微积分上册教学课件

微积分上册2024-01-25绪论函数与极限导数与微分中值定理与导数的应用不定积分定积分及其应用目录CONTENT绪论01微积分的研究对象微分学主要研究函数在某一点附近的局部性质，包括函数的导数、微分、微分中值定理等内容。积分学主要研究函数在一个区间上的整体性质，包括定积分、不定积分、积分中值定理等内容。古希腊数学家阿基米德等人通过“穷竭法”等朴素方法研究了与微积分相关的问题。古代萌芽阶段17世纪牛顿和莱布尼兹分别独立创立了微积分，为近代数学和物理学的发展奠定了基础。近代创立阶段19世纪数学家柯西等人对微积分进行了严谨化处理，建立了极限理论，使得微积分学更加严密和完善。严谨化发展阶段微积分的发展历史局部与整体的思想微分学研究函数的局部性质，而积分学研究函数的整体性质，两者相互补充。以直代曲的思想微分学通过切线来近似代替曲线，而积分学则通过矩形面积的和来近似代替曲边梯形的面积。极限的思想微积分的理论基础是极限理论，通过极限来定义导数、微分和定积分等概念。微积分的基本思想函数与极限02函数定义函数是一种特殊的关系，它使得每个自变量唯一对应一个因变量。函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性等。函数的表示法函数可以通过解析式、表格、图像等方式表示。函数的概念与性质极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势的重要概念。极限定义包括唯一性、局部有界性、保号性、夹逼性等。极限的性质包括极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等。极限的运算法则极限的概念与性质函数极限的定义函数在某一点连续是指函数在该点的极限值等于函数值。连续性的概念连续性的性质连续函数的运算01020403包括连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。函数在某一点或无穷远处的极限值。包括局部有界性、介值性、反函数的连续性等。函数的极限与连续导数与微分03导数的定义通过极限概念定义导数，描述函数在某一点处的切线斜率。导数的几何意义导数反映了函数图像在某一点处的切线斜率和函数在该点的局部变化率。导数的性质包括导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则等。导数的概念与性质03微分的应用微分在几何、物理、经济等领域有广泛应用，如求曲线的切线、求速度、加速度、求边际效应等。01微分的定义微分是函数在某一点处的局部线性逼近，即在该点处用切线近似代替曲线。02微分的基本公式和法则包括微分的基本公式、乘积的微分、商的微分、复合函数的微分等。微分法及其应用高阶导数的概念高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数，反映了函数的更高阶变化率。高阶导数的计算通过逐次求导可以得到高阶导数，需要掌握常见函数的高阶导数公式。隐函数的微分法对于无法显式表达的函数关系，可以通过隐函数的方式求导，需要掌握隐函数求导的方法和技巧。高阶导数与隐函数微分法中值定理与导数的应用04阐述了可导的极值点导数为零的结论，是导数应用的基础定理之一。费马引理如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，且区间两端函数值相等，则至少存在一个点使得该点的导数为零。罗尔定理如果函数在闭区间上连续，开区间内可导，则至少存在一个点使得该点的导数等于区间两端函数值的差与区间长度的商。拉格朗日中值定理是拉格朗日中值定理的推广，涉及两个函数的导数之间的关系。柯西中值定理中值定理及其应用在一定条件下，通过求导数的极限来求解原极限的方法，特别适用于分式极限的求解。洛必达法则用多项式逼近一个函数的方法，即一个函数可以展开成无穷级数，每一项都是该函数在某点的导数乘以相应的幂次再除以相应的阶乘。泰勒公式在近似计算、误差估计、函数性质研究等方面有广泛应用。泰勒级数的应用洛必达法则与泰勒公式函数的极值函数在极值点处的导数为零或不存在，但并非所有导数为零的点都是极值点，需结合函数的单调性或二阶导数进行判断。最值定理闭区间上的连续函数必有最大值和最小值，且最大值和最小值要么在区间端点取得，要么在区间内的极值点取得。函数的单调性通过导数判断函数在某个区间内的增减性，即当导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减。函数的单调性与极值不定积分05不定积分的性质包括线性性质、积分区间可加性、常数倍性质等。原函数与不定积分的关系原函数是不定积分的结果，不定积分是求原函数的过程。不定积分的定义不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程，表示了函数图像与x轴围成的面积。不定积分的概念与性质换元积分法换元积分法与分部积分法通过变量代换将复杂的不定积分转化为简单的不定积分，包括三角代换、根式代换等。分部积分法将不定积分分解为两个函数的乘积的积分，通过求导与积分运算的互换，简化计算过程。根据被积函数的特征，选择合适的方法进行求解。两种方法的比较与选择有理函数的积分通过部分分式分解将有理函数转化为简单分式的和，再分别进行积分。三角函数的积分利用三角函数的和差化积、积化和差等公式进行化简，再进行积分。复合函数的积分结合换元法和分部积分法求解复合函数的积分。有理函数与三角函数的积分定积分及其应用06通过分割、近似、求和、取极限四个步骤，将曲边梯形的面积转化为定积分的形式。定积分的定义包括线性性质、可加性、保号性、绝对值不等式、估值定理等。定积分的性质表示曲边梯形的面积，也可以表示变力沿直线所作的功、水压力等物理量。定积分的几何意义定积分的概念与性质123将所求量进行无限细分，每一小部分近似为直线或平面，从而可以利用已知的直线或平面面积公式进行求解。微元法的思想求解平面图形的面积、旋转体的体积等。微元法在几何中的应用求解变力沿曲线所作的功、液体静压力等。微元法在物理中的应用微元法及其应用举例广义积分与含参变量的积分当定积分中的被积函数含有参数时，该定积分就变为含参变