天津市五所重点校2023-2024学年高三上学期期末质量联合测试数学试题

2023~2024学年度第一学期期末重点校联考高三数学出题学校：杨村一中芦台一中一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．设全集，集合，则（）A．B．C．D．2．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某数学建模小组建立了茶水冷却时间和茶水温度的一组数据，经过分析，提出了四种回归模型，①②③④四种模型的残差平方和的值分别是．则拟合效果最好的模型是（）A．模型①B．模型②C．模型③D．模型④4．已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．5．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的。如图所示，已知正方体边长为6，则该石凳的体积为（）A．180B．36C．72D．2166．如图为函数的大致图象，其解析式可能为（）A．B．C．D．7．已知，则（）A．2B．5C．10D．208．已知函数，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且直线是其一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数的最小正周期为B．函数在区间上单调递增C．点是函数图象的一个对称中心D．将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到一个奇函数的图象9．已知分别为双曲线的左、右焦点，过向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为点，且，则双曲线的渐进线方程为（）A．B．C．D．二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分）10．设，则的共轭复数为_________．11．二项式的展开式中常数项为_________．（用数字作答）12．已知点是抛物线的焦点，为坐标原点，若以为圆心，为半径的圆与直线相切，则抛物线的方程为_________．13．学校迎元旦文艺演出，邀选出小品、相声、独唱、魔术、合唱、朗诵等六个汇报演出节目，如果随机安排节目出场，则朗诵第一个出场的概率为_________；若已知朗诵第一个出场，则小品是第二个出场的概率为_________．14．在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为_________．15．已知函数，且，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________．三、解答题（本题5小题，共75分．将解题过程写在答题纸上）16．（本题满分14分）在中，角的对边分别为，已知的面积为，周长为9，且满足．（1）求的值；（2）若．（i）求的值；（ii）求的值．17．（本题满分15分）在直三棱柱中，，点是的中点．（1）求异面直线所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线到平面的距离．18．（本题满分15分）设椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，已知椭圆过点，且长轴长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上一点（不与顶点重合），直线交轴于点，且满足，若，求直线的方程．19．（本题满分15分）已知公差为的等差数列和公比的等比数列中，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求；（3）若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前项和．20．（本题满分16分）已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）令．（i）讨论函数极值点的个数；（ii）若是的一个极值点，且，证明：．

2023~2024学年度第一学期期末重点校联考高三数学参考答案一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分．）1-5DABBA6-9CDCD二、填空题（本题共6小题，共30分，每空5分，13题前空2分，后空3分）10．11．8412．13．；14．15．三、解答题（本题共5小题，共75分）16．（本题满分14分）（1）在中，由得：而解得（i）由（1）知且解得：则（ii）由则则17．（本题满分15分）解：（1）以为轴建立按直角坐标系，则．所以，所以．故异面直线和所成角的余弦值为．（2），设平面的法向量为．则即，取，得设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．（3）连接交于点，连接，易得，所以平面．故点到平面的距离即为所求直线到平面的距离．记点到平面的距离为，则．所以直线到平面的距离为．18．（本题满分15分）（1）由题意得：所以椭圆的标准方程方程为（2）由（1）知：，如图，设，由直题意知直线的斜率不等于0，设直线的方程为：，令：，得：，由，得：，由根与系数关系得：，所以得：，由题意得：，又因为：，由：，得：，易知同号，则：，得：，故直线方程为或（注：另一种设直线的方法需写斜率显然存在或不存在不成立且不等于0，否则扣1分）19．（本题满分15分）（1）由已知得，解得，（2）（3）由（1）得，所以20．（本题满分16分）解：（1）所以从而在处的切线方程为，即（2）（i）①当时，，在上是增函数，不存在极值点②当时，令，显然函数在是增函数，又因为，必存在，使，为减函数；为增函数，所以是的