2018高考江苏卷数学试题

2018高考江苏卷数学试题

1.己知集合A={0,1,2,8},8={-1,1,6,8},那么AAB=▲.

2.若复数z满足i.z=l+2i,其中i是虚数单位，则z的实部为▲.

3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的

平均数为▲.

899

9011

(第3题)

4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为

r----------------------1

：/11；

।।

:Sl1;

[While/<6

：/T+2

；S—25

；EndWhile

；PrintS\

…那z顿一…

5.函数/(x)=的定义域为▲.

6.某兴趣小组有2名男生和3,名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名

女生的概率为

7.已知函数y=sin(2x+9)(-]<。〈曰)的图象关于直线x=]对称，则.的值是▲.

22

8.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线二-1=1(“>0,6>0)的右焦点尸(c,0)到一条渐近

CTbL

线的距离为且C,则其离心率的值是▲.

2

cos—,0<x<2,

9.函数f(x)满足/(x+4)=/(x)(xeR),且在区间(-2,2]上，/(%)=；则

|xH—I,一2<xW0,

2

/(/(15))的值为

1

10.如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为

（第10@）

11.若函数/（x）=2/-奴2+］（aeR）在①次）内有且只有一个零点，则f（x）在［—1,1］上的

最大值与最小值的和为▲.

12.在平面直角坐标系xO），中，A为直线/:y=2x上在第一象限内的点，8（5,0）,以AB为

直径的圆C与直线/交于另一点。.若破①=0,则点A的横坐标为▲.

13.在△4BC中，角A8,C所对的边分别为a,b,c,NABC=120。，N4BC的平分线交AC

于点D,且比>=1,则4a+c的最小值为▲.

14.已知集合A={x|x=2〃-1,〃€N*},8={X|X=2","GN.}.将AIJB的所有元素从小到

大依次排列构成一个数列{凡}.记S.为数列{%}的前n项和，则使得S.>12〃向成立的

n的最小值为▲.

15.（本小题满分14分）

在平行六面体ABCD-AB£A中，M=AB,ABt±gG.

求证：（1）AB〃平面A4C；

（2）平面A84A，平面A8C.

16.（本小题满分14分）

已知a,"为锐角，tana=g,cos（a+J3）=-

（1）求cos2a的值；

（第15题）

（2）求tan（a-/7）的值.

17.（本小题满分14分）

2

某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆。的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)

和线段MN构成.已知圆。的半径为40米，点P到/WN的.距离为50米.现规划在此

农田上修建两个温室大棚,大棚I内的地块形状为矩形A8CD,大棚I【内的地块形状为

△CDP,要求A,3均在线段MN上，C,£)均在圆弧上.设。C

与MN所成的角为6.

(1)用。分别表示矩形AB8和ACDP的面积,并确定sin。的

取值范围；

(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚H内种植乙种蔬菜，且甲、

(第17题)

乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3.求当。为何值时，

能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

18.(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点(6,3)，焦点

F、(-瓜0)用瓜0),圆。的直径为耳名.

(1)求椭圆C及圆。的方程；

(2)设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.

①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；

②直线/与椭圆C交于A,B两点.若△。记的面积为侦，

7

求直线/的方程.

19.(本小题满分16分)

记_f(x),g'(x)分别为函数/(x),g(x)的导函数.若存在x°eR,满足/a,)=g(x°)且

/'(%))=g'(%),则称X。为函数f(x)与g(x)的一个"5点.

(1)证明：函数/(幻=%与8。)=炉+2》-2不存在“5点”；

(2)若函数/(犬)=/-1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值；

(3)已知函数/(1)=-工2+。，g(x)=~—.对任意判断是否存在匕＞0,使函

X

数/(%)与g(x)在区间(0,y0)内存在“S点”，并说明理由.

3

20.（本小题满分16分）

设｛%｝是首项为4,公差为d的等差数列，｛2｝是首项为白，公比为q的等比数列.

