山东省滨州市2023届高三数学期末模拟卷与解析

山东省滨州市2023届高三数学期末模拟卷

2022.12.25

一、单选题

1.已知全集。=4uB={HxeN|04xM7},Ac@,B)={l,3,5,7}；则集合8元素的个数

为()

A.4个B.3个C.2个D.I个

2.设(l—i)z=2i(i是虚数单位),则同=()

A.72B.0C.2D.5

3.从一副混合的扑克牌共52张(没有大小鬼2张)，中随机抽取13张，事件A为“抽

得红桃K，，事件8为“抽得黑桃”，则概率P(AU8)=()

4.“3*>3”是“x(x+3)>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.(2尤-«)5的展开式中含V的项的系数为()

A.10B.-10C.5D.-5

6.设a=3"$/=log32,c=cos2,则()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

7.函数y=5十的图象是()

A.B.

8.已知过定点直线h-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则

直线的方程为()

A.x-2y-l=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

二、多选题

9.已知函数/(x)=(sinx+coso:)(sinx—cosx),则下列说法正确的是()

A.“X)的周期为万

B.若|『a)|+|F(W)|=2,则一+%=笥,keZ

c./(x)在区间上是增函数

D.y=/(x)的对称轴为》=苫+4万，keZ

10.下列选项中正确的有().

A.随机变量*~443),则O(3X+1)=8

B.将两颗骰子各掷一次，设事件4="两个点数不相同"，B="至少出现一个6点”，

则概率P(A⑻='

C.口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为

7

随机变量短则看的数学期望E传)=1

3

D.已知某种药物对某种疾病的治愈率为:现有3位患有该病的患者服用了这种药物，

4

3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为三27

64

11x1

11.已知x+y=i,y>o,XHO贝的值可能是()

2|x|y+1

1c3c5r7

A.-B.-C.-D.—

4444

12.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O,,其高为2,EBC为圆。的内接三角

形，且NBAC=60,BC=3,P为圆O'上的动点，贝lj()

A.若尸31.平面A6C,则三棱锥P-45c外接球的表面积为16兀

试卷第2页，共4页

B.若E4_LBC,则43=AC

C.三棱锥P-43C体积的最大值为主8

2

D.点/到平面P8C距离的最大值为迪

2

三、填空题

sina-2cosa

13.已知tana=2,则

3sina+5cosa

14.函数〃x)=8sx+sinx的图象在点弓,/9)处的切线方程为.

x—y—4<0,

15.已知点P(21)在不等式组｛。/八表示的平面区域内，则点P(2/)到直线

x+y-3<0

3x+4y+10=0距离的最大值为

16.在AABC中，4=60。"=1,5，枷=6,则AABC的外接圆半径R的值为.

四、解答题

17.计算求值:

2cosl0=-2A/3COS(-100/)

⑴计算-------/、——的值;

Vl-sinlO:

(2)已知a、夕均为锐角，sina=icos(a+/?)=%^,求sin夕的值.

714

18.某中学(含初高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行

统计，得到如图所示的频率分布直方图.

(□)求。的值及样本中男生身高在[185,195](单位:cm)的人数；

(□)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男

生的平均身高；

(口)根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.

19.在长方体OABC-。人BC中，。«=a,0A=6,0C=c,M是8片的中点，N是CG的

中点，P是AA上一点，且AP=2尸A，Q是0A反向延长线上一点，。4=2。。，以0

为原点，OA,0C,。。分别为x轴、y轴、z轴的正方形建立空间直角坐标系.

(1)求B,4，M,N,P,Q的坐标；

(2)求QM的长.

20.(1)三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.

(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.

21.已知中心在坐标原点的椭圆CK，鸟分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为6,离心率

为正

3

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知点P在椭圆C上，且|历|=4,求点尸到右准线的距离.

