人教版六年级数学下册第五单元数学广角大单元教学设计

人教版六年级数学下册第五单元数学广角大单元教学设计

第五单元数学广角-鸽巢问题单元解读

一、链接课标

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“学段目标”的“第

二学段”中提出：“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观

察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理

的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合

作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。同时也提出：

“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发

现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步

理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经

验”。

二、单元目标

本单元的总体目标是：1.引导学生通过观察、猜测、实验、推理

等活动,经历探究“鸽巢原理”的过程,初步了解“鸽巢原理”，会用

“鸽巢原理”解决简单的实际问题。

2.提高学生解决简单的实际问题的能力。

3.通过“鸽巢原理”的灵活应用，感受数学的魅力。

本单元的教学重、难点是初步了解“鸽巢原理”，培养学生的“模

型思想”。

三、内容分析

“数学广角”这一单元,向学生渗透一些重要的数学思想方法。本单

元教材通过几个直观例子,借助实际操作,向学生介绍“鸽巢问题”，使

学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上,对一些简单的实际问

题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。例1:描述“鸽巢原理”

的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了

两种思考方法:第一种方法是用操作的方法,罗列所有的方法,通过完

全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的;还可以是说理的方

式,先放3支,在每个笔筒里放1支,这时剩下1支。剩下的1支不管放

入哪一个笔筒中,这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。这种方法比第

一种方法更为抽象,更具有一般性。

通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构,掌握两种思

考的方法——枚举和假设,理解问题中关键词语“总有”和“至少”的

含义,形成对“鸽巢原理”的初步认识。

例2：本例描述“鸽巢原理”更为一般的形式,即“把多于(是正整

数)个物体任意分放进个空抽屉里,那么一定有一个鸽巢中放进了至少

(+1)个物体”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里,总有一个鸽巢

里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越大时,如果还用完全归

纳的方法把所有的情形罗列出来的话,对于学生来说是有困难的。这

时需要学生用到“反证法”这样一种思想,即如果所有的鸽巢最多放2

本,那么3个抽屉里最多放6本书,可是题目中是7本书,还剩1本书,

怎么办?这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可,总有一个抽

屉里至少放进3本书。通过这样的方式,实际上学生是在经历“反证

法”的这样一个过程。

例3:跟之前教材的编排是一样的,是鸽巢原理的一个逆向的应用。要

解决这个问题,可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味

着“同一个抽屉”。这样,就可以把“摸球问题”转化为“抽屉问题”。

教材通过学生的对话,指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问

题,也反映了学生在解决这个问题时可能会遇到的困难。很多学生误

以为要摸5次才可以摸出球,这可以让学生通过实验来验证。

重难点分析:第一,要有意识地培养学生的模型思想。因为“鸽巢原理”

在生活中的变式是多样的,在解决这些问题的过程中,教师要引导学

生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“鸽巢”，让学生把这些

具体问题模型化成一个“鸽巢问题”。第二,在例1中给出具体的问题

（4支铅笔放到3个笔筒里）,让学生在探究的过程中,逐渐找到一般的

规律。本单元的教学重难点是初步了解“鸽巢原理”,培养学生的“模

型思想”。

四、课时安排

第一课时：鸽巢原理（一）

第二课时：鸽巢原理（二）

第五单元第1课时鸽巢原理（一）教学设计

教学流程

学校授课班级授课教师

1.初步了解“鸽巢问题”的基本形式，理解关键词语“总有”；切“至少”的含义。

学习目标2.经历“鸽巢原理”的探究过程，会运用“鸽巢原理”解决一1些简单的实际问题。

3.体会“鸽巢问题”的广泛应用，培养探究意识。

重点经历“鸽巢原理”的探究过程，初步理解“鸽巢原理”的含义。

难点掌握运用“鸽巢原理”解决简单的实际问题的方法。

兴趣是学习最好的老师。所以在本节课设计了用扑克游戏来导入新课。这样设计使学

生在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造；使

学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展，从而达到动智与动情

学情分析的完美结合，全面提高学生的整体素质。通过直观例子，借助实际操作，引导学生探究“鸽

巢问题”，初步经历“数学证明''的过程，并有意识的培养学生的“模型思想”。为学生营造宽

松自由的学习氛围和学习空间，能让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更好的理解鸽

巢问题。在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中闪亮的火花。

核心素养增强对逻辑推理、模型思想的体验，提高学习数学的兴趣和应用意识。

教学辅助教学课件、学习任务单、（若有教具等教师自行增加）

情境导入一引“探究”

