第一章高等数学（四）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第2章函数、极限、延续第一节函数1．函数的概念（1）定义：设是两个变量，是给定的实数集，倘若有一个对应法则，使得对于每一个实数，变量都有惟一决定的数值与之对应，则称变量是变量的函数，记为其中称为自变量，称为函数。集合称为该函数的定义域。当时，对应的取值称为函数值，函数值的全体构成的集合称为该函数的值域。（2）函数的定义域是使得该函数存心义的实数全体，倘若函数有实际意义，定义域由实际意义决定。（3）一元函数还可表为隐函数，和参数式。2.函数基本性质（1）单调性：倘若函数对于区间内的随意两点，都有或则称函数在区间内单调增强（或单调减少）。（2）有界性：倘若函数对于区间内的一切，都有其中是一个正常数，则称函数在区间内有界。在囫囵定义域内有界的函数称为有界函数。（3）奇偶性：倘若函数对于区间内的一切，都有则称为偶函数；对于区间内的一切，都有则称为奇函数。注：偶函数的图形关于轴对称，奇函数的图形关于原点对称。（4）周期性：倘若函数对于定义域内的一切，都有则称函数为周期函数，为函数的周期，实际中常指最小正周期。【例题2-1】设，则：(A)为偶函数，值域为(B)为奇函数，值域为(C)为奇函数，值域为(D)为奇函数，值域为解：，为奇函数。又的定义域为，在定义域内，，故是单增调的，又,，所以值域为，应选(C)【例题2-2】函数是定义域内的：(A)有界函数(B)无界函数(C)单调函数(D)周期函数解：是有界函数，与复合后仍是有界的。其余选项都不对，应选A。3.基本初等函数（1）基本初等函数：幂函数（为实数）指数函数（）对数函数（），（）三角函数反三角函数（2）常用结论对数运算法则：三角函数公式：4.初等函数（1）函数的复合：设是的函数，而又是的函数，倘若对于的定义域中的某些值所对应的值，函数有定义，则通过的联系也是的函数，称为由及复合而成的函数，记为，其中称为中间变量。例如：是由这三个容易函数复合而成。初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算、有限次复合步骤所构成，且可用一个式子表示的函数称为初等函数。第二节：极限1.数列的极限（1）定义：对于数列，倘若当无限增大时，通项无限趋近于某个决定的常数，则称常数为数列的极限。记为（2）结论：1）单调有界数列必有极限。2）收敛数列的任一子列都是收敛的。2.函数极限概念定义1：倘若当无限增大时，函数无限趋近于某个决定的常数，则称常数为函数当的极限，记为同理可定义当的极限，且有且定义2：设函数在函数无限趋近于某个决定的常数，则称常数为函数当的极限，记为同理可定义当的极限，称为在该点的左、右极限，且有【例题2-3】函数在时,的极限是:(A)2(B)3(C)0(D)不存在解：由,，在左右极限存在但不相等，故时,的极限不存在,应选(D).3.无穷小和无穷大（1)定义:无穷小：若，则称为对应极限过程下的无穷小量无穷大：若，则称为对应极限过程下的无穷大量（2）无穷大与无穷小互为倒数关系。（3）无穷小的性质1）有限个无穷小的和（积）仍为无穷小；2）有界量与无穷小的乘积仍是无穷小。（研究极限）（4）无穷小比较倘若当时，和都是无穷小，则若，是的高阶无穷小；若(为常数)，和是同阶无穷小；若，和是等价无穷小，记为。（5）等价无穷小代换1）倘若当时，则2）当时，常用的等价无穷小有，【例题2-4】设，则当时，下列结论中准确的是：（A）与是等价无穷小（B）是的高阶无穷小（C）是低阶无穷小（D）与是同阶无穷小但不是等价无穷小解：因，故与是同阶无穷小但不是等价无穷小，应选(D).4．求极限的几个重要结论（1）两个重要极限，（）【例题2-5】下列极限计算中，错误的是：（A）（B）（C）（D）解:因为，而是有界量，按照无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量，知，故错误，应选(B)。因为利，知（A)选项是准确的。又，知（C)和(D)选项都是准确的。（2）有理式的极限设，，1）当时，倘若，则若且，则；若且，则为未定式，可用罗比达法则或通过去零因子来求极限。2）当时，有以下结论【例题2-6】若，则与的值是：(A)为随意实数(B)；(C)；(D)解：由，分子的幂次必须高于分母的幂次，故有为随意实数，应选(A)。（3）罗必达法则当时，；1）在点某去心邻域内（或当时）及都存在且；2）存在（或为无穷大），则【例题2-7】求极限时，下列各种解法中准确的是：（A）用罗比达法则后，求得极限为0（B）因为不存在，所以上述极限不存在（C）原式=（D）因为不能用罗比达法则，故极限不存在解:因为（无穷小与有界量的乘积），而，，故应选（C）。因为，当时极限不存在，故不能用罗比达法则，但求导后极限不存在不能得出原极限不存在，所以选项（A）和（D）都不对；又，（B）选项错。【例题2-8】下列极限式中，能够使用洛必达法则求极限的是