22.已知数列｛4｝和｛2｝满足4=耳，且对任意〃eN”都有。乎=占.

an1一%

(1)求数列｛〃“｝和曲J的通项公式；

(2)证明：詈+5■+*+…+争吟+鲁+善+...+容.

44%2川4b2bybn

试卷第4页，共4页

山东省滨州市2023届高三数学期末模拟卷

2022.12.25

一、单选题

1.已知全集。=4uB={HxeM04xM7},Ac@,8)={l,3,5,7}；则集合8元素的个数

为()

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】A

【分析】首先利用列举法表示全集U,即可得到«B=[1,3,5,7},从而得到集合8,即

可得解；

【详解】解：因为。={XxeN|04xM7},

所以U={0,l,2,3,4,5,6,7},3U=A<JB,AC&B)={1,3,5,7},口伞8={1,3,5?,

{1,3,5,7}=A；

□B={0,2,4,6),口。々尸6/(8)=4个,

故选：A.

2.设(1-i)z=2i2是虚数单位),则回=()

A.夜B.75C.2D.5

【答案】A

【分析】利用分数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得结果.

22

【详解】由已知可得z=U=7^蜉二=i(l+i)=-l+i,因止匕，|Z|=J(-1)+1=72.

1-1(1一1川+1)II丫\/

故选：A.

3.从一副混合的扑克牌共52张(没有大小鬼2张)，中随机抽取13张，事件4为“抽

得红桃K',事件5为“抽得黑桃、则概率P(AU5)=()

A7c13-1r3

A.■—B.­—C.—■D.—

26525213

【答案】A

【分析】首先分别求P(A)，P(B),再利用互斥事件和的概率公式求解.

【详解】P(A)=[，尸⑻*=；，事件AB是互斥事件，

试卷第5页，共15页

故选：A

4“3*>3”是“*。+3)>0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据指数函数的单调性确定x的取值范围，再根据充分条件和必要条件的相关

定义即可确定答案.

【详解】3'>3=x>l=x>0=x(x+3)>0,所以“3'>3?是“x(x+3)>0?的充分条件,

选项BD错误；

x(x+3)>0=x>0或x<—3,所以“3，>3?不是“x(x+3)>0?的必要条件，

选项A正确，选项C错误.

故选：A.

5.(2x-4)s的展开式中含/的项的系数为()

A.10B.-10C.5D.-5

【答案】A

【分析】利用二项式定理展开式的通项公式可求V的系数.

【详解】(2x-«)5的展开式的通项公式为I；”=G(2x)»(_«y=(-l)r25-rC；^，

令5-^=3可得r=4,所以丁的系数为(-1『25-4仁=10.

故选：A.

【点睛】本题主要考查二项式定理，利用二项式定理求解特定项的系数一般是利用通项

公式求解，侧重考查数学运算的核心素养，属于基础题.

6.设a=3"5,〃=log32,c=cos2,贝l]()

A.c<b<aB.c<a<bC.a<b<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】由对数、指数、余弦函数的单调性比较即可.

150

【详解】«=3*>l=3,0=log3l<Z>=log32<log13=l

JI

—.\c=cos2<0,故a>b>c

故选：A

7.函数歹=5一中的图象是()

试卷第6页，共15页

【答案】D

【详解】函数y=5用为偶函数，图象关于V轴对称，

当x>0时,>=5-，=（乎，在（0,+8）为减函数.

故选：D.

8.已知过定点直线"-y+4-R=o在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则

直线的方程为（）

A.x-2y-l=0B.x-2y+7=0C.2x+y-6=0D.x+2y-6=0

【答案】C

【分析】由题意可知，k<0,求出直线依-y+4-k=0与两坐标轴的交点A（（）,4-Z）,

再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.

【详解】直线"7+44=0可变为％（工一1）一），+4=0,所以过定点P（l,4）,又因为直

线h-y+4-k=0在两坐标轴上的截距都是正值，可知％<0,

令x=0,y=4—左,所以直线与N轴的交点为A（0,4-

试卷第7页，共15页

4

令y=O,X=1一：所以直线与X轴的交点为

k

=5+4=9

4

当且仅当』2时取等，所以此时直线为：2、+尸6=。.

