总之，相迹点在相轨迹上总是按顺时针方向运动。当相轨迹穿越轴交点处有，因此，相轨迹总是以方向通过轴的。（5）平衡点或奇点若为位移，则为速度，为加速度。对所有时刻，都满足 的状态点（相点） ，称为时刻的一个平衡点，即速度和加速度均为零的点。在相轨迹上满足条件 的不定值的相点称为奇点。奇点就是平衡点，是系统平衡状态相平面上的点。此时系统的速度和加速度均为零。与普通点不同，奇点可能有无数条相轨迹趋近或离开，或者连一条也没有。解的唯一性不适合于奇点。2.线性二阶系统的相轨迹图

对于线性二阶系统，其齐次微分方程为

令则或(7-9)

经线性变换x=Py后，在y1-y2坐标系中具有下列规范方程得相轨迹方程：和相轨迹的斜率(7-l0)系统在y1-y2坐标系中的平衡点(奇点)为(0，0)。分几种情况来讨论：(1)特征根为一对纯虚根

1,2=j

，即

由式(7-9)得：或整理得相轨迹方程：——椭圆式中，C为由初始条件决定的常数值。此时系统处于等幅振荡，系统处于无阻尼运动状态。在x1-x2坐标系中，相轨迹为一族围绕奇点的椭圆曲线，这种奇点称为中心点，如图7-10所示。

(2)特征根为一对符号相反的实根

2<0<1

由式(7-l0)得，，相轨迹方程：—双曲线

不同初始条件下的相轨迹是双曲线。由于相轨迹呈鞍形。中心是奇点，这种奇点称鞍点，系统是不稳定的。曲线如图7-11所示。

(3)特征根为两负实根

2<1<0由式(7-l0)得相轨迹方程：——抛物线系统处于过阻尼运动状态，暂态响应随时间非周期地衰减。由于相平面内的轨迹族无振荡地收敛于奇点，这种奇点称为稳定节点，对应相轨迹为收敛的抛物线，如图7-12所示。

当特征根为两正实根，对应系统暂态响应是非周期发散的。相轨迹为发散型抛物线，相轨迹族直接从奇点发散出来，这种奇点称为不稳定节点，如图7-13所示。

(4)特征根为两正实根0<2<1由式(7-l0)得相轨迹方程：——抛物线(5)特征根为一对实部为负的共扼复根

1,2=-j

由式(7-l0)得令则得相轨迹方程：——螺旋线式中

其相轨迹为对数螺旋线，轨迹族收敛于奇点，如图7-14所示，这种奇点称稳定焦点。系统稳定，其响应为衰减振荡。

(6)特征根为一对实部为正的共扼复根

1,2=j

由式(7-l0)得相轨迹方程：

——螺旋线

相轨迹为发散的对数螺旋线，轨迹族从奇点发散出来的，如图7-15所示，该奇点称不稳定焦点，对应系统暂态响应为发散振荡的，系统不稳定。线性二阶系统的相轨迹图和奇点的性质由系统本身的结构和参数决定，而与初始状态无关，不同的初始状态在相平面上形成一组几何形状相似的相轨迹，而不改变相轨迹的性质。相轨迹不会相交，只在奇点处才有无数条相轨迹趋近或离开它。

j0j0j0稳定节点稳定焦点中心点不稳定节点不稳定焦点鞍点λj0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ23.非线性系统的相图对于非线性系统，描述二阶非线性系统的微分方程为和是的非线性函数，而式表示的两曲线的交点就是非线性系统的平衡点(奇点)，非线性系统的奇点往往不止一个。对于非线性系统，奇点类型与相轨迹的类型仅适用于奇点附近的区域。整个系统的相平面图就可能由几个不同类型的相轨迹组成，各类相轨迹并不是彼此弧立地存在于区域内，而是既相对独立又有着联系，成为一完整的曲线。

对于非线性系统奇点性质分析，采用小范围线性化方法求出奇点附近的线性化方程，进而分析系统奇点性质和相轨迹。假设奇点在坐标原点，将和在奇点附近展开成泰勒级数，并取一次近似，得(7-l1)或