教师谈话导入：同学们，我们来做一个小游戏。

出示一副扑克牌。

先请5位同学上台，取出大王和小王，还剩下52张牌，5位同学上来，每人随意抽一张，

不管怎么抽，至少有2张牌是同花色的。同学们相信吗？

魔术师洗牌，5位同学抽牌，魔术师亮牌，全班同学统计。

揭示结果：一副牌有4种花色。先“分配”4张，每种花色各1张，剩下的1张无论是哪种

花色，总有一种花色至少有2张。

其实在这里隐藏着一个数学原理，这就是我们今天学的新内容。

学习任务一：经历“鸽巢原理”的探究过程，初步理解“鸽巢原理”的含义。

【设计意图：鼓励学生积极的自主探索，寻找不同的证明方法，在枚举法的基础上，学生意

识到了要考虑最少的情况，从而引出假设法渗透平均分的思想。让学生在这个连续的过程中

初步感知方法的优化，发展了学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。】

新知探究一习“方法”

1.教学例1

课件出示例题1情境图

I彳把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎

一‘么放，总有1个笔筒里至少有2支铅

笔。你知道这是为什么吗？

（1）操作发现规律：通过把4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1鸽

笔筒里至少有2支铅笔.

（2）理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么

放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

（3）探究证明。

方法一：用“枚举法”证明。

方法二：用“分解法”证明。把4分解成3个数。

由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情况分得的3个数

中，至少有1个数是不小于2的数。

方法三：用“假设法”证明。

通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔

筒里至少放进2只铅笔。

（4）认识“鸽巢问题”

像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。在这里，4支铅笔是要分放的物体,

就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽

巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。

小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。

（5）归纳总结：

鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n,且n是非零自然数），那么

一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。

学习任务二：掌握运用“鸽巢原理”解决简单的实际问题的方法。

【设计意图：通过对不同具体情况的判断，有“枚举法''到"假设法”，再到“平均分法”，初步

建立“物体”“抽屉”的模型，发现简单的抽屉原理：至少数=商+1。让学生体会平常事中也有

数学原理，有探究的成就感，激发对数学的热情。】

1.课件出示例2。

把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

为什么?

引导学生观察，获取数学信息。然后小组合作，用自己喜欢的方法解决问题。

方法一：用数的分解法证明。

把7分解成3个数的和。把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：

7、0、0；6、1、0；5、2、0；5、1、1；4、3、0；4、2、1；3、3、1；3、2、2。由此可知，

每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3,也就是每种放法中最大的数中“最小”

的数是3,即总有1个抽屉至少放进3本书。

方法二：用假设法证明。

把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）...1（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。如

果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。

得出结论：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

归纳总结：综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a+3=b（本）……1（本）

或a÷3=b（本）...2（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。

2.总结“鸽巢原理”（二）。

把多于kn个物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非零自然数），那么一定有一

个抽屉中至少放进了（k+l）个物体。

学习任务三：达标练习，巩固成果

【设计意图：分层次的巩固练习有助于对学生知识掌握和能力发展进行评价。研究的问题来

源于生活，还要回归生活，练习均源于学生身边，由浅入深，学生用抽屉原理解决具体问题

进行建模，让学生体会抽屉的形式是多种多样的。让学生体会‘‘抽屉”不一定是看得见、摸得

着的。】

达标练习…活“应用”

一、课堂练习

1.随意找13位老师，他们中至少有2个人的属相相同。为什么？

2.5只鸽子飞进了3个鸽笼，总有1个鸽笼至少飞进了2只鸽子。为什么？

二、学以致用

3.小明表演扑克牌“魔术”。一副扑克牌，取出大小王，还剩52张牌，9人每人随意抽1张，

至少有3张牌是相同的花色。你理解这个扑克牌“魔术”的道理吗？

4.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？

三、拓展提升

5.给1个正方体木块的6个面分别涂上蓝、黄两种颜色，不论怎么涂至少有3个面涂的颜色

相同。为什么？

【作业设计】

作业布置…拓“延伸”