故选：C.

二、多选题

9.已知函数/(x)=(sinx+co2(siru-cosx),则下列说法正确的是()

A./(x)的周期为万

B.若|/(占)|+|/(超)|=2,则%+々=容keZ

TTjr

c.7")在区间-71上是增函数

D.y=/(x)的对称轴为》=彳+&兀，kwZ

【答案】AB

【分析】根据二倍角公式将函数化简，然后根据余弦函数的性质进行判断.

【详解】/(x)=(sinx+COSJC)(sinr-co&r)--(cos2x-sin2x)=-coslx,故周期

T~=7t,A选项正确；注意到|f(xL=1,于是由|/(西)|+|/(々)|=2可知，

|/(^)|=|/(x2)|=l,即|cos2xj=|cos2x2|=l,解得％=W，%=W，K，自eZ,则

玉+々="苧史，即不+々=?，&eZ,B选项正确；注意到了(一==

JTJT7T

故在区间一二，:上不单调，C选项错误；令2x=br,keZ,即尤=一，ZEZ为对

44J2

称轴，D选项错误.

故选：AB.

10.下列选项中正确的有().

A.随机变量*~8(4W),则O(3X+1)=8

B.将两颗骰子各掷一次，设事件4="两个点数不相同"，B="至少出现一个6点”，

则概率P(A忸)=、

C.口袋中有7个红球、2个蓝球和1个黑球.从中任取两个球，记其中含红球的个数为

试卷第8页，共15页

7

随机变量g.则占的数学期望七仔)=:

3

D.已知某种药物对某种疾病的治愈率为现有3位患有该病的患者服用了这种药物，

4

27

3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为二

64

【答案】AC

【分析】对于A,利用二项分布定义求解即可；对于B,代入条件概率公式即可；对于

C,写出$的所有可能取值，列出分布列计算即可；对于D,代入〃次独立重复试验中

恰好发生％次的概率公式即可.

【详解】对于A,••・随机变量X服从二项分布.•.D(X)=4x；x(l-；)].

贝|JD(3X+1)=9Z)(X)=8,故A正确；

对于B,根据条件概率的含义，P(A|B)其含义为在8发生的情况下，A发生的概率，

即在“至少出现一个6点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，

“至少出现一个6点”的情况数目为6x6-5x5=11,

“两个点数都不相同”则只有一个6点，共C；x5=10种，

故P(A|B)=S，故B错误；

对于C,g的所有可能取值为0,1,2,

「k02-A

p/=k)=^一,

可得尸&=0)=1尸©=D=7尸(约2)=高7.

4的分布列

012

177

P

1515百

1777

£(4)=0*石+】又不+2、石=1，故C正确；

对于D,某种药物对某种疾病的治愈率为1,现有3位患有该病的患者服用了这种药物，

3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为

C；x]x(l一1)2=白，故D错误.

4464

故选：AC.

【点睛】本题考查了二项分布、条件概率、相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公

试卷第9页，共15页

式、"次独立重复试验中恰好发生k次的概率等，知识点较多，但难度不大，仔细分析

每一个选项即可.

|1x1

11.已知x+y=i,y>o,XKO则的值可能是()

2|x|y+1

1c3〃5-7

A.-B.一C.-D.一

4444

【答案】BCD

【分析】％+y=l,y>0,xw。,有y=则x<l且xwO,分Ovxvi和x<0去掉绝对

值号，然后用重要不等式求出其最值，从而得到答案.

【详角星】由x+y=l,y>(),xw。，得y=l-x>。，则x<l且xwO.

,」1-v1Xx+2-xx

当Ovxvl时，-]-7+[一=一一T+--------------------1----------

2|x|y+l2x2-x4x2-x

=:+m+自+2后三号当且仅当限二六即x=|时取等号.

