青海省西宁市大通县2024届高三上学期期中数学试题（文）（解析版）

PAGEPAGE1青海省西宁市大通县2024届高三上学期期中数学试题（文）一、选择题1.已知全集，若集合，则（）A.或 B.或C. D.〖答案〗A〖解析〗∵集合，∴或，故选．2.若复数（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以复数z的虚部为.故选：C.3.五一国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天，乙同学在前两天中随机选一天，且两名同学选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲同学在三天中随机选一天共有3种方法，乙同学在前两天中随机选一天共有2种方法，所以一共有种方法，他们在同一天去共有2种，所以他们在同一天去的概率为.故选：B.4.记公差为2的等差数列的前n项和为，若，则（）A.4 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗依题意，，，所以，即，解得，则.故选：B.5.已知平面向量，，且，则（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由平面向量，可得，由，可得，即，则，所以.故选：C．6.设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故选：C.7.已知变量x，y满足，则的最大值是（）A.4 B.6 C.8 D.12〖答案〗A〖解析〗作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影四边形（含边界），，目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最小，最大，即，所以的最大值为4.故选：A8.已知函数，则关于的不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，由，即恒过且，所以上，上，而在上递增，且上，上，所以的解集为.故选：C.9.设双曲线，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线上的一动点，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.5〖答案〗C〖解析〗由题意，设，，则，所以，因为，，所以两式相减可得，即，因为，所以，则.故选：C10.将函数的图象向左平移个单位后，所得函数图象关于原点对称，则（）A.－3 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗将函数的图象向左平移个单位可得，，∴，又，∴，，∴.故选：D.11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，则的中点到的准线的距离的最小值为（）A.2 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗如图，分别过点，，作准线的垂线，垂足分别为，，，则设直线的方程为，，，，.联立，整理得，则，..故选：B.12.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数有三个零点转化为与有三个交点.,当在单调递增，单调递减，时取到最大值1.作出图像如下图，由图像可知故选：B.二、填空题13.已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为______________．〖答案〗〖解析〗依题意，设，由，得，即，整得得，所以点的轨迹方程为.故〖答案〗为：14.已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为______．〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则侧面积为，底面圆的周长为，解得，，所以，设圆锥外接球的半径为，画出轴截面图形，如图，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为.故〖答案〗：.15.在中内角A，B，C所对的边分别为a，b、c，，，则面积的最大值为______．〖答案〗〖解析〗因为，所以由正弦定理得，因为，所以，所以，则，因为，，所以，又，所以，因为，，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以.故〖答案〗为：.16.已知函数（且a≠1）在上有一个极值点，则实数a的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗函数（且）在有一个极值点，则在有一个变号零点，当时，在（0，+∞）上单调递增，所以，不符合题意，舍去.当时，令，则，解得，①当，即时，在上单调递增，所以舍去；②当时，即时，在单调递减，在单调递增，因为，所以，又因为，所以在内存在唯一零点，即在有一个零点；综上可得，实数a的取值范围为.故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．解：（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，an＝Sn﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，∵当n＝1时，也满足上式，∴an＝2n，n∈N*．（2）由（1），可得bn＝＝＝＝则Tn＝b1+b2+•••+bn＝＝＝＝18.2023上海蒸蒸日上迎新跑于2023年2月19日举办，该赛事设有21.6公里竞速跑、5.4公里欢乐跑两个项目．某马拉松兴趣小组为庆祝该赛事，举行一场小组内有关于马拉松知识的有奖比赛，一共有25人报名（包括20位新成员和5位老成员），其中20位新成员的得分情况如下表所示（满分30分）：得分人数234641得分在20分以上（含20分）的成员获得奖品一份．（1）请根据上述表格中的统计数据，将下面的列联表补充完全，并通过计算判断在20位新成员中，是否有的把握认为“获奖”与性别有关？没获奖获奖合计男4女78合计（2）若5名老成员的性别相同并全部获奖，且进行计算发现在所有参赛人员中，有的把握认为“获奖”与性别有关．请判断这5名老成员的性别？附：参考公式：．临界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）依题意可得列联表如下：没获奖获奖合计男8412女718合计15520由列联表中数据，计算得到，所以没有的把握认为“获奖”与性别有关．（2）当这名老成员中都为女成员时，计算得，不合题意；当名老成员都为男成员时，计算得，符合题意．故这名老成员全是男成员．19.如图，四边形为正方形，E，F分别为和的中点，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且平面.（1）证明：；（2）若，求三棱锥的体积.（1）证明：因为四边形为正方形，E，F分别为和的中点，所以，又平面平面，且交线为，所以平面，即.又因为，所以.又，，所以平面，又在平面内，故.（2）解：过P作，垂足为Q，则平面.因为，所以，所以，故.20.已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形AMBN面积的最大值．解：（1）由题意可得解得,故椭圆的方程为.（2）当直线斜率不存在时,的坐标分别为,四边形面积为当直线斜率存在时,设其方程为点,点到直线的距离分别为则四边形面积为,得,则所以，因为所以中点,当时,直线方程为,解得所以.当时,四边形面积的最大值综上四边形面积的最大值为.21.已知函数．（1），求函数的最大值；（2）若恒成立，求a的取值集合；解：（1）当时，的定义域为，，令，得，令，得，因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以；（2）令，，若，而，与恒成立矛盾，所以必有，方程中，，方程两根有，所以方程必有一正根，记作，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因此，则有，代入方程，解得，所以a的取值集合为.（二）选考题[选修：坐标系与参数方程]22.C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ<2π）.（1）解：曲线C1的参数方程为，（α为参数），转换为直角坐标方程为（x-2）2+（y-4）2=4，转换为极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-8ρsinθ+16=0；（2）解：曲线C2的极坐标方程为