（江苏专用）高考数学总复习 第八篇《第47讲　平面与平面垂直》理（含解析） 苏教版

A级基础达标演练(时间：45分钟满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题：①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n∥m，则n⊥α；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，其中正确的是________(填序号)．答案②2．(2011·山东省实验中学模拟)已知a，b，l是不同的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若a⊥β，α⊥β，则a∥α；②若a∥α，a⊥b，则b⊥α；③若a∥b，l⊥α，则l⊥b；④α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.以上命题正确的个数是________．解析①a⊂α也成立；②不正确；③l与a，b没有任何关系；④显然不正确．答案03．(2011·盐城调研)已知命题：“若x⊥y，y∥z，则x⊥z”成立，那么字母x，y，z在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x，y是直线，z是平面；④x，z是平面，y是直线．上述判断中，正确的有________(填序号)．解析对于③，当x⊥y，y∥z时，只能确定直线x垂直于平面z中的一条直线(该直线与y平行)，不符合线面垂直的条件．答案①②④4．(2011·南通调研)设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(填序号)．解析因为当n⊥β，m⊥α时，平面α及β所成的二面角与直线m，n所成的角相等或互补，所以若m⊥n，则α⊥β，从而由①③④⇒②；同理若α⊥β，则m⊥n，从而由②③④⇒①.答案①③④⇒②或②③④⇒①5．(2011·山东省日照调研)已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l∥m；④若l∥m，则α⊥β其中真命题的序号是________．解析由l⊥α，α∥β，得l⊥β，所以①正确；②与③不正确；由l∥m，l⊥α，得m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，即④正确．答案②④6．(2011·山东省济宁模拟)已知a、b为直线，α、β为平面．在下列四个命题中，①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若b∥α，b∥β，则α∥β.正确命题的序号是________．解析由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假．答案①③7．(2011·山东省青岛模拟)已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m⊂β，则α∥β是l⊥m的__________________条件．解析若l⊥α，α∥β，则l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，充分性成立．反之不成立，故α∥β是l⊥m的充分不必要条件．答案充分不必要二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·盐城调研)在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形．(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)求该多面体的体积．解(1)由正三棱柱ABC­A1B1C1，得BB1⊥AD，而四边形ABDC是菱形，所以AD⊥BC.又BB1、BC⊂平面BB1C1C，且BC∩BB1＝B，所以AD⊥平面BCC1B1.则由AD⊂平面ADC1，得平面ADC1⊥平面BCC1B1.(2)因为正三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V1＝S△ABC×AA1＝2eq\r(3)，四棱锥D­B1C1CB的体积为V2＝eq\f(1,3)S四边形BCC1B1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD))＝eq\f(4\r(3),3)，所以该多面体的体积为V＝eq\f(10\r(3),3).9．(2011·苏北四市调研)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝4，CD＝3，E为AB中点，过E作EF⊥CD，垂足为F，如图①，将此梯形沿EF折成一个直二面角A­EF­C，如图②.(1)求证：BF∥平面ACD；(2)求多面体ADFCBE的体积．图①图②解(1)连接EC，交BF于点O，取AC中点P，连结PO，PD，可得PO∥AE，且PO＝eq\f(1,2)AE，而DF∥AE，且DF＝eq\f(1,2)AE，所以DF∥PO，且DF＝PO，所以四边形DPOF为平行四边形，所以FO∥PD，即BF∥PD，又PD⊂平面ACD，BF⊄平面ACD，所以BF∥平面ACD.(2)二面角A­EF­C为直二面角，且AE⊥EF，所以AE⊥平面BCFE，又BC⊂平面BCFE，所以AE⊥BC，又BC⊥BE，BE∩AE＝E，所以BC⊥平面AEB，所以BC是三棱柱C­ABE的高，同理可证CF是四棱锥C­AEFD的高，所以多面体ADFCBE的体积V＝VC­ABE＋VC­AEFD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝eq\f(10,3).10．(2011·南通调研)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中．(1)若BB1＝BC，B1C⊥A1B，求证：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求eq\f(A1E,EC1)的值．解(1)因为BB1＝BC，所以侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.又因为B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，所以BC1⊥平面A1BC1.又B1C⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.(2)设B1D交BC1于点F，连接EF，则平面A1BC1∩平面B1DE＝EF.