借用定积分证明不等式获奖科研报告论文

借用定积分证明不等式获奖科研报告论文江苏省泰兴市第一高级中学(225400)

高中阶段应用定积分主要解决面积问题.其实定积分还有其它解题功能，今举例说明定积分在证明不等式中的应用，供参考.

一、利用保号性

我们知道，定义在［a,b］上的函数h(x)，若恒有h′(x)>0,则h(x)为增函数，h(b)>h(a),即∫琤璦h′(x)dx>0.设函数f(x)、g(x)在［a,b］上均可导，h(x)=f(x)-g(x)，则由f′(x)>g′(x)，得h′(x)>0,于是∫琤璦h′(x)dx>0，即∫琤璦(f′(x)-g′(x))dx>0,所以∫琤璦f′(x)dx>∫琤璦g′(x)dx.因此，关于f(x)琤璦>g(x)琤璦的证明，可由f′(x)>g′(x)荨要琤璦f′(x)dx>∫琤璦g′(x)dx证得.

例1已知a>b>0，求证：a+b2>a-b玪n玜-玪n玝>ab.

分析：由a>b>0得ab>1.欲证左式，即证12玪n玜b>ab-1ab+1，即证12玪n玿゛b1>x-1x+1琣b1①.又(12玪n玿)′=12x,(x-1x+1)′=2(x+1)2,而x>0时，由基本不等式得12x≥2(x+1)2，(仅在x=1时取等号)，于是∫琣b112xdx>∫琣b12(x+1)2dx,即①式成立，故左式得证.

欲证右式，即证ab-1ab>玪n玜b，即证(x-1x)琣b1>2玪n玿琣b1②.又(x-1x)′=1+1x2≥2x=(2玪n玿)′(仅在x=1时取等号)，所以∫琣b1(1+1x2)dx>∫琣b12xdx,即②式成立，于是右式得证.

例2已知n∈N,n≥2，求证：12+13+…+1n<玪n玭.

分析：本题先证：1k+1<玪n(k+1)-玪n玨(k∈N+).当x∈［k,k+1)(k∈N+)时，设函数f(x)=1k+1,g(x)=1x，则f(x)二、放缩积分和

设函数g(x)在(0，+∞)恒正递减，如图1，对于i∈N+，直线x=i和x=i+1与曲线y=g(x)以及x轴围成曲边梯形ABED，补成矩形ABCD，则S〢BCD>S〢BED.即g(i)>∫﹊+1璱g(x)dx.令i=1,2,3,…，n，各式相加得∑ni=1g(i)>∑ni=1∫﹊+1璱g(x)dx,即∑ni=1g(i)>∫﹏+1璱g(x)dx.设f′(x)=g(x)，则f′(x)在(0，+∞)恒正且递减荨苙i=1f′(i)>f(n+1)-f(1)③

当然，若f′(x)在(0，+∞)恒正递增(如图2)，则有∑ni=1f′(i)因此，在结构上符合③、④的不等式可用放缩积分和的方法加以证明.

例3已知n∈N,n≥2，求证：1+12+13+…+1n>2(n+1-1).

分析：由不等式的特点可设f(x)=2x(x>0),则ゝ′(x)=1x在(0，+∞)上恒正且递减，由③即证得.

例4已知n∈N,n≥2，求证：1n+1+2n+1+3n+1+…+nn+1<2n+23.

分析：即证1+2+3+…+n<23(n+1)32，为此构造函数f(x)=23x32(x>0)，则ゝ′(x)=x在(0，+∞)递增，由④得1+2+3+…+n<23(n+1)32-23<23(n+1)32，故原不等式成立.

文［1］给出了例3的一般情形，但证明相当繁琐，其实利用定积分的和式进行放缩则较为简单.

例5已知m、n∈N,m≥2,n≥2，求证：nn-1(m+1)琻-1n-1<∑mi=11ni分析：设f(x)=nn-1x琻-1n(x>0)，则f′(x)=1nx在(0，+∞)上递减，则由③式得

∑mi=11ni>nn-1(m+1)琻-1n-1,左式成立.

由于函数f′(x)=1nx在(0，+∞)递减，则由图1可知，S〢BCD=f′(i)<∫琲﹊-1猣′(x)dx，(i=2,3,4,…，m).又f′(1)=1，各式相加得1+∑mi=11ni<1+∑mi=1∫琲﹊-1猣′(x)dx，即∑mi=11ni<1+