上式即为非线性系统在奇点(0,0)附近小范围内线性化方程。

在一般情况下，这种线性化方程在平衡点附近的相轨迹与非线性系统在平衡点附近的相轨迹具有同样的形状特征。但要注意，若由线性化方程求解至少有一个根为零，根据李雅普诺夫小偏差理论，不能根据线性化方程确定非线性平衡点附近的稳定性。在这种情况下，平衡点的相轨迹特性要取决于(7-11)式中系统的高阶项。

对于非线性系统还有一种与线性系统不同的运动状态——自持振荡，它在相平面图上表现为一条弧立曲线，称之为极限环。对于给定的系统，可以有一个以上的极限环，极限环附近的相轨迹都将卷向极限环，或从极限环卷出。因此，极限环将相平面分成内部平面和外部平面，极限环内部(或外部)的相轨迹，不能穿越极限环而进人它的外部(或内部)，需要指出，不是相平面图中的所有封闭曲线都是极限环。

从分析极限环邻近相轨迹的运动特点，将极限环分为稳定、不稳定、半稳定极限环。(l)稳定极限环：在极限环附近，起始于极限环内部和外部的相轨迹均收敛于该极限环，该极限环称稳定极限环。稳定极限环对应于稳定的自持振荡，如图7-16(a)。(2)不稳定极限环： 如果极限环附近的相轨迹都是从极限环发散出去的，该极限环称不稳定极限环。(3)半稳定极限环：极限环内部和外部两侧的相轨迹有一侧收敛于极限环，而另一侧的相轨迹从极限环发散出去，这种极限环称半稳定极限环。极限环分割的内外两个区域或都是稳定区域，或都是不稳定区域。稳定的极限环可通过实验观察到，而不稳定极限环和稳定极限环无抗噪声能力，所以通过实验观察不到。另外还需指出，一般用解析法很难在相平面上确定极限环的精确位置，甚至是不可能的，极限环只能由图解法、实验法或计算的方法来确定。7.2.2相轨迹图的绘制

研究二阶系统的相轨迹图既可通过解析法来绘制，也可通过图解法或实验的方法作出。常用的两种图解法是等倾线法和

法，所有的图解法，基本上都是一种逐步作图法。作相轨迹图的准确度取决于作图的方法、作图时采用的增量大小。增量应当具有适当的大小，增量取得太大，准确度要下降；如果增量选的太小，则计算起来将很费时间，且积累误差也会造成后面部分的不准确。

1.相轨迹图的解析法解析法的基本思路是先求出相轨迹的解，再画出相轨迹图。适用场合是比较简单或可以分段线性化的运动方程。解析法求系统相轨迹方程，一种是对系统的斜率方程(7-6)式两边积分得如下相轨迹方程另一种方法是求出xl和x2与t的函数关系，然后从两个方程中消去t，得到相轨迹状态。

例7-1

试绘制如图7-17所示的非线性系统的相轨迹图。假设输入信号r为阶跃信号。

解系统线性部分

非线性部分令得：

相轨迹的斜率为在(x10,x20)初始条件下对上式两边积分得：当，则有

当，则有

由上知相轨迹为抛物线，当

r>x1时，抛物线开口向右，当r<x1时，抛物线开口向左，如图7-18所示。从相轨迹图上看到r>x1和r<x1两个区域的抛物线连在—起构成一族封闭曲线，系统的动态响应为周期运动，并且在x1=r处为切换线。奇点称为中心点。

2.相轨迹图的图解法等倾线法等倾线法的基本思路是首先确定相轨迹的等倾线，进而绘制出相轨迹的切线方向场，然后从初条出发，沿方向场逐步绘制相轨迹。特点是不需求解微分方程。对于求解困难的非线性微方，显得尤为实用。

