广东省珠海市香洲区重点学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷（含答案）

-2024学年广东省珠海市香洲区重点学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的。1．（3分）下列各数是一元二次方程x2+x﹣12＝0的根的是（）A．﹣1 B．1 C．2 D．32．（3分）在下列图形中，中心对称图形是（）A．等边三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．正五边形3．（3分）下列成语中，表示必然事件的是（）A．水中捞月 B．守株待兔 C．水涨船高 D．刻舟求剑4．（3分）如图是关于x的二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列结论正确的是（）A．bc＞0 B．ac＞0 C．ab＞0 D．abc＞05．（3分）如图，点A在图象上，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积为4，则k的值为（）A．2 B．4 C．8 D．126．（3分）如图所示，在⊙O中，∠BOD＝30°，OD∥AB，AD，OB相交于点C，那么∠BCD的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°7．（3分）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（）A．25（1﹣x）2＝20.25 B．20.25（1+x）2＝25 C．20.25（1﹣x）2＝25 D．25（1﹣2x）＝20.258．（3分）如图，AE是⊙O直径，半径OD与弦AB垂直于点C，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则CE的长为（）A．8 B．2 C．3 D．29．（3分）如图，等腰直角三角形ABC，斜边AB＝4，D是AB中点，点E为边BC上一动点，直线DE绕点D逆时针旋转90°交AC于点F，则CE+CF的值为（）A．2 B． C． D．10．（3分）下列命题：①关于x的方程（m+2）x|m|+3x+1＝0是一元二次方程，则m＝±2；②二次函数y＝x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝1；③如果k1≠k2，那么反比例函数与的图象肯定没有交点；④不透明的盒中放有除颜色外无其他差别的x枚黑棋和y枚白棋，从盒中随机取一枚棋子取到黑棋的概率为0.3．若盒中的黑棋增加一倍，白棋数量不变，则从盒中随机取一枚棋子取到黑棋的概率为0.6．其中正确命题的序号为（）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）外观相同的10件产品中有两件不合格，现从中随机抽取一件进行检测，抽到不合格产品的概率为．12．（3分）如图，菱形ABCD的对角线交点是坐标原点O，已知点A（﹣2，3），则点C的坐标为．13．（3分）已知二次函数y＝x2﹣mx+m的对称轴是直线x＝3，则常数m＝．14．（3分）若点（3，﹣3）和（a，a+6）都在反比例函数的图象上，则a＝．15．（3分）二次函数y＝x2﹣2mx+3m的图象与x轴交于点A，B，AB＝4，则常数m的值为．16．（3分）如图，点C是半圆ACB上一动点，直径AB＝4，分别以AC，BC为直径向△ABC外作半圆，若阴影面积总和为，则AC的值为．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）17．（7分）本题有两小题：（1）解方程：x2+10x+16＝0；（2）某校为丰富学生的课外生活，第二课堂开展了四项体育活动分别为：A篮球；B乒乓球；C羽毛球；D足球．每位学生必须选且只能选其中的一项．请用画树状图的方法求学生小明与小亮选择同一项活动的概率．18．（7分）小朱欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m．（1）直接写出动力F关于动力臂l的函数关系式；（2）若想使动力F不超过300N，求动力臂l的长至少为多少米？19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACB＝45°，AB＝BC，AC与⊙O相交于点D．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若，求劣弧BD的长．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）如图，四边形EFGH的顶点分别在矩形ABCD的四条边上，已知AB＝8，BC＝6，AE＝BF＝CG＝DH＝x．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）若四边形EFGH面积为24时，求x的值；（3）当x取何值时，四边形EFGH面积最小？21．（9分）如图，已知直角三角形ABC与x轴正半轴交于点D，与y轴负半轴交于点E，∠ABC＝90°，点和点C（m，8）都在双曲线的图象上．（1）填空：k＝；（2）求点C的坐标；（3）求点D到直线AC的距离．22．（9分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠BAC＝40°，AB＝AC，AD＝AE，△ADE绕点A逆时针旋转α（40°＜α＜140°）后得到△AD'E'．BD'，CE'所在直线相交于点F，连接AF．（1）求证：BD'＝CE'；（2）在上述旋转过程中，∠BFC的度数是否发生变化？若不变，求出∠BFC的度数；若发生变化，请说明理由；（3）求证：FA平分∠BFE'．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）23．（12分）如图，点E是△ABC的内心，∠BAC＝60°，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE．