第8章 正弦电流电路的稳态分析

第8章

正弦电流电路的稳态分析重点：

相位差

正弦量的相量表示

复阻抗复导纳

相量图

用相量法分析正弦稳态电路

正弦交流电路中的功率分析一.正弦量的三要素：i(t)=Imsin(wt+y)i+_u8.1正弦量的基本概念(1)幅值

(amplitude)(振幅、最大值)Im(2)角频率(angularfrequency)w单位：rad/s(3)初相位(initialphaseangle)y(wt+y)

相位二、同频率正弦量的相位差(phasedifference)。设u(t)=Umsin(wt+yu),i(t)=Imsin(wt+yi)相位差j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yij>0，u领先(超前)i，或i落后(滞后)

u

tu,iu

iyuyij0j<0，i领先(超前)u，或u落后(滞后)

ij=0，同相：j=(180o)

，反相：规定：|

|(180°)特殊相位关系：

tu,iu

i0

tu,iu

i0

tu,iu

i0

=90°

u领先i90°

或

i落后u90°

不说u落后i

270°

或i领先u270°1.定义有效值也称方均根值(root-meen-square，简记为rms。)三.有效值(effectivevalue)W2=I2RTRi(t)RI物理含义电压有效值2.正弦电流、电压的有效值设i(t)=Imsin(t+y

)注意:只适用正弦量8.2正弦量的相量表示两个正弦量i1wIm1y

1i2wIm2y

2i1+i2

i3wIm3y

31.复数A表示形式：AbReIma0AbReIma0y|A|一、复数及运算+j,–j,-1都可以看成旋转因子。ReIm03.旋转因子复数ejy

=cos

y

+jsin

y

=1∠y

A逆时针旋转一个角度y

，模不变2.复数运算A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算——直角坐标(2)乘除运算——极坐标Aejy复常数二.正弦量的相量表示复函数

若对A(t)取虚部：A(t)包含了三要素：I，y

，w

复常数包含了I

,y

。A(t)还可以写成称为正弦量i(t)对应的相量。正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位已知例1.试用相量表示i,u。解：三.相量图例2.试写出电流的瞬时值表达式。解：请看演示相量的几何意义yiyu四.

相量运算(1)同频率正弦量相加减得：例同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReImReIm2.正弦量的微分，积分运算五.相量法的应用求解正弦电流电路的稳态解(微分方程的特解)例一阶常系数线性微分方程自由分量(齐次方程通解)：Ae-(R/L)t强制分量(特解)：Imsin(wt+yi)Ri(t)u(t)L+-解:用相量法求：

RLRi(t)u(t)L+-取相量小结①正弦量相量时域频域②相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。③相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性N线性w1w2非线性w不适用正弦波形图相量图8.3电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系一.电阻相量形式：uR(t)i(t)R+-有效值关系：UR=RI相位关系：u,i同相相量模型R+-相量关系时域频域j

L相量模型+-有效值关系

U=wLI相位关系u超前

i90°相量图二.电感i(t)u

(t)L+-时域模型

tu,iu

i0波形图感抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)感抗和频率成正比。wXLXL=U/I=L=2fL，

单位:欧感抗U=wLI(3)由于感抗的存在使电流落后电压。错误的写法时域频域有效值关系

I=wCU相位关系i超前u90°相量图

tu,iu

i0波形图二.电容时域模型i

(t)u(t)C+-相量模型+-容抗的物理意义：(1)表示限制电流的能力；(2)容抗的绝对值和频率成反比。容抗I=wCU(3)由于容抗的存在使电流领先电压。错误的写法w8.4电路定律的相量形式和电路的相量模型一.基尔霍夫定律的相量形式二.电路元件的相量关系三.电路的相量模型(phasormodel)时域列写微分方程相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+-jw

L1/jw

CR+-时域电路相量模型相量模型：电压、电流用相量；元件用复数阻抗或导纳。四.相量图1.同频率的正弦量才能表示在同一个向量图中；2.以

角速度反时针方向旋转；3.选定一个参考相量(设初相位为零。)例选ÙR为参考相量jw

L1/jw

CR+-+-一.复阻抗正弦激励下Z+-无源线性+-纯电阻纯电感纯电容8.5复阻抗和复导纳感抗容抗电抗电阻j

LR+-+-+-+-|Z|RXj阻抗三角形单位：

阻抗模阻抗角具体分析一下R-L-C串联电路Z=R+j(wL-1/wC)=|Z|∠jwL>1/wC，X>0，j>0，电压领先电流，电路呈感性；wL<1/wC，X<0，j<0，电压落后电流，电路呈容性；画相量图：选电流为参考向量(wL>1/wC)

