结构动力学课件03-许继祥

结构动力学结构力学土木工程学院2016年3月（Ⅱ）授课内容13.2单自由度体系的自由振动13.6一般多自由度体系的自由振动13.1动力计算的特点和动力自由度

13.5两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动

13.7多自由度体系在任意荷载下的强迫振动13.8计算频率的近似法

13.3单自由度体系的强迫振动

13.4两个自由度体系的自由振动13.7多自由度体系在任意荷载作用下的强迫振动13.7.1主振型矩阵与正则坐标13.7.2振型叠加法13.7.1主振型矩阵与正则坐标（1）主振型矩阵12341234第四振型1234第三振型1234第二振型第一振型主振型矩阵13.7.1主振型矩阵与正则坐标（2）正则坐标任意一个质点的位移y都可按主振型来组合：可缩写成：—质点位移列阵—主振型矩阵—正则坐标—坐标转换公式自然坐标广义坐标？13.7.1主振型矩阵与正则坐标方程：也可写成：前乘：13.7.1主振型矩阵与正则坐标由主振型正交性0000展开：方程：因此得：广义质量：质点位移：广义坐标：主振型矩阵:13.7.1正则坐标与主振型矩阵13.7.1正则坐标与主振型矩阵

非对角线上的数都等于零广义质量矩阵广义刚度矩阵13.7.1正则坐标与主振型矩阵同理:其中:（1）多自由度体系的强迫振动13.7.2振型叠加法yiynm1mimny1运动方程：矩阵形式：“耦合”缩写成：（2）利用正则坐标使方程解耦原方程：新方程:广义质量矩阵广义刚度矩阵13.7.2振型叠加法再前乘广义荷载列阵质点的位移:振型叠加法n个独立方程13.7.2振型叠加法新方程:一般荷载:简谐荷载:13.7.2振型叠加法按振型叠加法计算动力反应的步骤:求惯性力，把惯性力和干扰力共同作用于结构；求结构的动内力或总内力。求振型：、；求广义质量和荷载：、求广义坐标：求质点的运动方程:计算刚度系数或柔度系数，形成、或，然后计算结构的自振频率:、；13.7.2振型叠加法解：由[例13.15]求得：[例13.23]

在[例13.15]的1号质点上作用简谐力用振型叠加法求结构最大动弯矩图。l/3l/3l/312mmEItPqsin（1）求广义质量13.7.2振型叠加法（2）求广义荷载（3）求广义坐标（4）求质点的运动方程13.7.2振型叠加法（5）求质点动位移和惯性力的最大值（6）求梁最大动弯矩

把简谐力、惯性力的最大值作用于梁上，按静力求解。13.7.2振型叠加法（7）比较第一振型与第二振型对质点位移的影响质点1：质点2：结论：在实际工程中，对于多自由度体系，可根据精度要求计算到某个振型即可。注意：此题计算的是动弯矩，若要求结构的总弯矩，还需加上由质点重量产生的静弯矩。13.9计算频率的近似法13.9.1能量法求第一频率－瑞利法13.9.2集中质量法13.9.3矩阵迭代法13.9.4结构的地震分析13.9.1能量法求第一频率－瑞利法

当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能（T）和应变能（U）之和应等于常数。瑞利法的出发点:能量守恒定律以梁的自由振动为例:设:动能:最大动能:梁的自由振动13.9.1能量法求第一频率－瑞利法应变能:最大应变能:如梁上还有集中质量miYi为集中质量mi处位移幅值假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：

所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近;结构比较容易出现的变形形式;曲率小，拐点少。必须满足运动边界条件：几何边界条件自然边界条件Rayleigh法主要用于求ω1的近似解13.9.1能量法求第一频率－瑞利法由上式可见，要求频率必须先假设位移幅值函数Y(x)

。若考虑水平振动，则重力应沿水平方向作用。

通常可取结构在某个静荷载q(x)作用下的弹性曲线作为Y(x)的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q(x)所作的功来代替。取自重荷载作用下的曲线Y(x)的近似表达式。13.9.1能量法求第一频率－瑞利法[例13.24]求等截面简支梁的第一自振频率。解：1）假设为抛物线:代入公式:13.9.1能量法求第一频率－瑞利法满足边界条件:2）设精确曲线:代入公式:满足边界条件:3）梁在q作用下的绕曲线:代入公式:13.9.1能量法求第一频率－瑞利法满足边界条件:与精确解相比，各种方法的精度还是相当高的。[例13.25]

求两端固定梁的第一频率。解：满足边界条件：13.9.1能量法求第一频率－瑞利法

梁在q作用下的绕曲线:代入公式:

与精确值相差0.4%。[例13.26]

求图示框架的第一频率，横梁刚度为无穷大。13.9.1能量法求第一频率－瑞利法解：以各层重量

当作水平力作用在结构上，由此产生的各质点处的位移作为第一振型的近似。则最大变形能和动能:13.9.1能量法求第一频率－瑞利法各质点处的计算:显然:如的计算:层数13.9.1能量法求第一频率－瑞利法因此:计算过程列于下表:124.0291.7514280.06430.064157.410.11223.4467.7315360.04410.108259.428.14316.2244.2914950.02960.138228.231.48415.6028.0719170.01470.153242.937.1059.2612.4718720.00670.159150.724.0263.213.2115570.00210.16252.88.52合计1091.4139.37

