1.2.1任意角的三角函数教学设计

1.2.1任意角的三角函数教材人教A版必修四章节第一章课题1.2.1任意角的三角函数课型小组合作习题课授课时间第一课时学生情况隆化存瑞中学是普通高级中学，从学生中考成绩看，虽不及市里高中，但整体水平还可以。平行班学生虽然学习积极性不高，可智力水平不低，根底中等，学习习惯稍差。我讲授的班级就是两个理科平行班，概念教学他们理解起来有点吃力，但根本公式均可记清，根本会用，我们通过引导思维的方式，配合习题训练，期望学生可以将此局部内容学会。这节课就是这样，通过问题导向，小组讨论，解决所设计问题。希望学生积极起来，增强合作意识，培养探究意识，真正培育数学意识和数学应用能力。学生已经掌握的内容及学生学习能力1.学生在初中时已经学习了根本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。2.学生的运算能力较差。3.局部同学对数学的学习有一定的兴趣和积极性。4.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面开展不够均衡，必须在老师一定的指导下才能进行。教材分析三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广〞的根底上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最根本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个珍贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这局部内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一根本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要根底。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的根底性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定如下教学目标：1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．4．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．通过学习，渗透数形结合和类比的数学思想，培养学生良好的思维习惯。教法学法本节课采用“启发探索、讲练结合〞的方法组织教学教法，在课堂结构上，设计了四步学法：1.推广认知——形成概念2.稳固新知——探求规律3.总结反思——提高认识4.任务后延——自主探究，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。教学重点任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．教学方法教学资源小组合作和实物投影学案教学过程设计设计意图一、复习引入、回想再认(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？图1学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：sinα＝eq\f(对边,斜边)，cosα＝eq\f(邻边,斜边)，tanα＝eq\f(对边,邻边)二、引申铺垫、创设情景(情景2)我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对个别学生作启发引导．能推广吗？怎样推广？针对刚刚的问题点名让学生答复．用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到(否那么教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数．师生共做(学生口述，教师板书图形和比值)：把锐角α安装(如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个Rt△OMP，那么∠MOP＝α(锐角)，设P(x，y)(x＞0、y＞0)，α的邻边OM＝x，对边MP＝y，斜边长|OP|＝r.图2根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数的比值：sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.？＝？＝？＝(情景3)思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长r＝1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinα＝eq\f(MP,OP)＝y；cosα＝eq\f(OM,OP)＝x；tanα＝eq\f(MP,OM)＝eq\f(y,x).思考上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利于推广到任意角呢？本节课就研究这个问题——任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角α的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化．图3三、探究新知1．探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了．所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2.思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如图4：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么图4(1)y叫做α的正弦(sine)，记做sinα，即sinα＝y；(2)x叫做α的余弦(cossine)，记做cosα，即cosα＝x；(3)eq\f(y,x)叫做α的正切(tangent)，记做tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终算出三角函数值．四、探索定义域(情景4)1.函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法那么、定义域、值域．正弦函数sinα的对应法那么是什么？正弦函数sinα的对应法那么，实质上就是sinα的定义：对α的每一个确定的值，有唯一确定的比值eq\f(y,r)与之对应，即α→eq\f(y,r)＝sinα.2．布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：三角函数sinαcosαtanα定义域引导学生自主探索：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角α的取值范围．关于sinα＝eq\f(y,r)、cosα＝eq\f(x,r)，对于任意角α(弧度数)，r＞0，eq\f(y,r)、eq\f(x,r)恒有意义，定义域都是实数集R.对于tanα＝eq\f(y,x)，α＝kπ＋eq\f(π,2)时x＝0，eq\f(y,x)无意义，tanα的定义域是{α|α∈R，且α≠kπ＋eq\f(π,2)}……教师指出：sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的根底上记熟．五、符号判断、形象识记(情景5)能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数的定义来分析，r＞0，三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：图5sinα＝eq\f(y,r)：上正下负横为0；cosα＝eq\f(x,r)：左负右正纵为0；tanα＝eq\f(y,x)：交叉正负．六、例题讲解、理解记忆1．自学例1：求eq\f(5π,3)的正弦、余弦和正切值．2．例2：角α的终边经过点P(－3，－4)，求α的正弦，余弦及正切值．活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并答复．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上点的坐标来定义，既不失一般性，又简单，更容易看清对应关系．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．如图6，设α是一个任意角，P(x，y)是α终边上任意一点，点P与原点的距离r＝eq\r(x2＋y2)>0，那么：图6①eq\f(y,r)叫做α的正弦，即sinα＝eq\f(y,r)；②eq\f(x,r)叫做α的余弦，即cosα＝eq\f(x,r)；③eq\f(y,x)叫做α的正切，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．这样定义三角函数，突出了点P的任意性，说明任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关，教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点．3．例3：求以下三角函数值：(1)sin390°；(2)coseq\f(19π,6)；(3)tan(－330°)．活动：引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点，终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？为什么？引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明．由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式(公式一)：利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2π(或0°到360°)角的三角函数值．这个公式称为三角函数的“诱导公式一〞．sinα＋k·2π＝sinα，cosα＋k·2π＝cosα，tanα＋k·2π＝tanα，其中k∈Z.解：(1)sin390°＝sin(360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1,2)；(2)coseq\f(19π,6)＝cos(2π＋eq\f(7π,6))＝coseq\f(7π,6)＝－eq\f(\r(3),2)；(3)tan(－330°)＝tan(－360°＋30°)＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).七、课堂练习课本本节练习题1、2,3.处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解稳固定义．强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值．八、回忆小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P……)．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？(根据定义……)3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……)布置课外作业1．书面作业：习题1.2A组第1、2题．2．认真阅读本节“阅读与思考：三角学与天文学〞，了解三角学在天文学中的重要作用。学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程(类似于从有理数到实数的扩展)．温故知新，要让学生体会知识的产生、开展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少．从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造〞征程．教师对学生答复情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！此处做法简单，思想重要．为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形．初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数的定义．这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了根底．初中学生对函数理解较浅薄，这里在学生思维的最近开展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键．这样做能够使学生有效地增强函数观念．定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域．指导学生根据定义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的根底上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握．判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求．要引导学生抓住定义、数形结合判断