重庆市高中名校2023年高考数学五模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有()

A.2对B.3对

C.4对D.5对

2.设a为锐角，若cos(a+?)=|,贝!Jsin2a的值为()

17

A.“C.

25

x>0

3.已知a,b,ceR»a>b>c,a+b+c-0.若实数%,丁满足不等式组<尤+y<4则目标函数z=2x+y

bx+ay+c>0

()

A.有最大值，无最小值B.有最大值，有最小值

C.无最大值，有最小值D.无最大值，无最小值

4.i是虚数单位，贝！］|z|=(

1-z

A.1B.2C.五D.2及

5.若=4+4(x+l)++%O]9(x+l)""，XGR,则4/3+4,32++々2019.3""9的值为()

2019209209

A.-1-2B.一1+2239C.1-2'D.1+2'

6.函数/(x)=sin(ox+°)的部分图象如图所示，则/(x)的单调递增区间为()

-----卜2k兀,-----卜2k兀,keZ

44

—卜k、------Fk、kwZD.------卜2k,-----卜2k,keZ

4444

7.已知等差数列｛q｝的前N项和为s,，若4=12,Ss=90,则等差数列｛4｝公差"=()

3

A.2B.-C.3D.4

2

8.已知函数/(x)=x+ei，g(x)=In(x+2)—4e"T,其中e为自然对数的底数，若存在实数.%,使

/(xo)-g(x0)=3成立，则实数。的值为()

A.-In2-1B.-l+ln2C.-In2D.In2

9.设i是虚数单位，aeR,士丝=3-2"则。=()

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

10.设A(2,-l),B(4,l),则以线段AB为直径的圆的方程是()

A.(x-3)2+y=2B.0-3)2+丁=8

C.(x+3)2+y2=2D.(x+3)2+/=8

11.双曲线f—E=i的渐近线方程为()

2

A.y=+^-xB.y=±xC.y=±五x

D.y=±>/3JC

12.执行如图所示的程序框图，输出的结果为(

7153115

A.—B.—C.—D.—

881616

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设/(X)为偶函数，且当xe(-2,o]时，/(%)=-X(X+2)；当尤e[2,+oo)时，/(x)=(a-x)(x-2).关于函数

g(x)=/(x)—加的零点，有下列三个命题：

①当。=4时，存在实数小使函数g(x)恰有5个不同的零点；

②若函数g(x)的零点不超过4个，贝!JaV2;

③对V,〃e(l,+8),*e(4,+s),函数g(x)恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列.

其中，正确命题的序号是.

14.圆心在曲线y=((x>0,k>0)上的圆中，存在与直线2x+y+l=。相切且面积为5兀的圆，则当攵取最大值时，

该圆的标准方程为.

15.已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球。的表面上.若球。的表面积为

28肛则该三棱柱的侧面积为.

x+2y-3>0

16.若实数x,)'满足不等式组(2x+y-3Z0,则2x+3)•的最小值为.

x+y-3<Q

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

/T7

17.(12分)如图，四棱锥P-ABC。的底面是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,PB=匹,PA=PC=s5

2

(I)证明；ACIBP,

（H）求直线AO与平面APC所成角的正弦值.

18.（12分）已知数列｛4“｝满足：对任意都有4“=4+4+2.

（1）若。2+。3+4+。9=2,求小的值;

（2）若｛4｝是等比数列，求｛4｝的通项公式;

（3）设ZeN*,k>3,求证:若％i，%2，％3,…成等差数列,则4,生，…，%也成等差数列.

19.(12分)已知函数/(x)=|x-2]一|2x+l|.

（1）求不等式“X）的解集;

（2）若关于％的不等式/（x）W3f—2/在区间［-1,1］内无解，求实数，的取值范围.

20.（12分）某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.

方案一：每满100元减20元;

方案二：满100元可抽奖一次.具体规则是从装有2个红球、2个白球的箱子随机取出3个球（逐个有放回地抽取），所

求该顾客获得7折或8折优惠的概率;

（2）若某顾客购物金额为180元，选择哪种方案更划算？

21.（12分）已知AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且（sinA-sin=sin?C-sinAsinB.

(I)求C；

（II）若c=l,A4BC的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.

