2022年中考数学压轴题押题答案解析

2022年中考数学压轴题

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32+bx+c与x轴交于8,C两点，与y轴交于

点儿直线y=-3+2经过4C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点。，直线与对

称轴交于点G,与抛物线交于M,N两点（点N在对称轴右侧），且MN〃x轴，MN=7.

（1）求此抛物线的解析式.

（2）求点N的坐标.

⑶过点4的直线与抛物线交于点F,当tan/E4C=1时，求点尸的坐标.

（4）过点。作直线4c的垂线，交/C于点〃，交y轴于点K,连接CN,△/"K沿射

线AC以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△ZHK与四边形DGNC产生重叠,

设重叠面积为S,移动时间为/（0W/W遍），请直接写出S与，的函数关系式.

解：（1）直线），=一%+2经过4C两点，则点/、C的坐标分别为（0,2）、（4,0）,

则。=2,抛物线表达式为：y=—^x^+bx+2,

将点C坐标代入上式并解得：仁|,

故抛物线的表达式为：尸-#+|x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x=

37

-+-

点N的横坐标为:22

故点N的坐标为(5,-3)；

(3)"."tan^ACO=4^===tanXE4C=

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即NACO=NFAC,

①当点尸在直线ZC下方时,

设直线工尸交x轴于点R,

■：ZACO=ZE4C,则AR=CR,

设点R(r,0),则，+4=0-4)2＞解得：厂

3

即点H的坐标为：(二，0),

2

(2=n

将点R、4的坐标代入一次函数表达式：〃得：3°

m+几=0n

解得：m=一条

(71=2

故直线4R的表达式为：y=—氏+2…②，

联立①②并解得：x=故点尸(三"，-等)；

②当点F在直线AC的上方时，

VZACO=ZF'AC,：.AF'〃工轴，

则点上(3,2)；

综上，点尸的坐标为：(3,2)或今，一坐;

2

(4)如图2,设N4CO=a,则tana=器=则sina=专,cosa=

后

①当0WW时(左侧图)，

设移动到△，H'K'的位置时，直线〃K'分别交工轴于点八交抛物线对称

轴于点S,

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贝=t,NLTD=/ACO=a,

川LT_HH'_t_底DT

cosacosa±_2tana

底

S=S&DS『IxDTXDS=I?；

②当誓vw孥时(右侧图)，

.,11yfsty/5t34HQ

同理用得:S=S梯形DG5,r=2xZ)GX(GS'+DT')=x3+(-^-4---)=

八,3遍「,

③当一^＜^＜遥时，

4

同理可得：s=434；

‘2。Q怜

综上，S=＜竽t—/(等vtv乎).

萼t+玄苧＜ts病

2.在平面直角坐标系中，某个函数图象上任意两点的坐标分别为（T,JI）和（f,”）（其

中/为常数且/>0）,将x<—的部分沿直线y="翻折，翻折后的图象记为Gi；将x>

，的部分沿直线卜=”翻折，翻折后的图象记为G2,将Gi和G2及原函数图象剩余的部分

组成新的图象G.

%—2（久V-1）

例如:如图，当t=\时，原函数），=》,图象G所对应的函数关系式为歹=卜（一1<%<1）.

（-%+2（%>1）

⑴当仁义时，原函数为尸x+1,图象G与坐标轴的交点坐标是（2,0）或（0与）.

（2）当f=|时，原函数为尸》2-2X

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①图象G所对应的函数值了随x的增大而减小时,x的取值范围是-|0cWl或x其.

②图象G所对应的函数是否有最大值，如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.

（3）对应函数v=7--3（〃为常数）.

①〃=-1时，若图象G与直线y=2恰好有两个交点，求，的取值范围.

②当t=2时，若图象G在〃2-2<xW〃2-1上的函数值y随x的增大而减小，直接写出

n的取值范围.