I,Hl-x2-x+x-x

当x<0时,-j-7H----------=---------1----------=-----------------1----------

2kly+1—2x2—x-4x2—x

=-工+=+二.当且仅当旧=二即％=一2时取等号.

4-4x2-x4V-4x2-x4-4x2-x

故选：BCD.

12.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O',其高为2,"WC为圆。的内接三角

形，且NBAC=6O,BC=3,P为圆O'上的动点，贝U()

A.若平面A3C,则三棱锥尸-ABC外接球的表面积为16兀

B.若E4J.BC,则AB=4C

C.三棱锥P-ABC体积的最大值为更

2

D.点工到平面尸8c距离的最大值为我

2

【答案】ACD

【分析】对于A,取。。'的中点M,根据题意得到M为三棱锥P-ABC外接球的球心,

根据正弦定理和勾股定理求出球的半径即可得解；

对于B,只能推出BC与P4在上底面内的射影垂直，推不出A8=AC；

对于C,求出的最大值即可求出三棱锥P-ABC体积的最大值；

对于D,根据C选项中的结果以及等体积法可求出点A到平面P8C距离的最大值.

试卷第10页，共15页

【详解】对于A,取。。'的中点M,易得MA=MB=MC=MP,则M为三棱锥P-ABC

外接球的球心，在AABC中，由正弦定理得2O'A=.，所以4=6，

sinDBAC—

2

又O'M=：OO'==1,所以=石『+1=2,所以三棱锥P-ABC外接球的表面积

为4兀"=16兀.故A正确；

对于B,过户过PQ上平面A5C,垂足为Q,连AQ,

则PQL3C,又因为P4L8C,PAQPQ=P,所以3C，平面P4Q,所以8CLAQ,

只有当AQ经过BC的中点时，才有43=AC,故B不正确；

对于C,在ABC中，由余弦定理得8C?=A82+AC2_248SC-COS60「

=AB2+AC2-ABAC=(AB-AC)2+ABAC,

所以9=(4B-4C)2+ABMCW4B.4C,即A8-ACW9,当且仅当AB=AC时，等号

成立，所以SAA8c=」AB-AC-sin604Lx9x^=述，

2224

所以三棱锥P-"C体积的最大值为k型巨x2=迈做C正确；

342

对于D,设点4到平面PBC距离为九，则匕_碗=；〃6△改=1?、23=/?,

因为匕一咏■=匕，4乎，所以力4手，即点/到平面P8C距离的最大值为竽,

故D正确.

试卷第11页，共15页

故选：ACD

三、填空题

sina-2cosa

13.已知tano=2,则

3sina+5cosa

【答案】0

【分析】将所求式子分子分母同时除以cosa,变为只含有tane的表达式，代入tana的

值求得最终的结果.

【详解】将所求式子分子分母同时除以3a得黑|1ro.

【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查齐次方程的应用，属于基础

题.

14.函数f(x)=8sx+sinx的图象在点§，/($)处的切线方程为.

TT

【答案】x+y-1--=0

【分析】示出导函数，求得切线斜率后可得切线方程.

【详解】由已知尸(x)=-sinx+cosx,八9=-1，又/(9=1，

TTTT

所以切线方程为y-l=-(x—万)，即x+y-i-5=0.

故答案为：x+y—1—^=0.

%-y-4<0,

15.已知点22,。在不等式组｛，，/八表示的平面区域内，则点P(2,f)到直线

x+y-340

3x+4y+10=0距离的最大值为.

【答案】4

x-y-4<0,

【详解】试题分析：解：先作出不等式组｛2/八

x+y-3Vo

表示的平面区域与x=2的直线如图

由图知点P(2,t)到直线3x+4y+10=0距离最大的点的坐标是A(2,1),最大值为

|3x2+4+10|…3■一，

■——-——1=4故填写4.