对于二阶非线性系统其相轨迹的斜率为若取斜率为常数q，则得等倾线方程给定不同的q值，可在相平面上画出许多等倾线。等倾线——在不同的q值下，画出表示相轨迹切线（斜率）的方向场的线段，再由初始点沿切线场方向画出相轨迹的方法。

例7-2

设线性二阶系统的齐次微分方程为解令，则得：由得等倾线方程：它表示在相平面上为一条通过原点的直线。当

=0.5,

n=1时，等倾线方程为：对于不同的q值，可得不同斜率的等倾线方程

在不同的q值下，根据等倾线的斜率画出等倾线方程，并标注相应的q值。q值-1-1.2-1.4-1.6-2-3等倾线方程x1=0x2=5x1x2=2.5x1x2=1.7x1x2=x1x2=0.5x1其斜率

52.51.710.5q值

20.50-0.5等倾线方程x2=0x2=-1/3x1x2=-2/3x1x2=-x1x2=-2x1其斜率0-1/3-2/3-1-2在不同的q值下，根据等倾线的斜率画出等倾线方程，并标注相应的q值。为了保证绘制相轨迹的准确性，一般使各等倾线间有50

100的间隔。为了保证绘制相轨迹的准确性，一般使各等倾线间有50

100的间隔。

对于给定初始条件[x1(0),x2(0)]，假设起始于A点，则从A点出发，沿切线场方向，用一条直线段代替，其斜率取q=-1和q=-1.2的平均值-1.1，交于q=-1.2的等倾线于B点，AB线段既为近似相轨迹的一部分；再从B点开始，以q=-1.2和q=-1.4的平均值-1.3为斜率的线段到C点，BC线段又为近似相轨迹的一部分，如此下去可得ABCD…0的近似相轨迹。对于非线性系统可将其化分为几个相应的线性区，每个线性区可按以上方法作图，最后将每个线性区的相轨迹平滑连接即可。

使用等倾线法绘制相轨迹应注意的问题：①坐标轴x和应选用相同的比例尺，否则等倾线斜率不准确。①在相平面的上半平面，相轨迹的走向应是由左向右；相反，在下半平面相轨迹的走向应是由右向左。③除平衡点外，相轨迹与x轴的相交处的切线斜率，即相轨迹与x轴垂直相交。④采用平均斜率法——取相邻两条等倾线所对应的斜率的平均值为两条等倾线间直线的斜率。(2)

法思路是：在平面上，用分段圆弧拟合相轨迹。如何根据微分方程和初始值寻找这段圆弧的圆心和半径呢？设是单值连续函数（线性、非线性甚至时变），将改写为 （7-12）其中，为一常数。适当选择值，以使下面定义的函数值在所讨论的，取值范围内，既不太大也不太小，令

则在相平面上某一点处有在 附近 变化很小时，可以看作常数。两边积分得整理得

用法作相轨迹的步骤可以概括为：在平面 上，根据初始状态的坐标按上述公式计算出。以为圆心，过初始状态作一小段圆弧，使系统的初始状态从转移到 。根据和求出后，以 为圆心，作过的一小段圆弧，系统的状态又从 转移到 。重复这样的步骤可以画出整个相轨迹。为了获得比较精确的值，可以采用逐次逼近的办法。例7-3

设非线性系统方程为 ，试用法绘出初始状态出发的相轨迹（）。解由非线性系统方程原式可知，，选，则相平面横坐标为，纵坐标为。把原方程变为令从A点开始绘图，过A点弧线的圆心，其中在平面上，以点为圆心，过A点做一小段圆弧到点B(0.1,0.94)，称此点为“预测点”。计算过B点弧线的圆心，其中为提高精度，以 和 的平均值为弧AB的圆心以 点为圆心，过A点作一圆弧，此圆弧过B(0.1,0.94)。B点便是第一段小圆弧终点。按此步骤分别做出圆弧AB、CD、DE、EF、FG、GH，…，最终绘出该非线性系统从A点出发的相轨迹，如图7-20所示。7.2.3由相轨迹图求系统的暂态晌应相轨迹是在xl-x2平面上系统在各个初始状态下的运动轨迹线，它虽然能反映系统时间响应的主要特征，但在这种图中，时间信息没有清楚的显示出来。如需要求出系统的时域响应，我们可用下述的方法确定相轨迹上各点对应的时间。这些方法的求解过程，基本上是一种逐步求解、近似求解过程。1．根据相轨迹上斜率求时间信息设系统的相轨迹如图7-21(a)所示，对于小增量

x1和时间t，其速度为x2v＝x1/t，则时间增量t＝x1/x2v。(1)

