2024年高中学业水平合格性考试数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页20224普通高中学业水平考试模拟试卷数学（时间：120分钟；分值：100分）第Ⅰ卷（选择题，共48分）一、选择题（本大题共16题，每小题3分，共计48分．每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，则的取值范围为（

）A． B． C． D．3．若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则、、的大小关系为（

）A． B． C． D．5．函数的定义域（

）A． B． C． D．6．（

）A． B． C． D．7．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级可定义为．2021年6月22日下午宁夏A市发生里氏3.1级地震，2020年9月2日宁夏B市发生里氏4.3级地震，则B市地震所散发出来的能量是A市地震所散发出来的能量的（

）倍．A．2 B．10 C．100 D．10008．如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为（

）A． B．C． D．9．若，则等于（

）.A． B． C． D．10．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是()A． B． C．- D．-11．已知向量满足，，则A．4 B．3 C．2 D．012．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．13．如图是某公司2020年1月到10月的销售额(单位：万元)的折线图，销售额在万元以下为亏损，超过万元为盈利，则下列说法错误的是（

）A．这个月中销售额最低的是1月份B．从1月到6月销售额逐渐增加C．这个月中有个月是亏损的D．这个月销售额的中位数是万元14．将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为和，则的概率是（

）A． B． C． D．15．已知是自然对数的底数，设，则的大小关系是（

）A． B． C． D．16．已知是实数，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分）17．已知幂函数的图象经过点，则.18．已知，则．19．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是.20．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为.三、解答题（本大题共6小题，每小题6分，共计36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．已知集合，（1）当时，求;（2）若，求的取值范围.22．已知集合，．（1）当时，求；（2）若是的充分条件，求实数的取值范围．23．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.24．如图：在三棱锥中，，是直角三角形，，，点分别为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小；（3）求二面角的正切值.25．某单位从一所学校招收某类特殊人才，对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人，由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为．（1）求、的值；（2）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．26．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【分析】先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.【详解】因为集合，所以，故选：D.2．D【解析】直接利用基本不等式求解即可，解答过程注意等号成立的条件.【详解】∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，∴的取值范围为，故选：D.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.3．C【解析】用分离参数法转化为求函数的最值．【详解】因为关于的不等式在区间上有解，所以在上有解，易知在上是减函数，所以时，，所以．故选：C4．B【分析】分析可得，利用函数在上的单调性可得出、、的大小关系.【详解】因为函数的图象关于对称，则，因为函数在上单调递增，且，所以，，即.故选：B.5．C【分析】解不等式组得出定义域.【详解】，解得即函数的定义域故选：C6．C【分析】利用对数的运算法则求解.【详解】.故选：C.7．C【分析】确定，，相除得到答案.【详解】，故；，故；.故选：C.8．A【分析】利用余弦函数的对称中心及给定条件列式，再经推理计算即可得解.【详解】因函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点对称，则有，于是得，显然对于是递增的，而时，，，当时，，，所以|φ|的最小值为.故选：A9．A【解析】根据，利用诱导公式得到，再由，利用二倍角公式求解.【详解】因为，所以，所以，故选：A10．B【分析】由于是晚一个小时，所以是逆时针方向旋转，时针旋转过程中形成的角的弧度数为．【详解】由题意小明需要把表调慢一个小时，所以时针逆时针旋转弧度.故选B.【点睛】本题考查了弧度数的方向与计算，属于基础题．11．B【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为所以选B.点睛：向量加减乘：12．A【分析】根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.【详解】因为平面BCD，所以，，∴，在中，，∴，∴.如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为，故选：A.13．B【解析】根据折线图观察销售额最低的月份判断；观察从1月到6月销售额的变化情况判断；比较各月份销售额是否低于万元判断C；求出这个月的中位数判断.【详解】根据折线图知，这个月中销售额最低的是1月份，为万元，所以正确；从1月到6月销售额是先增加后减少，再增加，所以错误；1月，3月和4月的销售额低于万元，其它月份都高于万元，所以正确；这个月的销售额从小到大排列为万元，其中位数是万元，所以正确.故选：B14．C【分析】以作为一个基本事件，可知基本事件总数为，列举出满足的所有基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】以作为一个基本事件，可知基本事件总数为，由可得，即，满足不等式所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，因此，所求事件的概率为.