新教材高中人教A版数学必修第2册教学用书6-4-3第3课时余弦定理正弦定理应用举例

第3课时余弦定理、正弦定理应用举例素养目标·定方向素养目标学法指导1．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有关的实际应用问题.(数学运算)2．能根据题意画出几何图形.(直观想象)3．掌握运用正、余弦定理解决实际问题的方法.(数学建模)4．能将实际问题转化为解三角形问题.(数学抽象)通过正、余弦定理在实际中的应用感受正、余弦定理在解决三角形边角关系(长度与角度)中的工具性作用.必备知识·探新知知识点1基线的概念与选择原则(1)基线的定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.(2)选择基线的原则在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线__越长__，测量的精确度越高.知识点2相关术语(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线__上方__时叫仰角，目标视线在水平视线__下方__时叫俯角，如图所示.(2)方位角指从__正北方向__顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).(3)方位角的其他表示——方向角①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).关键能力·攻重难题型探究题型一测量距离问题典例1(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是__60__m(2)为测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B之间的距离为__eq\r(5)km__.[解析](1)tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60．(2)在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(eq\r(3))2＋(eq\f(\r(6)＋\r(2),2))2－2eq\r(3)、eq\f(\r(6)＋\r(2),2)、cos75°＝5．∴AB＝eq\r(5)(km).故A、B之间的距离为eq\r(5)km.[归纳提升]测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB【对点练习】❶(1)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为__20(2)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq\f(\r(3)a,2)的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为(A)A．eq\f(\r(6),4)a B．eq\f(3＋\r(3),4)aC．eq\f(\r(3),2)a D．eq\r(6)a[解析](1)∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(ACsinC,sinB)＝eq\f(60×sin45°,sin60°)＝20eq\r(6)m.(2)在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，则BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)a，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD为等边三角形.因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝eq\f(\r(6),4)a.题型二测量高度问题典例2如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.[解析]在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β).由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD).∴BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sinα＋β).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·sinβtanθ,sinα＋β).[归纳提升]测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.【对点练习】❷如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高[解析]由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m).即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.题型三测量角度问题典例3某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我国海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10eq\r(3)海里[解析]设所需时间为t小时，则AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根据余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去).所以护航舰需要1小时靠近货船.此时AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2)，所以∠CAB＝30°，所以护航舰航行的方位角为75°.【对点练习】❸甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时eq\r(3)a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？[解析]如图所示.设经过t小时两船在C处相遇，则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝eq\r(3)at(海里)，B＝90°＋30°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at×sin120°,\r(3)at)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(1,2)，∵0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.易错警示典例4某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31km，正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时CD间的距离为21km，问[错解]本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达A城，即求AD的长，在△ACD中，已知CD＝21km，∠CAD＝60°，如图，设∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理，得cosβ＝eq\f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，∴sinβ＝eq\f(4\r(3),7).∴在△ACD中，eq\f(AC,sin180°－β)＝eq\f(21,sin60°)＝eq\f(21,\f(\r(3),2))＝14eq\r(3)，∴AC＝14eq\r(3)sin(180°－β)＝14eq\r(3)sinβ＝24，∴CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos60°，即212＝242＋AD2－2×24×eq\f(1,2)·AD，整理，得AD2－24AD＋135＝0，解得AD＝15或AD＝9，答：这个人再走15km或9km[错因分析]本题在解△ACD时，由于先求AC的长，再用余弦定理求AD，产生了增解.[正解]如图，令∠ACD＝α，∠CDB＝β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ＝eq\f(BD2＋CD2－CB2,2BD·CD)＝eq\f(202＋212－312,2×20×21)＝－eq\f(1,7)，∴sinβ＝eq\f(4\r(3),7).又sinα＝sin(β－60°)＝sinβcos60°－sin60°cosβ＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,7)＝eq\f(5\r(3),14)，在△ACD中，eq\f(21,sin60°)＝eq\f(AD,sinα)，∴AD＝eq\f(21×sinα,sin60°)＝15(km).答：这个人再走15km就可以到达A【对点练习】❹海事救护船A在基地的北偏东60°，与基地相距100eq\r(3)nmile，