从t=0的初始值开始，在相轨迹上依次取点A、B、C点，并求出相应的位置变化小区间xAB，xBC，xCD(2)

求取以上两点间的平均速度值，即

(3)

求取以上两点间的时间间隔，并标注在x-t平面上如图7-19(b)所示。为了保证具有足够的精确度，位移增量

x1必须选择的足够小。另外

x1的值可根据相轨迹各部分的不同形状而改变，从而可在保证精度的前题下，减小计算的工作量。

2．根据面积求时间信息设系统的相轨迹方程为

根据相变量，得，积分后得：

上式表明，曲线1/x2和xl轴之间所包围的面积，就是相应的时间间隔。图中曲线下的阴影面积，就是时间间隔。

7.2.4控制系统的相平面分析

相平面分析法在分析非线性二阶系统时，是很有用的。由于很多非线性元件可用分段(或分区)线性来表示，因此可以用分段线性来表示非线性系统。在非线性系统相平面分析之前，先讨论线性系统的相平面分析。1.线性二阶系统相平面分析线性二阶系统如图7-22所示。现以系统误差信号e作相轨迹。由图7-22可得：系统的微分方程为(7-17)(1)阶跃信号r(t)=R

当，方程式(7-17)可写成(t>0)

令，则（7-18）,奇点为(0,0)

假设系统开始处于静止状态，即误差信号的初始条件是

e1(0)＝R，e2(0)=0。e1—e2平面上相轨迹起始于(R，0)点，而收敛于原点(系统的奇点)。当系统的特征根为负实部的共轭复根时(欠阻尼状态)，系统相轨迹如图7-23(a)所示；当特征根为两负实根，其相轨迹如图7-23(b)所示。在这两种情况下，系统的稳态误差为零；系统响应的其它性质，如振荡性、衰减性、超调量等从相平面上可清楚地反映出来。

(2)斜坡信号r(t)=R2t或斜坡加阶跃信号r(t)＝R1+R2t输入当，方程式(7-17)可写成令，则：再令，则(7-20)在

x1-x2平面上，由方程式(7-20)给出的相轨迹与在

e1-e2平面上，由方程式(7-18)给出的相轨迹是相同的。而

x1-x2平面与

e1-e2平面仅x与

e相差R2/K。式(7-20)表示的奇点不在

e1-e2平面的坐标原点上而在(R2/K，0)。

斜坡函数作用下的初始状态为：e1(0)＝r(0)＝R1，e2(0)=r’(0)＝R2。式中

R1可以为零。图7-24(a)和(b)表示了

e1—e2平面上的相轨迹。对于斜坡信号作用下，其相轨迹起始于A点：对于斜坡加阶跃信号作用下，其相轨迹起始于

B点。相轨迹均收敛于奇点(R2/K，0)。系统的稳定误差为R2/K。

(3)脉冲信号r(t)＝

(t)

单位脉冲信号作用下，因为当t>0时，r(t)=0，e(t)=r(t)-c(t)=-c(t)，所以系统的输出方程为（t>0）初始条件为由初值定理令，则

在c1-c2平面上，相轨迹的起始点为((0，-K/T)。若以误差信号为输出，则有(t>0)其初始条件：，

在e1-e2平面上，相轨迹的起始点为(0，K/T)。当t＞0时，单位脉冲响应的相轨迹如图7-25和7-26所示。2.非线性系统相平面分析非线性系统的一般结构图可表示为：由线性和非线性两部分组成。对于具有非线性元件的二阶系统，可以用几个分段的相轨迹来近似。因此，可把整个相平面划分为几个区域，每个区域相应于一个单独的线性工作状态，它们合成了非线性系统的动态特性。(1)具有饱和非线性特性的控制系统根据饱和非线性的特点，非线性元件可用分段线性化表示为：