（1）设％=0,4=1应=2,若区伉对“=1,2,3,4均成立，求d的取值范围：

（2）若％=白＞0,“€1＜，4€（1,啦］,证明：存在deR,使得区々对

〃=2,3,…,〃7+1均成立，并求d的取值范围（用伉,加国表示）.

4

1.{1，8}2.23.904.8

3

5.[2,+8)6.7.—8.2

io6

V24

9.10.11.-312.3

~23

13.914.27

15.证明:(1)在平行六面体ABC0-481JD1中,A8〃4历.

因为ABfZ平面48iC,48iu平面4B£,

所以AB〃平面4BC

(2)在平行六面体ABCD-481C1D1中，四边形A8&4为平行四边形.

又因为A4M8,所以四边形AB&4为菱形，

因此A&_L48.

又因为ABi_LBiG，BC〃&Q,

所以48」8c.

又因为48nBe=8,4Bu平面48C,BCu平面4BC,

所以A&_L平面48C.

因为ABiu平面A8B14,

所以平面48B14J_平面418c.

16.解：(1)因为tana=d,tana=,所以sina=dcosa.

3cosa3

因为sin2a+cos2a=1,所以cos2a,

25

7

因止匕，cos2a—2cos〜cc—\-------.

25

(2)因为a,夕为锐角，所以a+4£(0,兀).

又因为cos(cr+0)=~~~~，所以sin(a+尸)=^/l-cos2(cr+(3)=~~~，

因此tan(a+p)——2.

42tana24

因为tana=一,所以tan%=

31一tan2a，7

tan2a-tan(a+0)_2

因此，tan(a-f3)=tan[2cr-(a+/?)J=

1+tan2atan(cr+/3)11

17.解：(1)连结P。并延长交M/V于H,则PH_LM/V,所以OH=10.

过。作。EJ_8c于E,则0E〃MN,所以NC0E=2,

5

(第17题)

故O£=40cos&,EC=40sin9,

则矩形ABCD的面积为2x40cos1?(40sint?+10)=800(4sini?cosi?+cosi?),

△CDP的面积为，x2x40cosi?(40-40sim?)=1600(cos^-sini?cosi?).

2

过N作GNA.MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.

1JT

令NGOK=诙，则5也%=一，&£(0,-).

46

当力£［诙，乌)时，才能作出满足条件的矩形488,

2

所以sinO的取值范围是［1,1).

4

答：矩形488的面积为800(4sini?cosi?+cosi?)平方米，△CDP的面积为

1600(cosi?-sini?cosi?),sin。”的取值范围是,1).

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3,

设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),

则年总产值为4kx800(4sini?cosi?+cosi?)+3kxl600(cosi?-sini?cosi?)

7T

=8000/c(sini?cosi?+cosi?),—).

2

■jr

设/(9)=sini?cosi?+cosi?,一)，

2

则于'(。)-cos20-sin20-sin0=-(2sin26+sin6—1)=-(2sin0-l)(sin6+1).

令一(8)=0,得氏二,

6

当9G(女,-)时，/W0,所以/(9)为增函数；

6

当ee(巴，巴)时，/wo,所以/(<?)为减函数，

62

因此，当代工时，f(1?)取到最大值.

6

答：当氏工时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

6

18.解：(1)因为椭圆C的焦点为月(-6,0),6(6,0),

221

可设椭圆C的方程为=+%=1(4>/>0).又点(6,3)在椭圆C上，

2_+J_=1除=4

所以"4加’，解得，一’

-2,.2c/=1,

6

因此，椭圆C的方程为工+9=1.

4

因为圆。的直径为百入，所以其方程为/+9=3.

（2）①设直线/与圆。相切于「（为,%）（无＞0,%＞0）,则"+避=3,

所以直线/的方程为y=-五。一/）+为,即尸-区入+2.

%%为

X22_.