考点：简单线性规划的应用

试卷第12页，共15页

点评：本题考查简单线性规划的应用，利用图形求一线上的点到另一个线的最大距离，

求解此类题的关键是做出图形，由图形作出判断求出点再代入公式求最值.本题易因为

理解失误出错，如不理解P(2,t)即是直线x=2上的一个点

16.在AABC中，ZA=60。，b=l,5，诋=6,则AABC的外接圆半径及的值为.

【答案】叵##(回

33

【分析】先由三角形的面积公式计算出c的值，然后利用余弦定理求出。的值，再利用

正弦定理可求出AMC的外接圆直径，即可求解

【详解】由三角形的面积公式可得0c=，8csinA=」xlxcx3^二石，可得c=4,

VABC222

由余弦定理得标=加+°2—2历cosA=『+42—2xlx4xg=13,则°=屈，

a_V13_r-2_2>/39

由正弦定理可知，AABC的外接圆直径为高彳一酒-v君一刀一，

T

所以半径为R=叵，

3

故答案为：—

3

四、解答题

17.计算求值：

2cosl0-2A^COS(-100)

⑴计算------r===——的值；

Vl-sinlO:

(2)己知a、夕均为锐角，sina=L，cos(a+4)=上叵，求sin夕的值.

714

【答案】⑴2&

。、39石

--

98

【分析】(1)利用诱导公式、辅助角公式、二倍角的正弦公式化简可得结果；

(2)利用同角三角函数的基本关系可求得cosa、sin(a+⑶的值，再利用两角差的正

弦公式可求得sin"的值.

(1)

解2cosl0'-2百cos(-lOO)_2coslO-25/3coslOO_2COS10J-2A/3COS(90+10)

Jl-sin10°Vl-sin10Jl-sin10。

试卷第13页，共15页

4(』cosl0+立sin100|八八、

2cosl0+25/3sinl0(22J4cos(60-10)

Vl-sinlO>/l-2sin5cos5cos5-sin5

4cos50=_4cos50。&

\/2(cos45cos5-sin45cos5)5/2cos50

(2)

解：Qa、夕都为锐角，则0＜。+尸〈兀,

/.sin(a+6)=Jl-cos2(a+4)=

sin/?=sin[(a+>0)-a]=sin(a+/?)cosa-sinacos(a+/?)=^-x；x

18.某中学（含初高中6个年级）随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行

统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（□）求。的值及样本中男生身高在［185,195］（单位:cm）的人数;

（□）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男

生的平均身高;

（□）根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.

【答案】(口)a=0.010,4；(□)171.5cm；(□)183cm.

【分析】（口）利用频率分布直方图能求出a的值，由此能求出身高在［185,195］的频率

及人数.

（D设样本中男生身高的平均值为"利用频率分布直方图能估计该校全体男生的平

均身高.

（□）先判断85%分位数位于哪一个区间，再根据频率分布直方图中百分位数的定义计

算即可.

试卷第14页，共15页

【详解】(口)根据题意，

(O.(X)5+a+0.020+0.025+0.040)xl()=l.

解得a=0.010.

所以样本中学生身高在口85,195］内(单位:cm)的人数为

40x0.01x10=4

(□)设样本中男生身高的平均值为最，则

x=150x0.05+160x0.2+170x0.4+180x0.25+190x0.1

=7.5+32+68+45+19=171.5.

估计该校男生的平均身高为171.5cm.

(□)由。=0.010,根据直方图，

因为(0.005+0.020+0.040)xl0=0.65<0.85

(0.005+0.020+0.040+0.025)x10=0.9>0.85

所以样本中的85%分位数落在［175,185)内，

设85%分位数为x,则(*-175)x0.025=0.2,

解得x=183.

所以估计该校男生身高的85%分位数为183cm.