系统线性部分的微分方程为由上两式得系统方程将，代入上式可得：

①当

为阶跃信号

时

区域内当当当时，其奇点在坐标原点(0，0)。是稳定焦点或是稳定节点。相轨迹是收敛的对数螺旋线或收敛的抛物线

根据参数

的不同取值，奇点可以在

区域内(即饱和域内)由分为两种情况由以上两式可看出在饱和区域内不存在奇点。

②当输入为斜坡信号当对于不同区域分别有：

相轨迹方程为

饱和区域内不存在奇点时，区域内的惭近线方程为且在饱和区域内，渐近线方程存在三种情况。为方便起见，设非线性特性参数

当时，，在区域内渐近线位于e轴的上方，相轨迹图如图7-30(a)

当时，，在区域内的渐近线位于e轴的下方，相轨迹如图7-30(b)当时，，渐近线与轴重合以上分析表明，具有饱和非线性特性的二阶系统的相图与输入信号的形式及大小有关。阶跃信号输入时，相轨迹收敛于稳定奇点，系统稳态误差为零。而输入信号为斜坡函数时，随输入信号的大小不同，奇点位置随之变化，系统的暂态响应也有比较大的差别，稳态误差也各不相同。若R不变，为减小系统误差可通过提高KM的值。(2)具有死区继电器特性的控制系统控制系统如图7-31(a)所示，非线性元件特性如图7-31(b)所示。线性部分的微分方程：(假设输入为阶跃信号)非线性元件的特性方程为：

相平面被分成三个区域，各区域的微分方程为从相图可知，由于非线性中的死区，在相图上也出现死区段。一旦相轨迹到达死区，系统就处于平衡工作状态。线段MoM1称作奇线。系统的平衡工作点由初始条件确定，且平衡工作点的横坐标表示稳态误差大小。相图上还表明，不论初始条件如何，系统的暂态过程最终都收敛于平衡工作点，系统是稳定的。系统参数对动态过程的影响却十分显著。例如，减小时间常数，区域内相轨迹的斜率增大，在相同初始条件下相轨迹经过很少几次切换就能到达平衡工作点，系统的平稳性提高。反之，若增大T，相轨迹的斜率降低，系统要经过多次切换才能到达稳态，因而加剧了过程的振荡返回

7-3描述函数分析法描述函数分析法（简称描述函数法）是达尼尔（P.J.Daniel）于1940年提出的，它是频域分析法在非线性系统中的推广。描述函数分析法利用谐波函数线性化方法近似分析非线性系统，又称谐波分析法，它是等效线性化方法的一种，它的物理概念、基本思路和方法与线性系统中的频域分析法是相同的。描述函数分析法主要用来研究在没有输入信号作用时，一类非线性系统的稳定性和自持振荡的存在条件，以及如何消除系统不希望的自持振荡。这种方法不受系统阶次的限制，但有一定的近似性。另外，描述函数分析法只能用于分析系统的频域响应特性，不能给出时间响应的确切信息。7.3.1概述

非线性系统如图7-33所示。对线性部分，当输入为正弦信号时，输出为同频率的正弦信号，仅仅是幅值和相位不同。而对于非线性部分，输入为正弦信号时，输出量通常是非正弦的周期信号。所以，线性系统中的频域法不能直接用于分析非线性系统的动态特性。