丁〉=i，

由广。消去y，得

4）3

y=­x+—,

%%

22

（4x0+X：）x-24xox+36-4y：=0.（*）

因为直线/与椭圆C有且只有一个公共点，

因为为,为＞0,所以%=0,%=1.

因此，点P的坐标为（&』）.

②因为三角形0A8的面积为卅，所以_LAZTOP=城，从而A3=逑.

7277

设A（±,y）,B（w，%），

24与±也8%“十-2）

由（）得药.2

*2（H+%2）

所以AB?=（苞-々）2+（X-必）2

%48y（；（x；-2）

%?（4々；+%2）2

因为玉：+%2=3,

所以A#=I黑;；）=II,即2x；-45年+100=0,

解得/2=3汨=20舍去），则为2=g,因此p的坐标为（孚,#）.

综上，直线/的方程为y=-V5x+3夜.

7

19.解：(1)函数/(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f(x)=1,g'(x)=2x+2.

由/(x)=g(x)且/(x)=g'(x),得

卜=1+2x-2,此方程组无解，

[1=2x+2

因此，f(x)与g(x)不存在“S”点.

(2)函数八》)=江-1,g(x)=lnx,

则/工)=2④，gXx)=-.

X

r

设xo为f(x)与g(x)的“S”点，由/(xo)=g(x0)且，(x0)=g(xo)»得

r21i

axQ-1=InX0

aXg-1=Inx0

2«r；=1

%

1-1ip

2

得In』=——，BPx()=e,贝！Ja=---j-=—.

z.——c2.

2(e2尸

当“=]时，/=eT满足方程组(*),即/为/(x)与g(x)的“5”点.

因此，a的值为£.

2

(3)对任意a>0,设〃(x)=/一312一奴.

因为〃(0)=〃>0,〃(1)=1—3—=—2<0,且力(x)的图象是不间断的,

所以存在(0,1),使得〃(%)=().令6=1^----则b>0.

eU—

函数/(工)=一12+々,g(x)=——,

x

8

贝U/'(x)=—2x，gU)=*F.

由f(x)=g(x)且f(x)=gf(x),得

v

，he22片e

-x~+a=——

xe"(l-%)x

(**)

c加x(x—l)。2Mev(x-l)

-2x=-p—-2x=--------------——

e*(l-Xo)x

此时，x0满足方程组(**),即4是函数/(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个"S

点”.

因此，对任意。>0,存在b>0,使函数/(x)与g(x)在区间(0,+8)内存在“S点”.

20.解：⑴由条件知：%=(〃-1)"也=条1

因为区々对"=1，2,3,4均成立,

即1(〃-l)d-2"T区1对n=i,2,3,4均成立，

7、

即141,l<d<3,342d45,7<3d<9,W-<rf<-.

32

因此，d的取值范围为耳,|].

(2)由条件知：an=b]+(n-V)d9btt=.

若存在d,使得|%-2区4(c=2,3,…,m+1)成立，

即14+5—l)d—bq'"区4(〃=2,3,・・・，加+1)，

即当〃=2,3,…,〃2+1时，d满足幺——-bx<d<^—b].

n-\n-\

因为qe(l,啦],贝Ijlv/ivg”w2,

〃"T—?4"T

从而------/?!<0,----/?,>0,对〃=2,3,…，机+1均成立.

n-\n-\

因此,取d=0时,|。〃一6“区内对九二2,3,…，机+1均成立.

〃”一1—9nn~l

下面讨论数歹!l{^一。的最大值和数歹八"一}的最小值(〃=2,3「..,机+1).

Z7-1n-1

①当机时，吐1-U=*q"-时T+2=〃a-CY+2

nn-ln(n-l)n(n-l)

当时，有qYqY2,从而〃(0‘一/1)一夕〃+2>0.