与精确值相差:0.69%13.9.2集中质量法等效原则：

使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。具体作法：

将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。[例13.27]

试用集中质量法求简支梁自振频率。l/2l/2(－0.7%）l/3l/3l/3(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）对比分析13.9.2集中质量法解得：解得：l/4l/4l/4l/4解得：P=1[例13.28]

求自振频率。2lllEI4EI解：2)图乘3)自振频率1)简化13.9.2集中质量法lP=1按正对称性集中llEI4EIP=1解：1)简化2)图乘2lllP=1P=1P=113.9.2集中质量法3)自振频率4)自振频率汇总13.9.2集中质量法13.9.3矩阵迭代法

矩阵迭代法它是采用逐步逼近的计算方法来确定结构的频率和振型。体系作自由振动时，各质点的位移幅值为：

写成矩阵形式：缩写成：13.9.3矩阵迭代法

当一个振型求得后，则可利用振型的正交性，求出较高次的频率和振型。计算步骤：先假定一个振型并代入上式等号的右边，进行求解后即可得到和主振型的第一次近似值；再以第一次近似值代入上式进行计算，则可得到和主振型的第二次近似值；如此下去，直至前后两次的计算结果接近为止。13.9.3矩阵迭代法

[例13.29]

求自振频率和主振型。已知：m1k3k2k1m2m3解：设第一振型的第二次值13.9.3矩阵迭代法

第一振型的第三次值把：代人方程再计算同理：第一振型的第四次值13.9.3矩阵迭代法

因此第一振型为：第四次与第三次的振型已经十分接近，计算就可停止了。求第二振型：利用主振型的正交性，将求得的第一振型可得到下式：由：得：13.9.3矩阵迭代法

将下式展开：得：或：得：13.9.3矩阵迭代法

得：令：经两轮迭代后得：故第二频率为：再由：因此第二振型为：13.9.3矩阵迭代法

求第三振型：利用主振型的正交性，将求得的第一、第二振型可得：将上面两式展开得：经求解得：13.9.3矩阵迭代法

令：则设第三振型为：求第三频率：故第三频率为：13.9.4结构的地震分析

（1）单自由度体系运动方建立—强迫振动—杜哈梅积分（2）水平地震作用地震时质点受到的惯性力为：—不考虑阻尼

求出作用在质点上惯性力的最大值，然后按静力荷载求解。——便于设计人员应用1、单自由度体系思路：作用在结构上的力产生的效应13.9.4结构的地震分析

将地震位移反应的杜哈梅积分代入上式，有：质点绝对加速度的最大值：

若给地震时地面运动的加速度记录、体系的阻尼比，就可计算出质点的最大加速度与体系自振周期的一条关系曲线，并且对于不同的曲线，称之为加速度反应谱。质点的绝对加速度即：

的计算一般都采用数值积分法。

13.9.4结构的地震分析

水平地震作用：其中地震系数：

根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数值将大致增加一倍。《建筑抗震规范》对各地震基本烈度的地震系数都有具体的规定，查表即可。其中动力系数：

动力系数值与地震烈度无关，可以利用所有不同烈度的地震记录进行计算和统计。其中：G为质点的重量13.9.4结构的地震分析

动力系数：设计反应谱：其中：

其中:可查建筑抗震规范获得。地震作用：—场地卓越周期—衰减指数—考虑结构的阻尼13.9.4结构的地震分析

（1）多自由度体系运动方建立其中：写成矩阵形式：2、多自由度体系“耦合”

13.9.4结构的地震分析（2）用振型叠加法求地震作用为了使方程解耦，引入：得：等式两边前乘：下面对这个等式逐项进行讨论（1）

13.9.4结构的地震分析第一项：

13.9.4结构的地震分析第三项：

13.9.4结构的地震分析其中振型参与系数：方程（1）变为：由：等式两边前乘：第二项：把（2）式代入后得：(2)

13.9.4结构的地震分析令：（3）反应谱法求地震作用得：有：可证明：多自由度体系第i个质点上的地震作用：由式（3）可得：已变成1个独立方程。

13.9.4结构的地震分析振型组合：令：则：把式（4）、式（5）代入：得：第i个质点由第j个振型引起的地震作用的最大值：—第j振型地震作用产生的效应

13.9.4结构的地震分析计算步骤：求出频率与振型求出振型参与系数：根据自振频率：求出自振周期：由自振周期等求出：由公式：求出n组地震作用分别计算每组地震作用下的内力，按计算总效应。

13.9.4结构的地震分析[例13.30]

求地震作用。已知：m1k3k2k1m2m3解：(1)求振型参与系数：

13.9.4结构的地震分析

(2)求自振周期(3)求设：设防烈度为7度，二类（一组）场地土。13.9.4结构的地震分析(多遇地震)

查得：

13.9.4结构的地震分析(3)求地震作用

习题课[习题1]

求图示结构的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。已知弹簧刚度为，不计杆件的轴向变形。解:用刚度法求解（1）求刚度系数mEI2mEIEI2EI12

习题课（2）求自振频率将以及刚度系数代入上式，得：（3）求主振型设：求得：