因为A1B∥平面B1DE，A1B⊂平面A1BC1，所以A1B∥EF.所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(BF,FC1).又因为eq\f(BF,FC1)＝eq\f(BD,B1C1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(A1E,EC1)＝eq\f(1,2).B级综合创新备选(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2011·山东省临沂模拟)已知三条不重合的直线m，n，l两个不重合的平面α，β，有下列命题①若l∥α，m∥β，且α∥β，则l∥m；②若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α，其中真命题的序号是________．解析①不正确．②由条件，可得l⊥α，l⊥β，所以α∥β，②正确．③不正确．④由面面垂直的性质知正确．答案②④2．已知α，β表示两个不同的平面，a，b表示两条不同的直线，则：①a∥α，b∥α；②a∥α，b∥β，α∥β；③α⊥β，a⊥α，b∥β；④a⊥α，b⊥β，α∥β，其中是a∥b的一个充分条件的为________．解析由a⊥α，b⊥β，α∥β，得a⊥α，b⊥α，所以a∥b，故应填④.答案④3．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则对于下列条件：①a⊥c，b⊥c；②α⊥β，a⊂α，b⊂β；③a⊥α，b∥α；④a⊥α，b⊥α，其中是a⊥b的一个充分不必要条件的是________．解析若a⊥α，b∥α，则a⊥b，反之显然不成立，故应填③.答案③4．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．解析过K作KM⊥AF于M点，连结DM，易得DM⊥AF，与折前的图形对比，可知由折前的图形中D、M、K三点共线且DK⊥AF，于是由△DAK∽△FDA，得eq\f(AK,AD)＝eq\f(AD,DF)，所以eq\f(t,1)＝eq\f(1,DF)，所以t＝eq\f(1,DF).又DF∈(1,2)，故t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))5．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC.其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．解析因为PA⊂平面MOB，不可能PA∥平面MOB，故①错误；因为M、O分别为PB，AB的中点，所以MO∥PA，得MO∥面PAC，故②正确．又圆的直径可知BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，所以BC⊥PA，所以BC⊥平面PAC，在空间过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以OC不可能与平面PAC垂直，故③错误；由③可知BC⊥平面PAC，又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC，故④正确．答案②④6．给出下列命题：①在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确的命题是________(只填序号)．解析①不正确．②正确．③既不充分又不必要．④由从同一点引出的斜线相等射影相等可知④正确．⑤不正确，故②④正确．答案②④二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·苏锡常镇扬五市调研)在菱形ABCD中，∠A＝60°，线段AB的中点是E，现将△ADE沿DE折起到△FDE的位置，使平面FDE和平面EBCD垂直，线段FC的中点是G.(1)证明：直线BG∥平面FDE；(2)判断平面FEC和平面EBCD是否垂直，并证明你的结论．解(1)延长DE、CB相交于点H，连接HF.因为菱形ABCD，且E为AB的中点，所以BE∥CD，BE＝eq\f(1,2)CD.所以B为HC的中点．因为G为线段FC的中点，所以BG∥HF.因为GB⊄平面FDE，HF⊂平面FDE，所以直线BG∥平面FDE.(2)垂直．证明如下：由菱形ABCD及∠A＝60°，得△ABD是正三角形，因为E为AB的中点，所以AE⊥DE.所以FE⊥DE.因为平面FDE和平面EBCD垂直，且这两个平面的交线是DE，FE在平面FDE内，所以FE⊥平面EBCD.因为FE⊂平面FEC，所以平面FEC和平面EBCD垂直．8．(2011·南京模拟)如图，在棱长均为4的三棱柱ABC­A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点．(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC＝60°，求三棱锥B1­ABC的体积．解(1)如图，连接DD1.在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为D，D1分别是BC与B1C1的中点，所以B1D1∥BD，且B1D1＝BD.所以四边形B1BDD1为平行四边形．所以BB1∥DD1，且BB1＝DD1.又因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，所以AA1∥DD1，AA1＝DD1.所以四边形AA1D1D为平行四边形．所以A1D1∥AD.又A1D1⊄平面AB1D，AD⊂平面AB1D，故A1D1∥平面AB1D.(2)法一在△ABC中，因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC.因为平面ABC⊥平面B1C1CB，交线为BC，AD⊂平面ABC，所以AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱锥A­B1BC的高．在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4，得AD＝2eq\r(3).在△B1BC中，B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°，所以△B1BC的面积S△B1BC＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3).所以三棱锥B1­ABC的体积，即三棱锥A­B1BC的体积V＝eq\f(1,3)×S△B1BC·AD＝eq\f(1,3)×4eq\r(3)×2eq\r(3)＝8.法二在△B1BC中，因为B1B＝BC，∠B1BC＝60