解：⑴当时，y=

当时，翻折后函数的表达式为：y=-x+b,将点（点|）坐标代入上式并解得:

翻折后函数的表达式为：y=-x+2,

当>=0时，x=2,即函数与x轴交点坐标为：（2,0）；

同理沿x=0翻折后函数的表达式为：尸-x,

函数与歹轴交点坐标为：（0，1）,

故答案为：（2,0）或（0,1）；

（2）当f=|时，由函数为y=x2-2x构建的新函数G的图象，如下图所示：

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点4、8分别是/=-去的两个翻折点，点C是抛物线原顶点，

Q3

则点4、B、C的横坐标分别为一宗1、

①函数值y随x的增大而减小时，—狂尽1或后|,

Q&

故答案为：一24%<1或

②函数在点4处取得最大值，

3_(3、2(3、21

x=_2»y——])-2X(—2)=~^7，

答：图象G所对应的函数有最大值为斗；

4

(3)n=-1时，y=x^+2x-2,

①参考(2)中的图象知：

当>=2时，y—^+2x-1—2,

解得：x=-1±V5,

若图象G与直线y=2恰好有两个交点，则遍+1>/>V5-1；

②函数的对称轴为：x=n,

y—x2-2nx+n2-3=0,则丫=〃±百，

当f=2时，点/、B、C的横坐标分别为：-2,n,2,

当》=〃在y轴左侧时，(〃W0),

此时原函数与x轴的交点坐标(n+V3,0)在x=2的左侧，如下图所示,

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则函数在48段和点C右侧，

故：-即：在--2W-xW/-1〈小

1—

解得：~~~工〃，

2

l—y/S

即：-----<n<0；

2

当在y轴右侧时，（〃20）,

同理可得：ow”w©要；

1-^51_i_.

故：-----<n<0或0W〃工二^或几22或〃W-2.

22

即:——<n<与"或〃22或nW-2.

22

3.如图，过点/（0,1）作直线P0,交抛物线尸#于P,。两点，点8是点/关于x

轴的对称点.

（1）试判断以点尸为圆心，刃为半径的圆与直线/：y=-1的位置关系；

（2）证明：直线8。和直线8P关于y轴对称；

（3）过点「作^轴的平行线交直线/：y=-1于"点，连接交x轴于E,直线PE

与抛物线丁=32是否还有除点尸之外别的交点？请说明理由.

解：（1）以点P为圆心，以为半径的圆与直线/：、=-1的位置关系为相切.

11

设点P（m,一加之），点p到直线/：y=-I的距离为d=-rm24-1,则PA=

4-

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J(m-0)2+(^m2-l)2=^m2+1,d—%，-(-1)=^m2+1,

：.PA=d

・,.以点尸为圆心，以为半径的圆与直线/：y=-l相切；

(2)如图，过点尸作直线/于凡作为，歹轴于过点0作0G，/于G,QN

_Ly轴于N,

则：NQGB=ZQNA=/QNB=/GBN=/HBM=NPMA=NPHB=90°

・•・四边形BGQMBHPM均为矩形,

:.BN=QG,BM=PH

由(1)知：PA=PH,QA=QG

：.QA=BN,PA=BM

,?NPAM=NQAN

・・・/XPAM^/XQAN

.PMQN

-QA

.PMQN

♦♦BM-BN

,?4BMP=/BNQ=90°

:./XBMPsABNQ

：.ZPBM=ZQBN

・・・直线BQ和直线BP关于y轴对称；

(3)除点尸之外无别的交点.

1

,:PQm,—m7),H(m,-1),A(0,1)

4

设直线N”解析式为x+6',则｛7£；"二-1,解得｛〃=一3

直线解析式为尸—今+1,令尸0,得x=芋

m

:.E(一,0)

2

(mk,f+b”=7m2(k〃=

42

设直线PE解析式为x+6",贝IJ加，解得1

曲"+b"=0(b"=-^m2

直线PE解析式为^=^mx—^m2,

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y=1_11

1，得二公=-TTU-jm2,

y=p424

2t

Ax-2〃?x+阳2=0

VA=(-2加)2-4〃?2=O

直线PE与抛物线夕=1x2有且只有一个交点，即除点P之外无别的交点.

3.如图，在RtZ\48C中，ZACB=90°,。为48边上的一点，以为直径的。0交BC

于点E,交/C于点凡过点C作CG_LZ8交ZB于点G,交4E于点、H,过点E的弦EP

交于点。(EP不是直径)，点。为弦EP的中点，连结8P,8P恰好为。。的切线.

(1)求证：8c是。。的切线.

(2)求证：EF=ED.

3

(3)若sin//8Cy,/C=15,求四边形C//QE的面积.