电压三角形UXU

wL=1/wC，X=0，j=0，电压与电流同相，电路呈电阻性。电压三角形UXU

|Z|RXj阻抗三角形R+-+-+-jX二.复导纳正弦激励下Y+-无源线性+-纯电阻纯电感纯电容感纳容纳电导电纳j

LR+-复导纳|Y|GBj

导纳三角形单位：S导纳的模导纳角三.复阻抗和复导纳的等效互换一般情况G

1/RB

1/XººZRjXººGjBY四.阻抗串、并联例已知Z1=10+j6.28

Z2=20-j31.9

Z3=15+j15.7

求

ZabººZ1Z2Z3ab8.6用相量法分析电路的正弦稳态响应步骤：①画相量运算电路R,L,C

复阻抗②列相量代数方程

i,u

列写电路的回路电流方程例1.解：+_R1R2R3R4列写电路的节点电压方程+_+_21Y1Y2Y3Y4Y5例2.解：例3:已知:求:各支路电流。Z1Z2R2+_Li1i2i3R1CuR2+_R1解：画出电路的相量模型Z1Z2R2+_R1法一：电源变换解：例4.Z2Z1ZZ3Z2Z1

Z3Z+-法二：戴维南等效变换Z0Z+-Z2Z1Z3求开路电压：求等效电阻：已知平衡电桥Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+jw

L3。

求：Zx=Rx+jwLx。由平衡条件：Z1Z3=

Z2ZxR1(R3+jw

L3)=R2(Rx+j

wLx)∴Rx=R1R3/R2

Lx=L3R1/R2例5.解：Z1Z2ZxZ3

已知：Z=10+j50W,Z1=400+j1000W。例6.解：ZZ1+_已知：U=115V,U1=55.4V,U2=80V,R1=32W,f=50Hz

求：线圈的电阻R2和电感L2。例7.解一：R1R2L2+_+_+_+_+_q2q解二：用相量图分析例8.移相桥电路。当R2由0时，解：当R2=0，q=180；当R2

，q=0。ººabR2R1R1+_+-+-+-8.7正弦电流电路中的功率无源一端口网络吸收的功率(u,i关联)1.瞬时功率(instantaneouspower)无源+ui_

p>0,电路吸收功率：p<0，电路发出功率；

i

tOupUIcos

-

UIcos(2t)2.平均功率(averagepower)P：

=

u-

i：功率因数角。cos

：功率因数。P的单位：W（瓦）纯电感=90°纯电容=-90°P=0RX|Z|

无源+-RjX+-一般地0

cosj1X>0,感性，滞后功率因数X<0,容性，超前功率因数cosj1,纯电阻0，纯电抗功率因数已知：电动机PD=1000W，U=220V，f=50Hz，C=30

F，

cos

D=0.8(滞后）。求负载电路的功率因数。+_DC例解：3.视在功率(表观功率)S反映电气设备的容量。4.功率的测量uiZ+-W**i1i2R电流线圈电压线圈单相功率表原理：电流线圈中通电流i1=i；电压线圈串一大电阻R(R>>L)后，加上电压u，则电压线圈中的电流近似为i2

u/R。功率表指针偏转角度(由M确定)与P成正比，由偏转角(校准后)即可测量平均功率P。使用功率表应注意：(1)同名端：在负载u,i关联方向下，电流i从电流线圈“*”号端流入，电压u正端接电压线圈“*”号端，此时P表示负载吸收的功率。(2)量程：P的量程=U的量程

I的量程

cos

(表的)测量时，P、U、I均不能超量程。uiZ+-W**8.9复功率一.

复功率负载+_记为复功率，单位VA无功功率

单位:乏(var)有功，无功，视在功率的关系：有功功率:P=UIcosj

单位：W无功功率:Q=UIsinj单位：var视在功率:S=UI

单位：VAjSPQjZRXjUURUXRX+_+_ºº+_功率三角形阻抗三角形电压三角形R、L、C元件的有功功率和无功功率uiR+-PR=UIcos

=UIcos0=UI=I2R=U2/RiuL+-PL=UIcos

=UIcos90=0QR=UIsin

=UIsin0=0QL=UIsin

=UIsin90=UI=U2/XL=I2XL>0iuC+-PC=UIcos

=UIcos(-90)=0QC=UIsin

=UIsin(-90)=-UI=U2/XC=I2XC<0一般情况下：复功率也可表示为复功率守恒已知如图，求各支路的复功率。例.+_10∠0oA10Wj25W