故选：C.【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.15．D【分析】利用分段的方法，得到，由此确定正确选项.【详解】因为，所以.故选:D16．A【分析】由得或，再利用充分不必要条件定义判断得解.【详解】解：由得得或，因为当时，或成立，当或时，不一定成立，所以“”是“”的的充分不必要条件，故选：A．17．【解析】根据幂函数的定义确定的值，再由函数图象经过点，代入可得，进而可得所求.【详解】由函数为幂函数，可知，故，由函数图象经过点，所以，即，故，故答案为：.18．【解析】首先利用诱导公式对已知条件化简可得再利用化弦为切可得的值，再利用两角和的正切公式将展开即可求解.【详解】即，可得，解得，所以，故答案为：19．【详解】试题分析：正四棱柱的高是4，体积是16，则底面边长为2，底面正方形的对角线长度为，所以正四棱柱体对角线的长度为，四棱柱体对角线为外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为．考点：正四棱柱外接球表面积．20．【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案.【详解】复数与分别表示向量与，，所以表示向量的复数为.故答案为：.【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题.21．（1）（2）【解析】（1）代入，求出集合，可得；（2）分，讨论求解的取值范围.【详解】（1）∵，当时，，则,∴;（2）,当时，则，得;当时，则时，得或，解得，不满足要求，综上所述，.【点睛】本题考查集合的基本运算，注意不要遗漏时，的情况，是基础题.22．（1）；（2）【解析】（1）先求出集合A，B和，再利用交集运算即得结果；（2）先根据充分不必要条件得到集合A，B的包含关系，再列关系计算即可.【详解】解：（1）∵或，∴，当时，，因此，；（2）∵是的充分条件，∴，又，或∴，解得.因此，实数的取值范围是.【点睛】关键点点晴：是的充分条件即为.23．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（I）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（II）根据，可求的范围，结合函数图象的性质，可得参数的取值范围.【详解】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.24．（1）证明见解析；（2）；（3）.【详解】试题分析：以分别为轴建立空间直角坐标系，写出各点的坐标.（1）计算，可得两直线垂直；（2）计算直线的方向向量和平面的法向量，可求得线面角的余弦值，用反三角函数表示出这个角的大小；（3）分别求出平面，平面的法向量，利用法向量求两个平面所成角的余弦值，然后转化为正切值.试题解析：解法一（1）连接．在中，.，点为的中点，∴.又，即为在平面内的射影，∴.分别为的中点，∴，∴.（2），∴.连结交于点，，∴，∴为直线与平面所成的角，.，∴，又，∴.，∴，∴在中，，∴，即直线与平面所成角的大小为.（3）过点作于点，连结，，∴，即为在平面内的射影，，∴为二面角的平面角.∴中，，∴，即二面角的正切值为.解法二建立空间直角坐标系，如图则.（1）∴，∴，∴.（2）由已知可得，为平面的法向量，，∴，∴直线与面所成角的正弦值为.∴直线与面所成角的为.（3）设平面的一个法向量为，∴，∴，令，∴.由已知可得，向量为平面的一个法向量，∴，∴.∴二面角的正切值为.考点：空间线面关系的证明，求面面角.25．（1），；（2）.【详解】试题分析：（1）根据抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为，可得，从而可得，进而可得；（2）运动协调能力为优秀的学生从中任意抽取位，共有种，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的情况共有种，根据古典概型概率公式可得结果.试题解析：（1）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有人，设事件：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，则，解得，所以．（2）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为，，，，，．其中和为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．从中任意抽取2位，可表示为，，，，，，，，，，，，，，，共15种可能．设事件：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生，事件包括，，，，，，，，，共9种可能．所以．所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为．考点：古典概型概率公式的应用.26．(1);(2).【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C均为三角形内角解得.(2)根据三角形面积公式，又根据正弦定理和得到关于的函数，由于是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算的定义域，最后求解的值域.【详解】(1)[方法一]【最优解：利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得，此时就变为．由诱导公式得，所以．在中，由正弦定理知，此时就有，即，再由二倍角的正弦公式得，解得．[方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】由解法1得，两边平方得，即．又，即，所以，进一步整理得，解得，因此．[方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】根据题意，由正弦定理得，因为，故，消去得．，，因为故或者，而根据题意，故不成立，所以，又因为，代入得，所以.(2)[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得C的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为是锐角三角形，又，所以，则．因为，所以，则，从而，故面积的取值范围是．[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】由题设及（1）知的面积．因为为锐角三角形，且，所以即又由余弦定理得，所以即，所以，故面积的取值范围是．[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在中，过点A作，垂足为，作与交于点．