如果线性部分具有较好的低通滤波性能，当非线性部分输入正弦信号时，输出中的高次谐波分量将被大大削弱，因此闭环通道内近似只有基波信号流通，这样可把非线性部分输出的非正弦周期信号作近似处理，即将非正弦周期信号展开成傅里叶级数，只取基波分量来近似非正弦周期信号，那么非线性部分输出与输入之间也为同频率的正弦信号，这样线性系统的频域法就可用来分析非线性系统。描述函数法中，将非线性部分输出的非正弦周期信号用其基波分量来代替，而忽略掉信号中的高次谐波。由于高次谐波的振幅比基波分量小得多，而且控制系统中的线性部分大多具有低通滤波特性，所以略去高次谐波是允许的。式中，X是正弦函数的幅值。将非线性环节的输出分解为富氏级数：

对于任意一个非线性部分或环节，如图7-33所示，设输入为正弦信号

式中

如果非线性特性是奇对称的，那么直流分量A0=0，这时输出的基波分量是：

如果函数y=f(x)是已知的，X是一个待定常数，那么些由式求出的

只与X有关，记作。描述函数的定义为：系统输出的一次谐波分量与正弦输入信号的复数之比。即

显然，描述函数是X的函数，描述函数可以理解为非线性环节在忽略高次谐波情况下的非线性增益——这个增益与输入正弦函数的幅值有关。如果非线性特性是单值奇对称的，那么：值得注意的是，线性系统的频率特性是输入正弦信号频率的函数，与正弦信号的幅值无关，而描述函数表示的非线性部分的近似频率特性则是输入信号幅值的函数，这正是非线性系统的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。

7.3.2典型非线性环节的描述函数

1．饱和非线性环节具有饱和非线性特性的输入输出波形如图

输出输出y(t)是对称于原点的奇函数，故图7-34饱和特性输入/输出波形图故饱和非线性环节的描述函数为具有死区继电器特性的输入输出波形如图所示。

输入信号输出信号式中，输出y(t)是奇次谐波函数，故

2．继电器特性图7-35具有死区继电器特性环节故继电器非线性环节的描述函数为当

时，为理想继电器特性的描述函数。时，为具有死区的继电器特性的描述函数

当

时，为具有回环的继电器特性的描述函数。当

常见的非线性特性及其描述函数见表7-2。非线性系统的结构图可以简化成只有一个非线性部分和一个线性部分相串联的典型形式，如图7-36所示。其中非线性部分的特性用描述函数表示，线性部分的特性用频率特性表示。对于非线性系统的分析，主要是稳定性、自持振荡产生的条件，自持振荡幅值和频率的确定以及如何抑制自持振荡。7.3.3描述函数法分析非线性系统

1.稳定性分析

若非线性元件输入端为正弦信号：

特征方程为

:则以上非线性系统的闭环频率特性为当

为最小相位传函时，若系统线性部分的幅相特性曲线包围非线性部分的负倒描述函数曲线，则非线性系统不稳定。同理，若曲线不包围

，则非线性系统稳定。而当曲线与曲线相交时，非线性系统处于临界状态，产生等幅振荡，振荡频率和振幅由交点处的来确定。为了类比，假设静态环节退化为线性环节y=kx，即N(X)=k（常数）。因为G(s)是最小相位环节，根据线性系统的Nyquist判据：闭环系统是否稳定取决于在复平面上G(jω)曲线是否包围实轴上的－1／k点。

2.自持振荡当曲线与曲线相交，满足产生自持振荡的条件是式(7-26)，系统处于等幅振荡状态。如果不止一组参数满足式(7-26)，则系统存在几个等幅运动。如图7-37所示，与有两个交点P及Q，则系统存在两个等幅运动状态。但P和Q两点所对应的等幅运动是否能维持不变，即当系统的运动状态稍有变化后，系统本身是否具有恢复到原来状态的能力?如果系统能够恢复，则称系统的等幅运动是稳定的；如果该等幅运动才称之为自持振荡。而不稳定的等幅运动不能长时间存在，稍有扰动，就将转变为其它运动状态，或收敛，或发散，或转移到另一个稳定的等幅运动，则称系统的等幅运动具有不稳定性。