（1）填空：∠BEC＝度；（2）求证：BD＝DE；（3）延长CE，BE分别交AB，AC于M，N．证明：BC＝BM+CN．24．（12分）如图1，抛物线L：与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知OA＝1．（1）求m的值；（2）点D是直线BC下方抛物线L上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；（3）如图2，在（2）条件下，将抛物线L向右平移1个单位长度后得到抛物线M，设抛物线M与抛物线L的交点为E，AF⊥BC，垂足为F．证明△DEF是直角三角形．参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一个是正确的。1．【解答】解：（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，所以x1＝﹣4，x2＝3．故选：D．2．【解答】解：A、等边三角形不是中心对称图形，故本选项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选项正确；C、等腰梯形不是中心对称图形，故本选项错误；D、正五边形不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．3．【解答】解：A，水中捞月是不可能事件；B、守株待兔是随机事件；C、水涨船高是必然事件；D、刻舟求剑是不可能事件；故选：C．4．【解答】解：由所给函数图象可知，因为抛物线开口向下，所以a＜0．因为抛物线的对称轴在y轴的右侧，所以，则b＞0．因为抛物线与y轴的交点在正半轴，所以c＞0．所以bc＞0，故A选项中的结论正确．ac＜0，故B选项中的结论错误．ab＜0，故C选项中的结论错误．abc＜0，故D选项中的结论错误．故选：A．5．【解答】解：∵点A在图象上，AB⊥x轴于点B，且△ABO的面积为4，∴丨k丨＝2S△ABO＝8，∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝8，故选：C．6．【解答】解：∠A＝∠BOD＝15°，∵OD∥AB，∴∠D＝∠A＝15°，∴∠BCD＝∠BOD+∠D＝45°，故选：C．7．【解答】解：根据题意得：25（1﹣x）2＝20.25．故选：A．8．【解答】解：∵OD⊥AB，AB＝8，∴AC＝AB＝×8＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，连接BE，如图，∵OD＝5，CD＝2，∴OC＝3，∵AE是直径，∴∠ABE＝90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE＝2OC＝6，在Rt△CBE中，CE＝＝＝2．故选：B．9．【解答】解：如图，连接CD，∵△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝4，D是AB中点，∴CD＝AD＝BD，∠B＝∠DCF＝45°，BC＝AB＝×4＝2，∠CDB＝90°，由旋转的性质得：∠EDF＝90°，∴∠CDF+∠CDE＝90°，∵∠BDE+∠CDE＝∠CDB＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF，∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，故选：D．10．【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x|m|+3x+1＝0是一元二次方程，∴m+2≠0且|m|＝2，解得m＝2，所以①错误；∵二次函数y＝x2+2x+m的顶点在x轴上，则m＝1，∴Δ＝22﹣4m＝0，解得m＝1，所以②正确；∵k1≠k2，∴＝无解，∴如果k1≠k2，那么反比例函数与的图象肯定没有交点，所以③正确；根号题意，＝0.3，∴y＝x，当盒中的黑棋增加一倍，白棋数量不变，则从盒中随机取一枚棋子取到黑棋的概率＝＝≠0.6，所以④错误．故选：B．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）11．【解答】解：∵10件外观相同的产品中有2件不合格，∴从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率是＝．故答案为：．12．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称，∵点A（﹣2，3），∴点C的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．13．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣mx+m的图象的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得m＝6．故答案为：6．14．【解答】解：∵点（3，﹣3）和（a，a+6）都在反比例函数的图象上，∴3×（﹣3）＝a（a+6），∴a2+6a+9＝0，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．15．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+3m的图象与x轴交于点A，B，∴Δ＝b2﹣4ac＝4m2﹣12m＞0．设A（x1，0），B（x2，0），∴x1+x2＝2m，x1•x2＝3m，∴|x1﹣x2|＝＝4．∴＝4．解得m1＝4，m2＝﹣1．综上所述，m的值为4或﹣1．故答案为：4或﹣1．16．