19.在长方体0ABe中，Oq=a,OA=b,OC=c,M是8局的中点，N是CG的

中点，P是AA上一点，且AP=2PA，Q是OA反向延长线上一点，OA=2Q。，以O

为原点，OA,OC,。。分别为x轴、y轴、z轴的正方形建立空间直角坐标系.

(1)求B,M,N,P,Q的坐标；

(2)求QM的长.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】(1)根据条件中所给的坐标系和各条棱的长度，写出六个点的坐标，这是解决

立体几何与空间向量问题的基础.

(2)根据第一问写出的点的坐标，代入两点的距离公式，写出运算的结果，整理成最

简形式即可..

【详解】⑴8伍,c,0),B0c,a),词，尸(注0,引,

(2)=+C2=^\l9b2+4c2+a2

【点睛】本题考查根据空间直角坐标系写出点的坐标的问题，这种问题是为解决空间向

试卷第15页，共15页

量与立体几何做准备，是一个基础题，注意数字运算不要出错.

20.（1）三个数成等差数列，其和为9,前两项之积为后一项的6倍，求这三个数.

（2）四个数成递增等差数列，中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.

【答案】（1）4,3,2；（2）-2,0,2,4.

【分析】（1）设这三个数依次为”,a+d,根据已知条件列方程组，求得。和d

的值即可得这三个数；

（2）设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d（公差为2d>0）,根据已知条件

列方程组，求得4和d的值即可得这四个数.

【详解】（1）设这三个数依次为a-d,a,a+d,

a-d+a+a+d=9a=3

由题意可得：”解得:

a(a-d)=6(a+d),d=-\

所以这三个数依次为4,3,2.

(2)设这四个数依次为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2J>0),

a-d+a+d=2[a=1[a=1

由题意可得<解得』或“一(舍),

(a-3d)(a+3d)=-8

故所求的四个数依次为-2,0,2,4.

21.已知中心在坐标原点的椭圆C耳，鸟分别为椭圆的左.右焦点，长轴长为6,离心率

为立

3

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵己知点P在椭圆C上，且|历|=4,求点P到右准线的距离.

【答案】⑴三+丫=1；

94

⑵辿

【分析】（1）由己知可得再由离心率求得C,结合隐含条件求得匕，则椭圆方程可

求；

（2）由题意定义结合已知求得|P6|=2,再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距

离.

（1）

解：因为椭圆C的长轴长为6,离心率为亚,

3

试卷第16页，共15页

2a=6

所以“C5/5，解得4=3,C=,

3

所以，b2=a2-c2=4,

所以，椭圆C的标准方程为三+$=1；

94

(2)

解:由椭圆的定义得：|尸凡+|尸闾=2a=6,

因为|P国=4,所以归闾=2,

设点尸到右准线的距离为d,

所以，根据椭圆的第二定义得：2=逝，解得：“=■!石.

d35

所以，点户到右准线的距离为域.

5

22.已知数列｛〃“｝和也｝满足4=4，且对任意"eN"都有％+勿=1,乎

an一

(1)求数列｛4｝和｛。｝的通项公式;

女+包+幺+…+%＜皿1+”)＜色+a+8+…+4

(2)证明:bb

23%b,"btb24b„

【答案】"b/

(2)证明见解析

【分析】(1)根据等差数列的定义求解即可.

(2)由(1)得:=；,分别构造函数ln(l+x)-x和ln(l+x)-一匚，利用导数和对数函

bnn1+X

数的性质计算.

【详解】(1)•.・对任意〃eN*都有4+仇=1,乎=占，

an—%

.1

,•41一片i+«„•

11,11,

—=—+i,即-------=1.

4用a„为“4，

，数列是首项为：，公差为1的等差数列.

•；%=b、,且4+4=1,

••ai=hi=2,

试卷第17页，共15页

—=2+(〃-1)=〃+1.

n+]""+1',n

所证不等式2•+色■+幺+...+%1<ln(l+〃)<%+&+&•+...+%,

w寺〜2々4加b.h2b3bj