1.完成《分层作业》。

【板书设计】

鸽巢原理

总有一个笔筒中至少有2根铅笔

至少数=商+1

物体个数抽屉数

小棒数杯子数过程至少数

32(3,0)(1,2)2

43(4,0,0)(3,1,0)(2,2,0)(2,1,1)2

545÷4=1........11+1=22

第五单元第2课时鸽巢原理的应用教学设计

学校授课班级授课教师

L在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，使学生会用此原理解决简单的实际问题。

2.能进一步理解“鸽巢原理”，运用“鸽巢原理”进行逆向思维。

学习目标

3.在解决问题的过程中，感受“抽屉原理”在日常生活中的各种应用，体会数学知识与

日常生活的紧密联系。

~t57在了解简单的“鸽巢问题”的基础上，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。

难点能进一步理解“鸽巢原理”，运用“鸽巢原理”进行逆向思维。

兴趣是学习最好的老师。所以在本节课设计了用扑克游戏来导入新课。这样设计使学生

在生动、活泼的数学活动中主动参与、主动实践、主动思考、主动探索、主动创造；使

学生的数学知识、数学能力、数学思想、数学情感得到充分的发展，从而达到动智与动

学情分析情的完美结合，全面提高学生的整体素质。通过直观例子，借助实际操作，引导学生探

究“鸽巢问题”，初步经历“数学证明''的过程，并有意识的培养学生的“模型思想为学

生营造宽松自由的学习氛围和学习空间，能让学生自己动脑解决一些实际问题，从而更

好的理解鸽巢问题。在教学过程中能够及时地去发现并认可学生思维中闪亮的火花。

核心素养体会“鸽巢原理”中的逻辑推理思想和模型思想。

教学辅助教学课件、学习任务单、（若有教具等教师自行增加）。

教学流程

情境导入一引“探究”

教师谈话导入：同学们，我们来通过阅读回答下列问题。

1.把10支铅笔放进三个铅笔盒里，总有一个铅笔盒里至少装着（）支铅笔。

提问：你是怎么想的？生独立思考后解决问题。

（至少数：商+1算式：10÷3=3...13+1=4）

2.11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？

（11÷4=2（个）....3（只）2+1=3（只））

分析：因为平均每个鸽笼都飞进了2只鸽子，还剩下3只，不论怎么飞，总有1个鸽笼里至

少飞进3只鸽子。

鸽巢原理：把多于kn个物体任意分放进n个“鸽巢”中（k、n均是非O自然数）,总有一个“鸽

巢”中至少放进（k+l）个物体。

今天这节课我们继续学习利用鸽巢原理解决问题。

学习任务一：会用“鸽巢原理”解决问题。

【设计意图：数学学习需要有大胆猜测与充分验证的思维过程，本环节正是建立在这种数学

思维过程中，让学生主动参与知识的形成过程，有效激发学生思维的灵活性。用分析推理

的方法让学生得出正确的规律与结论是学生学习数学的重要途径之一，积极引导

学生去思考、去表达、去总结，全面提升其学习能力。】

新知探究一习“方法”

课件出示教科书P70例3。出示问题：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的

球大家来猜测一下答案是什么？

盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个.要想摸出的球一定有2个同

色的，至少要摸出几个球？

,肯定有2个同色的，因为……

只摸2个球不能保证

是同色的，因为有两

种颜色。那摸3个球

就能保证……

学生可能猜测出的答案有2个、3个、5个。

同学们对答案进行了猜测，你们有什么方法能验证自己的猜测是否正确？想一想，可以在小

组内合作研究。

学生汇报交流，验证答案，课件配合出示。

1：至少摸2个球就能保证是同色的。

验证：球的颜色共有2种，如果只摸出2个球，会出现以上三种情况，如果摸出的2个球正

好是一红一蓝时就不满足条件。

摸出5个球，肯定有2个是同色的。

,I

第一种情况：：第三种情况:

V.________C__)C__)OIoOO

!

‘第二种情况:[ol第四种情况：ooo

验证：把红、蓝两种颜色看成2个“抽屉”，因为5+2=2……1,所以摸出5个球时，至少有3

个球是同色的，摸出5个球不是最少的。

有两种颜色。那摸3个球就能保证有2个同色的球。

第一种情况:~~ool［第二种情况：o

验证：把红、蓝两种颜色看成2个“抽屉”，因为3÷2=1……1,所以摸出3个球时，至少有2

个球是同色的。

通过大家的猜测和验证，我们知道了只要摸出的球数比它们的颜色种数多1,就能保证有2

个球同色。为什么摸出2个和5个都不是正确答案呢？请大一定有2个同色的，至少要摸出

几个球？家再和同桌互相说一说。

学习任务二：将实际问题抽象成鸽巢问题。

【设计意图：用分析推理的方法让学生得出正确的规律与结论是学生学习数学的重要途径之

一，积极引导学生去思考、去表达、去总结，全面提升其学习能力。】

课件出示教科书P70例3。出示问题：盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的

球大家来猜测一下答案是什么？

分组讨论：如何把这道题转化为“鸽巢问题”？

这道题其实就是把摸出的球（鸽子）放在两种颜色的“鸽巢”中，结论就是有一个颜色“鸽

巢”中至少有2个。

根据“鸽巢原理”（一），只要摸出的球的个数比它们的颜色种数多1,就能保证一定有2

个球是同色的，所以答案是至少要摸出3个球。

有两种颜色，只要摸出的球比它们的颜色至少多1,就能保证有两个球同色。

2.引导学生总结用“鸽巢原理”解决问题的一般步骤。

（1）确定什么是鸽巢及有几个鸽巢。

（2）确定分放的物体。

（3）用倒推的