9

因此，当24〃4加+1时，数列遇~二目单调递增，

H—1

故数歹—。的最大值为_i,

n—\m

②设/Xx)=2*(1-x),当x>0时，/'(x)=(In2-l-xln2)2*<0,

所以/(x)单调递减，从而f(x)</(0)=1.

当2M%时，-^-=^(/?-1)<2"(1--)=/(-)<1,

qnnnn

n-\

因此，当2K/1K%+1时，数列｛9—｝单调递减，

H-1

故数列｛y｝的最小值为

n—\m

因此，d的取值范围为［4(/二2)当匚］

mtn

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题，并在相应的答题区域内

作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

A.［选修4-1：几何证明选讲］(本小题满分10分)

如图，圆。的半径为2,A8为圆。的直径，P为AB延长线上一点,

过P作圆。的切线，切点为C.若PC=26,求BC的长.

B.［选修4-2：矩阵与变换J(本小题满分10分)

23（第题）

已知矩阵A=21-A

12

(1)求A的逆矩阵A-'；

(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P(3,l),求点P的坐标.

C.［选修4一4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)

在极坐标系中，直线/的方程为°sin(二-9)=2,曲线C的方程为夕=4cos6,求直线/

6

被曲线C截得的弦长.

D.［选修4一5：不等式选讲］(本小题满分10分)

10

若x,y,z为实数，且x+2y+2z=6,求f+y?+z?的最小值.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分10分)

如图，在正三棱柱ABC-481cl中，AB=AA!=2,点P,Q分别为48口

BC的中点.

(1)求异面直线BP与AG所成角的余弦值；

(2)求直线CJ与平面AQJ所成角的正弦值.

23.(本小题满分10分)

设"eN",对1,2,…，n的一个排列我…小如果当时，有is＞，；，

则称(4,()是排列注…的一个逆序，排列柱…)的所有逆序的总个数称为其逆序

数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,2),(3,1),则排列231的逆

序数为2.记£(%)为1,2,”的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.

(1)求力(2),£(2)的值；

(2)求力(2)(〃25)的表达式(用c表示).

11

21.【选做题】

A.［选修4一1：几何证明选讲］

本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力.满分10分.

证明：连结。C.因为PC与圆。相切，所以。CJ_PC.

又因为PC=28，0c=2,

所以0P=yJPC2+OC2=4.

又因为08=2,从而8为RtZ\0CP斜边的中点，所以8c=2.

B.［选修4-2：矩阵与变换］

本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

23

解：(1)因为4=det(A)=2x2-lx3=1^0,所以A可逆,

12

从而4一‘=

31.[x'\3

(2)设P(x,y),则I,所以II

J2JLx-1

因此，点P的坐标为(3,-1).

C.［选修4一4：坐标系与参数方程］

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力.满分10分.

解：因为曲线C的极坐标方程为夕=4cos。，

所以曲线C的圆心为(2,0),直径为4的圆.

因为直线/的极坐标方程为psin(--0)=2,

则直线/过A(4,0),倾斜角为二，

6

所以A为直线/与圆C的一个交点.

设另一个交点为8,则/OAB=m.

6

连结。B,因为。A为直径，从而/OBA=殳,

2

12

所以AB=4cos'=26.

6

因此，直线/被曲线C截得的弦长为2G.

D.［选修4一5：不等式选讲］

本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力.满分10分.

证明：由柯西不等式，得(x2+y2+z2)(F+22+22)2(x+2y+2z)2.

因为x+2y+2z=6,所以Y+y2+?224,

当且仅当二=上=三时，不等式取等号，此时x=2,丫=刍，z=d,

122333

所以f+V+z?的最小值为4.

22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用

空间向量解决问题的能力.满分10分.

解：如图，在正三棱柱ABC-ASG中，设AC,AiG的中点分别为O,O”则O8_L

OC,OOxVOC,OOi±OB,以｛。反反,03；｝为基底，建立空间直角坐标系Oryz.

因为AB=A4I=2,

所以A(O,-1,0),B(区0,0),