3.6 直线和圆的位置关系 北师大版数学九年级下册导学课件

6直线和圆的位置关系第三章圆逐点学练本节小结作业提升学习目标本节要点1学习流程2认识力力的作用是相互的力的作用效果知识点感悟新知1直线和圆的位置关系1.直线和圆有三种位置关系直线和圆的位置关系相离相切相交图示感悟新知公共点个数012公共点名称切点交点直线名称切线割线圆心O

到直线l

的距离d

与半径r

的关系d＞rd=rd＜r等价关系d>r

直线l与⊙O

相离d=r

直线l与⊙O

相切d<r

直线l与⊙O

相交感悟新知要点提醒如果一条直线满足下列三个条件中的任意两个，那么第三个条件也成立：(1)过圆心；(2)过切点；(3)垂直于切线.感悟新知如图3-6-1，在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则直线AB和以点C

为圆心，r

为半径的圆有何位置关系？为什么？(1)r=4cm；(2)r=4.8cm；(3)r=7cm.例1感悟新知解题秘方：求出点C

到AB

的距离，再将其与圆的半径的大小进行比较.感悟新知解：过点C作CD⊥AB于点D，如图3-6-1.在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，则AB=10cm.又∵AB·CD=AC·BC，∴CD=4.8cm.(1)当r=4cm时，CD

＞r，直线AB

和⊙C

相离；(2)当r=4.8cm时，CD=r，直线AB

和⊙C

相切；(3)当r=7cm时，CD

＜

r，直线AB和⊙C

相交.感悟新知1-1.[中考·嘉兴]已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙

O半径为2cm，线段OA=3cm，OB=2cm，则直线AB与⊙O

的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.相交或相切D感悟新知如图3-6-2，在△

ABC中，∠

C=90°，∠

A=30°，O

是AB

上的一点，OB=2m(m＞0)，⊙O

的半径r

为3，当m

分别在什么范围内取值时，直线BC与⊙O相离、相切、相交？例2感悟新知解题秘方：利用直线与圆的位置关系建立方程(或不等式)求m

的取值范围.解：如图3-6-2，作OD⊥BC

于点D.∵∠A=30°，∠C=90°，∴∠B=60°.∴∠DOB=30°.在Rt△ODB

中，∵OB=2m，∴DB=m，OD=m.感悟新知设OD=d.(1)当直线BC

与⊙O

相离时，d

＞

r，即

m

＞，解得m

＞1.(2)当直线BC

与⊙O

相切时，d=r，即

m=，解得m=1.(3)当直线BC

与⊙O

相交时，d＜

r，即

m<，解得m

＜1.又∵m

＞0，∴0＜m

＜1.感悟新知2-1.已知直线l

与半径为2的⊙

O

的位置关系是相离，则点O

到直线l的距离的取值范围在数轴上表示正确的是()A感悟新知2-2.(易错题)在平面直角坐标系中，⊙M

的圆心坐标为(m，4),半径是2，如果⊙M

与y

轴相切,那么m=________；如果⊙M

与y

轴相交,那么m的取值范围是________.±2－2<m<2知识点切线的性质感悟新知21.性质定理圆的切线垂直于过切点的半径.2.切线的性质特别提醒性质定理的题设有两个条件：1.圆的切线；2.半径过切点.应用时缺一不可.感悟新知(1)切线和圆只有一个公共点.(2)圆心到切线的距离等于半径.(3)圆的切线垂直于过切点的半径.(4)经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用).(5)经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用).(3)(4)(5)可归纳为：如果直线满足过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中的任意两个，那么第三个也成立.感悟新知如图3-6-3，AB

为⊙O

的直径，PD

切⊙O

于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD.例3感悟新知(1)求∠

D的度数；解题秘方：利用“等半径”得等腰三角形；解：如图3-6-3，连接OC.∵AO=CO，∴∠OAC=∠ACO.∴∠COD=2∠CAD.又∵∠D=2∠CAD，∴∠D=∠COD.∵PD与⊙O

相切于点C，∴∠OCD=90°.∴∠D=45°连接过切点的半径.感悟新知(2)若CD=2，求BD

的长.解题秘方：利用“切线”垂直于过切点的半径构成直角三角形，再结合相关性质求解.解：由(1)可知△OCD

是等腰直角三角形，∴OC=CD=2.由勾股定理，得OD=∴BD=OD－OB=2－2.感悟新知3-1.[中考·怀化]如图，AB与⊙O

相切于点C，AO=3，⊙O的半径为2，则AC

的长为_________.知识点切线的判定感悟新知31.判定定理过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.特别提醒切线必须同时具备两个条件：1.直线过半径的外端；2.直线垂直于这条半径.感悟新知2.判定方法(1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线.(2)数量法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.(3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.感悟新知如图3-6-4，已知AB是⊙O

