2021新高考数学新课程一轮复习课时作业第七章第4讲直线平面平行的判定与性质

第4讲直线、平面平行的判定与性质组基础关1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案A解析当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．3.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5B．3∶8C．4∶9D．4∶25答案D解析∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25，故选D.4．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案B解析如图，由题意得EF∥BD，且EF＝eq\f(1,5)BD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD.所以EF∥HG，且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行，故选B.6．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面A．①②B．②③C．①③D．①②③答案C解析直线AA1∥平面α，且平面α与平面AA1C1C、平面AA1B1B分别交于FG，EH，所以AA1∥FG，AA1∥EH，所以FG∥EH.又平面ABC∥平面A1B1C1，平面α与平面ABC、平面A1B1C1分别交于EF，GH，所以EF∥GH.所以四边形EFGH为平行四边形．因为AA1∥平面α，且AA1⊥平面ABC，所以平面α⊥平面ABC，即平面α⊥平面BCFE.平面α与平面BCC1B1可能相交，考虑特殊情况：F与C重合，G与C1重合，7．(2019·益阳模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内(不包括边界)，若B1P∥平面A1BM，则C1PA.eq\f(\r(30),5)B.eq\f(2\r(30),5)C.eq\f(2\r(7),5)D.eq\f(4\r(7),5)答案B解析如图，在A1D1上取中点Q，在BC上取中点N，连接DN，NB1，B1Q，QD，∵DN∥BM，DQ∥A1M且DN∩DQ＝D，BM∩A1M＝M，∴平面B1QDN∥平面A1BM，则动点P的轨迹是DN(不含D，N两点)．又CC1⊥平面ABCD，则当CP⊥DN时，C1P取得最小值，此时，CP＝eq\f(2×1,\r(12＋22))＝eq\f(2\r(5),5)，∴C1P的最小值是eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2＋22)＝eq\f(2\r(30),5).8．(2019·沈阳模拟)下列三个命题在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l，m为直线，α，β为平面)，则此条件是________．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,①))⇒l∥α；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊂α,l∥m,②))⇒l∥α；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥m,m⊥α,③))⇒l∥α.答案l⊄α解析①l∥m，m∥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α；②l⊄α，m⊂α，l∥m⇒l∥α；③l⊥m，m⊥α⇒l∥α或l⊂α，由l⊄α⇒l∥α.9.(2020·北京海淀模拟)如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案eq\f(2\r(2),3)a解析如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，又平面PQNM∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PQNM，∴MN∥PQ.又MN∥AC，∴PQ∥AC.又AP＝eq\f(a,3)，∴eq\f(PD,AD)＝eq\f(DQ,CD)＝eq\f(PQ,AC)＝eq\f(2,3)，∴PQ＝eq\f(2,3)AC＝eq\f(2\r(2),3)a.10．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，答案M位于线段FH上(答案不唯一)解析连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，FH∩HN＝H，DD1∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.组能力关1．(多选)如图是正方体的平面展开图，关于这个正方体有以下判断，其中正确的是()A．ED与NF所成的角为60°B．CN∥平面AFBC．BM∥DED．平面BDE∥平面NCF答案ABD解析把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD－EFMN，得ED与NF所成的角为60°，故A正确；CN∥BE，CN⊄平面AFB，BE⊂平面AFB.∴CN∥平面AFB，故B正确；BM与ED是异面直线，故C不正确；∵BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，BD⊂平面BDE，BE⊂平面BDE，FN∩CN＝N，FN⊂平面NCF，CN⊂平面NCF，所以平面BDE∥平面NCF，故D正确．故选ABD.2．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(1,3)答案A解析如图，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知m，n所成角为∠EAF1，因为△EAF1为正三角形，所以sin∠EAF1＝sin60°＝eq\f(\r(3),2)，故选A.3．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x答案C解析过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN.∵MQ⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，∴MQ∥平面DCC1D1，∵MN∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1.又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵eq\f(MQ,AQ)＝eq\f(DD1,AD)＝2.∴MQ＝2x.在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(0≤x<1,1≤y<eq\r(5))，∴函数y＝f(x)的图象为焦点在y轴上的双曲线上支的一部分，故选C.4．(2019·河南郑州模拟)如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.5．底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是AB上一点，且eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,2)，在侧棱PD上能否找到一点F，使AF∥平面PEC.解设AF存在，过F点作DC的平行线交PC于点G，连接EG，如图．∵AB∥CD，∴AE∥FG.则AE，GF确定一个平面，若AF∥平面PEC，则AF∥EG.∴AE＝GF.而eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,2).∴AE＝eq\f(1,3)AB.又AB＝CD，∴GF＝eq\f(1,3)DC.∵GF∥DC，∴eq\f(GF,DC)＝eq\f(PF,PD)＝eq\f(1,3).∴存在这样的F点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF,PD)＝\f(1,3)))，使AF∥平面PEC.组素养关(2019·江西临川一中模拟)三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AB的中点，点E在侧棱CC1上，DE∥平面AB1C(1)证明：E是CC1的中点；(2)设∠BAC＝90°，四边形ABB1A1是边长为4的正方形，四边形ACC1A1为矩形，且异面直线DE与B1C1所成的角为30°，求三棱柱ABC－A1B解(1)证明：连接A1D，A1E分别交AB1，AC1于点M，N，连接MN，∵DE∥平面AB1C1，DE⊂平面A1DE平面A1DE∩平面AB1C1＝MN，∴DE∥MN又在三棱柱侧面A1ABB1中，D为AB的中点，∴A1B1＝2AD，由AD∥A1B1可得，∠MAD＝∠MB1A1，∠MDA＝∠MA1B1，所以△ADM∽△B1故A1M＝2MD，∵DE∥MN，∴A1N＝2NE在平面A1ACC1中，同理可证得△A1NA∽△ENC1，∴CC1＝AA1＝2EC1.故E是CC1的中点．