(1)证明：连接OE,OP,

•.70为直径，点。为弦EP的中点,

点。为弦EP的中点，

：.AB垂直平分EP,

:.PB=BE,

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•：OE=OP,OB=OB,

:.△BEOQXBPOCSSS),

：.ZBEO=ZBPO,

•・,8产为。。的切线，

：.ZBPO=90°,

:・/BE0=9G°,

：.OELBC,

・・・8C是OO的切线.

(2)证明：•:NBEO=N4CB=90°,

C.AC//OE,

：.ZCAE=ZOEA,

•：OA=OE,

:・/EAO=/AEO,

：.ZCAE=ZEAO,

：.EF=ED.

(3)解：・・Z。为的OO直径，点。为弦EP的中点,

：.EPLAB,

9

：CG±ABf

：.CG//EP,

•：NACB=NBEO=90°,

：.AC//OEf

：.ZCAE=ZAEO,

•：OA=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

：.ZCAE=ZEAO,

VZACE=ZAQE=90°,AE=AE,

：./\ACE^/\AQECAAS)f

：.CE=QE,

•；NAEC+NCAE=NEAQ+N4HG=90°,

:・/CEH=/AHG,

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,/NAHG=NCHE,

：.ZCHE=ZCEHf

：.CH=CE,

:・CH=EQ,

・・・四边形CHQE是平行四边形，

、：CH=CE,

・・・四边形C//QE是菱形，

AG3

Vsin=sinZACG==—=一,

AC5

VJC=15,

：.AG=9,

：.CG=y/AC2-AG2=12,

：.AQ=AC=\5,

：.QG=6,

，：HC=HS+Q6,

:.晦=（12-HQ）2+62,

解得：〃。=苧，

1q

四边形CHQE的面积=C〃・GQ=拼x6=45.

4.如图，△Z8C中，AB=AC,。。是△/8C的外接圆，8。的延长线交边/C于点D

(1)求证：NBAC=2NABD；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求的大小；

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(3)当/。=2,。。=3时，求边6。的长.

(1)证明：连接04

图1

9

：AB=ACf

：.AB=宿

C.OALBC,

：.NBAO=/CAO,

°：OA=OB,

：./ABD=NBAO,

：.ZBAC=2ZABD.

(2)解：如图2中，延长力。交8C于”.

9

：AB=ACf

：./ABC=NC,

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:.NDBC=2NABD,

VZDBC+ZC+ZBDC=\^O°,

8/480=180°,

，/C=3/Z8O=67.5°.

②若CD=CB,则NCBO=NCO8=3N/8。，

：.ZC=4ZABD,

；/ZMC+/C+/CD8=180°,

.•.10//80=180°,

:.NBCD=4NABD=T1°.

③若。8=Z)C,则。与工重合，这种情形不存在.

综上所述，/C的值为67.5°或72°.

(3)如图3中，作/E〃8c交8。的延长线于E.

AOAE4

—=—=—，设08=04=44，OH=3a,

OHBH3

,：Blfi=AB2-AH2^OB2-OH1,

，25-49。2=16/-9a2,

.225

■-a=56,

:.BC=2BH=挈

6.已知，如图：△N8C是等腰直角三角形，//8C=90°,AB=W,D为AABC外一点、,

连接BD,过。作。垂足为，，交4c于E.

(1)若是等边三角形，求。E的长；

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Q

(2)若BD=4B,且tan/印加气，求。E的长.

【解答】解：(1)是等边三角形，48=10,

二408=60°,/£>=”=10,

:DHLAB,

:.AH=%B=5,

：.DH=yjAD2-AH2=V102-52=5V3,

•••△Z8C是等腰直角三角形，

：.ZCAB=45°,即N4E〃=45°,

AAEH是等腰直角三角形，

：.EH=AH=5,

：.DE=DH-EH=5V3-5；

2

(2)'：DHLAB,且

可设BH=3k,贝UDH=4k,

根据勾股定理得：DB=5k,

,:BD=4B=IQ,

.•.5%=10解得：k=2,

：.DH=8,BH=6,AH=4,

又,：EH=AH=4,

:.DE=DH-EH=4.

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7.如图，已知。。是△/BC的外接圆，AB是。。的直径，D是4B延长线上的一点，AE