当微小扰动使振幅X增大到C点时，C点“(-1,j0)”未被G(j)轨迹包围， 系统稳定； 振幅X减小； 返回到Q。当微小扰动使振幅X减小到B点，B点“(-1,j0)”

被G(j)轨迹包围， 系统不稳定； 振幅X增大； 返回到Q。

Q点为稳定自持振荡点。3.典型非线性对控制系统稳定性的影响(1)饱和非线性对系统稳定性的影响饱和非线性特性的描述函数为描述函数负倒曲线为

当X=a时，-1/N(X)=-1/k，X=

，-1/N(X)=-，故描述函数负倒曲线是一条沿负实轴并在-1/k至-范围内变化的曲线，如图7-38所示。箭头方向表示输入幅值增大方向和-1/N(X)的变化方向。若系统的线性部分分别为则其极坐标曲线分别如图7-38所示。

为分析具有饱和特性非线性系统的稳定性，将-1/N(X)曲线和G(j

)曲线画在同一坐标系中，如图7-38所示。由图可知对于具有0型或I型的二阶系统，G1(j)或G3(j)曲线不可能包围饱和特性的-1/N(X)曲线或与之相交，因而非线性系统的稳定性不受非线性元件的影响。而对于0型或I型的三阶系统，G2(j)或G(j)4曲线可能与饱和特性的-1/N(X)曲线相交，则系统可能产生自持振荡。

(2)继电器特性对稳定性的影响理想继电器特性的描述函数描述函数负倒曲线为对于具有0型或I型的二阶系统，如对于图7-39中的或曲线与理想继电特性的曲线交于原点，因而非线性系统在原点存在的自持振荡，也就是收敛于原点。而对于0型或I型的三阶系统，如对于图7-39中的或曲线与理想继电器特性的曲线相交，系统必然产生自持振荡。

(3)回环继电器特性对系统稳定性影晌回环继电器特性的描述函数描述函数负倒曲线为当X=h时，-1/N(X)=0-j

h/(4M)，X=，-1/N(X)=--j

h/(4M)，故描述函数负倒曲线是一条距实轴为-jh/(4M)的从0至-范围内变化的水平线。从图7-40看出，回环继电器与所有系统串联都可能产生自持振荡。对0型系统适当地选择非线性元件和线性部分的参数，或是对系统线性部分进行校正，有可能避免产生自持振荡。但对I型系统，无论如何，必定产生自持振荡。例7-6

系统结构如图7-44，利用描述函数法分析下述系统的稳定性。

(l)当线性部分K=10时，判断系统稳定性，若产生自持振荡求出自持振荡频率和幅值。

(2)欲使系统稳定，可采取什么措施图7-44系统结构解非线性元件的描述函数为

负倒描述函数当X=a时，-1/N(X)=-

，X=，-1/N(X)=-，且曲线-1/N(X)在X=2a时，取最大值-a/(2M)，如图8-51所示。曲线在负实轴上完全重合，只是重合点对应的振幅不同。线性部分的频率特性为当K=10,a=1,N=1时，由图可见，G(j)与-1/N(X)曲线有两个交点B点和C点。交点处的频率为=

2。幅值为XB＝1.2，XC＝1.73。

这说明系统存在两个振幅不同，而振荡频率相同的周期运动，通过对周期运动的稳定性判别可得振幅为1.2的周期运动是不稳定的。振幅为1.73的周期运动是稳定的，振荡频率为

=

2。幅值为XC＝1.73。

从图7-45可见，若改变系统线性部分的系数K；使G(j

)曲线在实轴上交点的距离小于-1/N(X)曲线的最大值，G(j)曲线不包围-1/N(X)，非线性系统稳定。线性部分G(j)曲线通过-1/N(X)曲线最大点时，系统处于临界状态，临界放大系数K临=3a/M从图7-45看出，调整非线性元件的参数a或

