山西省部分学校2024届高三下学期开学质量检测数学试题

2023~2024学年第二学期高三开学质量检测数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数，则（）A． B． C． D．3．“”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．“畅通微循环，未来生活更舒适”．我国开展一刻钟便民生活圈建设，推进生活服务业“规范化、连锁化、便利化、品牌化、特色化、智能化”发展，以提质便民为核心，高质量建设国际消费中心城市，便民商业体系向高品质发展．某调研机构成立5个调研小组，就4个社区的便民生活圈的建设情况进行调研，每个调研小组选择其中1个社区，要求调研活动覆盖被调研的社区，共有派出方案种数为（）A．120 B．240 C．360 D．4805．已知等比数列的前项和为，若，则（）A．8 B．9 C．16 D．176．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．7．已知圆锥侧面展开图是圆心角为直角，半径为2的扇形，则此圆锥内切球的半径为（）A． B． C． D．8．已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，是上一动点，若点到焦点的最大距离为，则的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．数据7，8，9，11，10，14，18的平均数为11B．数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为16C．随机变量，则标准差为2D．设随机事件和，已知，，，则10．正方体的棱长为2，是正方形的中心，为线段上一动点，则（）A．B．直线与直线所成角的余弦值为C．不存在点使得平面D．三棱锥的体积为定值11．已知为定义在上的偶函数且不是常函数，，，若是奇函数，则（）A．的图象关于对称B．C．是奇函数D．与关于原点对称三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若函数的部分图象如图，则的图象的一个对称中心为________．13．已知，，，则的最小值是________．14．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于，两点），则直线与的斜率之积________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）记的内角，，所对的边分别为，，，，的面积为，且．（1）证明：；（2）求的外接圆的半径．16．（本小题满分15分）如图，已知四边形为菱形，平面，平面，．（1）证明：平面平面；（2）若平面平面，求的长．17．（本小题满分15分）2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，．（1）根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否认为该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关?了解不了解合计男生女生合计（2）现从该校了解亚运会项目的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，再从这9名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为，求的分布列和数学期望．附：，18．（本小题满分17分）如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．（1）若，求切线的方程；（2）若，求证：直线恒过定点．19．（本小题满分17分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，对任意，恒成立，求实数的取值范围．

2023~2024学年第二学期高三开学质量检测·数学参考答案、提示及评分细则1．C由可得所以．故选C．2．C因为，所以，．故选C．3．B若两直线平行，则有且，应选B．4．B将这5个调研小组分成2，1，1，1这4个小组，然后派往4个社区，所以派出方案种数为．故选B．5．A设，则，因为为等比数列，所以，，，仍成等比数列．因为，所以所以故．故选A．6．D因为，所以得，所以．故选D．7．D侧面展开图扇形的弧长为，圆锥底边的半径满足，解得，所以该圆锥轴截面是一个两腰长为2，底边长为1的等腰三角形，底边上的高为，设内切球半径为，则，．故选D．8．B由题意知，，所以，，所以，故的方程为，设，又，，故，，所以．故选B．9．ACD对于A，，即平均数为11，A正确；对于B，该组数据共10个，则，第80百分位数为，B错误；对于C，，方差为4，则标准差为2，C正确；对于D，，D正确．故选ACD．10．ABD对于A项，在中，，是的中点，所以，故A正确；对于B项，设是的中点，连接，则，所以是异面直线与直线所成角（或其补角），在中，，，所以，故B正确；对于C项，根据正方体的性质可知，，由于平面，平面，所以平面，同理可证得平面，由于，，平面，所以平面平面，当时，平面，所以平面，即存在点使得平面，故C错误；对于D项，，故D正确．故选ABD．11．ABC由题意，得，即，整理，得，所以的图象关于对称，故A正确；又为偶函数，则，所以，，所以，故B正确；，故C正确；因为，所以与关于轴对称，不关于原点对称，故D错误．故选ABC．12．（答案不唯一）由题图可知，因为当时，，所以．因为，所以，所以．由题图可知，所以，所以．由题图可知，当时，取得最大值，所以，，解得，．又，所以，所以．令，，解得，，所以图象的对称中心为，，当时，图象的一个对称中心为．13．14由题意知，，，则当且仅当，时等号成立，所以的最小值是14．14．2依题意，设双曲线的半焦距为，则，，因为是的中点，所以，故由得，因为，，所以．在中，在中，所以，则，，所以．15．（1）证明：因为所以 2分所以， 4分整理得，所以． 6分（2）解：由（1）知，又，所以，， 8分由余弦定理，得，所以， 10分由正弦定理，得，所以 13分16．（1）证明：因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以平面 2分因为四边形为菱形，所以，又平面，平面，所以平面 4分因为，，平面，所以平面平面． 6分（2）解：设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，因为，所以，设，则，，，，， 8分所以，，设平面的一个法向量为，则令，得； 10分，，设平面的一个法向量为，则令，得 13分因为平面平面，所以，解得，故的长为1． 15分17．解：（1）因为，，所以对杭州亚运会项目了解的女生为，了解亚运会项目的学生为， 2分结合男生和女生各50名，填写列联表为：了解不了解合计男生153550女生302050合计4555100 3分零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据依据的独立性检验，可以推断成立，即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关 7分（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取9名学生，其中男生人数为（人）；女生人数为（人） 8分由题意可得，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．，，随机变量的分布列如下：0123 13分则 15分18．（1）解：显然切线的斜率存在且不为0，设切线：，代入，得， 2分由，解得 4分所以直线的方程为，即． 6分（2）证明：设，，切线：，代入，得 8分由，解得． 9分所以直线的方程为，即 10分同理直线的方程为 11分因为在直线和上，所以可得点，在直线上，所以直线的方程为 14分因为，所以，则直线的方程为，由可得故直线过定点 17分19．解：（1）由题意知的定义域为，， 1分若，在上恒成立，所以在上单调递增； 2分若，令，得，令，得， 4分所以函数