的直径，AB=4，点C

在线段AB的延长线上，点D

在⊙O

上，连接CD，且CD=OA，OC=2，求证：CD是⊙O的切线.例4解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”判定圆的切线.感悟新知证明：如图3-6-4，连接OD.由题意可知CD=OD=OA=AB=2.∵OC=2，∴OD2+CD2=OC2.∴∠ODC=90°，即OD⊥CD.又∵点D

在⊙O

上，∴CD

是⊙

O的切线.感悟新知4-1.如图，点C是⊙O上的一点，AB

是⊙

O的直径，∠CAB=∠DCB，那么CD

与⊙

O的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.相交或相切C感悟新知如图3-6-5，在Rt△ABC

中，∠B=90°，∠BAC

的平分线交BC于点D，以点D

为圆心，DB的长为半径作⊙D.求证：AC

与⊙D

相切.解题秘方：利用“无切点，作垂直，证半径”判定圆的切线.例5感悟新知证明：如图3-6-5，过点D作DF⊥AC于点F.∵∠B=90°，∴

DB⊥AB.又∵

AD平分∠BAC，∴

DF=DB.∴AC与⊙D

相切.感悟新知5-1.如图，点D

是∠AOB的平分线OC上任意一点，过点D

作DE⊥OB

于点E，以DE为半径作⊙

D，求证：OA

是⊙D

的切线．感悟新知证明：过点D作DF⊥OA于点F.∵点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，DE⊥OB，∴DF＝DE，即点D到直线OA的距离等于⊙D的半径DE，∴OA是⊙D的切线．感悟新知[中考·湖州]如图3-6-6，已知BC

是⊙O的直径，AC

与⊙O

相切于点C，AB

交⊙

O于点D，E

为AC

的中点，连接DE.例6感悟新知(1)若AD=DB，OC=5，求AC

的长；解题秘方：构造直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角求解；解：连接CD，如图3-6-6.∵BC是⊙O

的直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB.∵AD=DB，∴AC=BC=2OC=10.感悟新知(2)求证：DE

是⊙O

的切线.解题秘方：利用“有切点，连半径，证垂直”求证.感悟新知证明：连接OD，如图3-6-6.∵∠ADC=90°，E为AC

的中点，∴DE=EC=AC.∴∠1＝∠2.∵OD=OC，∴∠3＝∠4.∵AC

切⊙O

于点C，∴AC⊥OC.∴∠1+∠3=∠2+∠4＝90°，即DE⊥OD.∴DE

是⊙O的切线.感悟新知6-1.[中考·十堰]如图，△ABC

中，AB=AC，D

为AC

上一点，以CD

为直径的⊙O

与AB

相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G.感悟新知(1)求证：FG

是⊙O的切线；证明：如图所示，连接OF.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵OF＝OC.∴∠C＝∠OFC，∴∠OFC＝∠B.∴OF∥AB.∵FG⊥AB，∴FG⊥OF.又∵OF是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线．感悟新知(2)若BG=1，BF=3，求CF

的长.感悟新知知识点三角形的内切圆感悟新知41.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.要点解读1.一个三角形有一个内切圆，而一个圆有无数多个外切三角形.2.三角形的内心在三角形的内部.感悟新知2.三角形的内心三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.3.三角形内心的性质三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径.感悟新知王奶奶有一块三角形的布料ABC，∠ACB=90°，她要裁剪一个圆片，已知AC=60cm，BC=80cm，为了充分地利用这块布料，使裁剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪？这个圆片的半径是多少？解题秘方：在三角形中裁剪下的最大圆就是这个三角形的内切圆.例7感悟新知解：如图3-6-7，设△ABC的内切圆⊙O

的半径为rcm，⊙O

分别切AB，BC，AC于点D，E，F，连接OE，OF，则四边形OECF为正方形.∴CE=CF=rcm.感悟新知∵∠ACB=90°，AC=60cm，BC=80cm，∴AB=100cm，AF=AD=(60－r)cm，BD=BE=(80－r)cm.∵AD+BD=AB，即60－r+80－r=100，∴

r==20.∴她应该裁剪下来这块三角形布料的内切圆，这个圆片的半径是20cm.直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和减去斜边之差的一半.感悟新知7-1.如图，⊙O

是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F.若BA=BC=13，AC=24，求△

ABC的内切圆的半径