M也可达到消除自持振荡目的。另外也可通过对线性部分特性进行校正，改变G(j)曲线的形状来消除自持振荡。

7.3.4非线性系统的的简化

当系统由多个非线性环节和多个线性环节组合时，可通过等效变换，使系统简化为典型的非线性系统结构，如图所示1．非线性环节的并联两个非线性环节并联，则等效非线性特性为两个非线性特性的叠加。如图为死区非线性和死区继电器非线性特性的并联。2．非线性环节的串联

若两个非线性环节串联，可采用作图方法求得串联后的等效非线性特性。如图所示的两个非线性环节串联，求得等效后的非线性特性。由图可知，等效后的非线性为死区饱和特性

参数的求取：

7-4基于Simulink的非线性系统分析

在一般非线性系统分析中，常需要在平衡点处求系统的线性化模型，进而对系统进行分析。利用MATLAB/Simulink提供的函数，不仅可对非线性系统进行线性化处理，而且也可直接对非线性系统进行分析。

7.4.1利用MATLAB求解非线性系统的线性化模型1.平衡点的确定

利用函数trim()可根据系统的Simulink模型文件来求出系统的平衡点，该函数的调用格式如下：[x,u,y,dx]=trim('model',x0,u0,y0)或[x,u,y,dx]=trim('model')由于该函数是通过极小化的算法来求出系统的平衡点，所以有时不能保证状态向量的变化率等于零。也即除非问题本身的最小值惟一，否则不能保证所求的平衡点是最佳的，因此，若想寻找全局最佳平衡点，必须多试几组初始值。2.连续系统的线性化模型

利用Simulink提供的函数linmod()linmed2()可以根据模型文件得到线性化模型的状态参数A,B,C和D，它们的调用它们的调用格式相同，其中函数linmod()的调用格式为：

[A,B,C,D]=linmod('model',x,u)

或[A,B,C,D]=linmod('model')例7-7

利用MATLAB求图7-49所示非线性系统的平衡工作点，及在平衡工作点附近的线性模型。图7-49单输入-单输出非线性系统解①在Simulink中建立如图7-48所示的模型并保存为ex7_7文件，其中饱和非线性模块(Saturation)输出的上下限幅大小，通过修改参数对话框中输出下限(Lowerlimit)和输出上限(Upperlimit)两个编辑框中的内容即可，此例采用默认设置±0.5。

②在MATLAB命令窗口中，运行以下命令可求出平衡点。>>x0=[0;0;0];u0=1;y0=0;[x,u,y,dx]=trim('ex7_7',x0,u0,y0);x结果显示：

x=0.00000.50000.5000结果显示：

num/den=8.8818e-016s^2+1s+1--------------------------------s^3+2.4s^2+2.4s+2>>[A,B,C,D]=linmod('ex7_7');[num,den]=ss2tf(A,B,C,D);printsys(num,den)③在MATLAB命令窗口中，运行以下命令可得系统在平衡工作点附近的线性模型7.4.2基于MATLAB的相平面法分析非线性系统1．利用MATLAB绘制系统的相轨迹1）利用MATLAB绘制非线性系统的相轨迹在MATLAB中提供了求解非线性系统常微分方程的函数ode45()，其调用格式为

x=ode45(fun,[t0,tf],x0)在MATLAB中，利用单位阶跃响应函数step()可以求出由状态方程所描述的线性系统状态向量的值，函数step()的调用格式为

[y,x,t]=step(A,B,C,D)2）利用MATLAB绘制线性系统的相轨迹例7-10已知非线性系统如图7-52所示。试利用Simulink绘制系统的相轨迹。

2.利用Simulink绘制系统的相轨迹利用Simulink模块库中的标准模块，可以方便地构成各种各样的非线性系统，从而方便地在Simulink环境下对非线性进行分析图7-53非线性系统的Simulink仿真框图解：①在Simulink中建立如图7-53所示的模型并保存为ex7_10文件。故XYGraph将显示出

的相轨迹曲线。由于XYGraph模块的两输入端口的输入数据分别为②将饱和非线性模块(Saturation)输出的上下限幅大小，通过修改参数对话框中输出下限(Lowerlimit)和输出上限(Upperlimit)两个