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S阴影部分＝S直径AC半圆+S直径BC半圆+S△ABC﹣S直径AB半圆＝π•（）2+π•（）2+S△ABC﹣π•（）2＝S△ABC＝AB•CD＝2，∵AB＝4，∴CD＝，∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCD，又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝，即CD2＝AD•BD，∵CD＝，AD+BD＝AB＝4，设AD＝x，则BD＝4﹣x，∴（）2＝x（4﹣x），解得x＝1或x＝3，∵AD＜BD，∴AD＝1，∴AC＝＝2．故答案为：2．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）17．【解答】解：（1）∵x2+10x+16＝0，∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，解得：x1＝2，x2＝8；（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中学生小明与小亮选择同一项活动的结果有4种，∴学生小明与小亮选择同一项活动的概率为＝．18．【解答】解：（1）由题意可得：1200×0.5＝Fl，∴函数的解析式为F＝．故答案为：F＝；（2）由（1）知函数解析式为F＝；，当F＝300时，l＝＝2，∴想使动力F不超过300N，则动力臂l的长至少需要2m．19．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝45°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，即AB⊥BC，∵OB是半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∵AB＝BC，∴AD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥BC，∴∠BOD＝180°﹣90°＝90°，在Rt△AOD中，AD＝AC＝，∠ADO＝∠OAD＝45°，∴OA＝OD＝AD＝1，∴劣弧BD的长为＝．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AB﹣AE＝CD﹣CG，AD﹣DH＝BC﹣BF，即BE＝DG，AH＝CF，∵∠A＝∠C，AE＝CG，AH＝CF，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，∵∠D＝∠B，DG＝BF，DH＝BF，∴△DGH≌△BEF（SAS），∴GH＝EF，∵GH＝EF，EH＝GF，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）∵AB＝CD＝8，AD＝BC＝6，AE＝BF＝CG＝DH＝x，∴BE＝DG＝8﹣x，AH＝CF＝6﹣x，∴S△CGF＝＝＝，S△BEF＝＝＝，∴S△CGF+S△AEH+S△BEF+S△DGH＝＝﹣2x2+14x，∵四边形EFGH面积为24，∴S△CGF+S△AEH+S△BEF+S△DGH＝S矩形ABCD﹣S四边形EFGH＝24，∴﹣2x2+14x＝24，解得x1＝3或x2＝4，∴若四边形EFGH面积为24时，x的值为3或4；（3）由（2）得S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣（S△CGF+S△AEH+S△BEF+S△DGH），∴S四边形EFGH＝48﹣（﹣2x2+14x），整理得S四边形EFGH＝2x2﹣14x+48（0＜x＜6），∵a＝2＞0，∴当x＝＝时，S四边形EFGH取得最小值．21．【解答】解：（1）∵点在双曲线的图象上，∴，故答案为：，（2）由（1）可知：双曲线的表达式为：，∵点C（m，8）在双曲线的图象上，∴，解得：，∴点C的坐标为；（3）过点D作DH⊥AC于H，如图所示：由（2）可知点C为，又∵∠ABC＝90°，∴OD＝BE＝，CD＝8，AB∥x轴，∵点，∴AE＝，BD＝4，∴AB＝AE+BE＝＝5，BC＝CD+BD＝8+4＝12，在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝12，由勾股定理得：AC＝＝13，∵DH⊥AC，∴∠CHD＝∠ABC＝90°，又∵∠DCH＝∠ACB，∴△DHC∽△ABC，∴DH：AB＝CD：AC，即．22．【解答】（1）证明：∵点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠BAC＝40°，∴∠DAE＝∠BAC＝40°，由旋转得∠D′AE′＝∠DAE＝40°，∴∠BAD′+∠CAE′＝40°+∠CAD′，在△BAD′和△CAE′，，∴△BAD′≌△CAE′（SAS），∴BD′＝CE′．（2）解：∠BFC的度数不发生变化，设BD′交AC与点L，∵△BAD′≌△CAE′，∴∠ABD′＝∠ACE′，∴∠BFC＝∠ALF﹣∠ACE′＝∠ALF﹣∠ABD′＝∠BAC＝40°，∴∠BFC的度数不发生变化，∠BFC的度数是40°．（3）证明：作AG⊥BD′于点G，AH⊥CE′于点H，∵△BAD′≌△CAE′，∴S△BAD′＝S△CAE′，∴BD′•AG＝CE′•AH，∵BD′＝CE′，∴AG＝AH，∴点A在∠BFE′的平分线上，∴FA平分∠BFE'．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题12分，共24分）23．【解答】（1）解：∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵E为△ABC的内心，∴BE和CE分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBC＝，∴∠EBC+∠ECB＝，∴∠BEC＝120°；故答案为：120°；（2）证明：∵I是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE，∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAD，∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝∠BAD+∠ABE，