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朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页第8章无穷级数第一节常数项级数1.基本概念(1)定义：给定数列{}，称式子为常数项无穷级数（简称级数）.(2）收敛与发散：对于级数，记，称为级数的部分和数列，倘若，则称级数收敛，其和为S，倘若不存在，则称级数发散。(3）绝对收敛与条件收敛：若收敛，则称级数绝对收敛；若收敛，但发散，则称级数条件收敛.2.基本性质(1）与具有相同敛散性.(2）设,,则收敛，且(3）在级数的随意位置加、减有限项不改变敛散性,但和会发生变化。(4）收敛级数随意加括号所得的新级数仍收敛，且其和不变。一个级数加括号后所得新级数若发散，则原级数一定发散。一个级数加括号后所得新级数收敛，则原级数可能收敛也可能发散。(5）级数收敛须要条件:若收敛，则倘若，则级数一定发散。几个重要结论(1）几何级数时收敛，时发散.(2）调和级数发散(3）P－级数时收敛，时发散.(4）级数时)绝对收敛；时条件收敛；时发散.【例题8-1】级数收敛的充足须要条件是：（A）；（B）；（C）；（D）存在（其中）解：由级数收敛的定义知，部分和数列的极限存在，是级数收敛的充足须要条件，故应选（D）。是级数收敛的须要条件，但不是充足条件；和是正项级数收敛的充足条件，但不是须要的。【例题8-2】若级数收敛，则下列级数中不收敛的是：（A）（B）（C）；（D）解：由级数收敛，利用收敛级数的性质知和都收敛；再由和收敛知收敛；故应选（D）。事实上，由级数收敛，有，，但级数发散。【例题8-3】已知级数是收敛的，则下列结果成立的是：（A）必收敛（B）未必收敛（C）；（D）发散解：级数是由级数加括号而得的级数，故收敛，无法得到关于级数敛散的结果，故应选（B）。该题也可通过举例说明，例如由收敛，但级数发散;收敛，而也收敛。4.数项级数审敛法(1）正项级数审敛法1）正项级数收敛的充足须要条件是其部分和数列有上界。2）比较审敛法设和均为正项级数1°若收敛，且（从某项开始），则收敛；2°若发散，且（从某项开始），则发散。3）比较审敛法的极限形式设和均为正项级数，若，则1°时，与同敛散2°时，若收敛，则收敛3°时，若发散，则发散4）比值（根值）审敛法对于正项级数，若，则时收敛；时发散。对于正项级数，若，则时收敛；时发散。注：当这个主意失效。(2）交错级数审敛法形如或的级数称为交错级数。若交错级数满意条件：1°2°则该交错级数收敛。【例题8-4】下列各级数中发散的是：(A)(B)(C)(D)解：因为，而比少一项，他们有相同的敛散，是的p-级数发散，故发散，应选(A).其它三个选项与上题基本相同，都是收敛的。【例题8-5】级数满意下列什么条件时收敛：（A）（B）（C）发散（D）单调增且解：当单调增且，时，有单调减且，这时收敛，故选D。【例题8-

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