22.（10分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环

保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如下:

AQI[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,30()]

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染

天数61418272510

(1)从空气质量指数属于［0,50］,(50,1(X)］的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

’0,涮100,

(2)已知某企业每天的经济损失了(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y=220,100<%,250,,试估计该

1480,250〈芭,300,

企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

画出该几何体的直观图P-ABCZ),易证平面/3AZ)_L平面ABCD,平面PCD_L平面尸AO,平面248J_平面PAD，

平面243,平面PC。，从而可选出答案.

【详解】

该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面94。_L平面ABC。，

作尸O_LAZ>于O,则有尸O_L平面A5CD,PO1CD,

又AZ>_LCD,所以，CD_L平面AW,

所以平面PC。，平面P4O,

同理可证：平面246_L平面PAD,

由三视图可知：PO=AO=OD,所以，APLPD,又4尸_1_5,

所以，APJ_平面PCD,所以，平面平面PQD,

所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对.

p

本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题.

2.D

【解析】

用诱导公式和二倍角公式计算.

【详解】

jrjrjr3I

sin2a=-cos(2a+—)=-cos2(a+—)=-[2cos2(«+-)-1]=-[2x(-)2-1]=——.

244525

故选：D.

【点睛】

本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系.

3.B

【解析】

判断直线版+ay+c=O与纵轴交点的位置，画出可行解域，即可判断出目标函数的最值情况.

【详解】

由a+0+c=0,a>b>c,所以可得a>0,c<0.

cc1clic

a>b=a>-a-c=—>-2,b>c=>-a-c>c^-<——-2<—<——=>—<——<2,

aa2a22a

hc

所以由法+“y+c=0ny=—-x--，因此该直线在纵轴的截距为正，但是斜率有两种可能，因此可行解域如下图

aa

所示:

由此可以判断该目标函数一定有最大值和最小值.

故选：B

【点睛】

本题考查了目标函数最值是否存在问题，考查了数形结合思想，考查了不等式的性质应用.

4.C

【解析】

由复数除法的运算法则求出z,再由模长公式，即可求解.

【详解】

由z=2，：¥=-1+i,\z\=y/2.

故选:C.

【点睛】

本题考查复数的除法和模，属于基础题.

5.A

【解析】

2019

取》=—1,得到%=22°\取x=2,则4+a/3+4-32++a2019.3=-l,计算得到答案.

【详解】

20l9

取x=-l,得到%=22°\取x=2,则%+。/3+%.32++a201<3=-l.

20,92019

故。「3+廿32++O2019.3=-1-2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了二项式定理的应用，取x=-l和x=2是解题的关键.

6.D

【解析】

3

由图象可以求出周期，得到根据图象过点(^，-1)可求根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.

【详解】

T51

由图象知一=——=1,

244

所以T=2,co=--=7u,

2

3

又图象过点(1一1),

37r

所以一l=sin(—+9),

4

371

故。可取一，

4

37r

所以fM=sin(^-x+—)

4

令2Z万一24乃x+'K2左万+2,ZeZ,

242

解得2k--<x<2k--,k&Z

44

所以函数的单调递增区间为一3+2左,一!+2攵,k&Z

44

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.

7.C

【解析】

根据等差数列的求和公式即可得出.

【详解】

■1=12,Ss=90,

5x4

.,.5x12+------d=90,

2

解得d=l.

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

8.A

【解析】

令f(x)-g(x)=x+exa-In(x+1)+4ea'x,

1_x+1

令y=x-ln(x+1),y'=l-

x+2x+2

故y=x-In(x+1)在(-1,-1)上是减函数，(-1,+oo)上是增函数,

故当x=-1时，y有最小值-1-0=-1,

而eX-a+4ear%,(当且仅当e、.a=4ear,即乂=2+加1时，等号成立);

故f(x)-g(x)>3(当且仅当等号同时成立时，等号成立);

故x=a+lnl=-1,BPa=-1-Ini.故选：A.

9.C

【解析】

由5+rn=3-2i,可得5+出=(a+z)(3-2i)=3a+2+(3-2a)i,通过等号左右实部和虚部分别相等即可求出a的

a+i

值.

【详解】

解：^±££=3_2/,.•.5+ai=(a+i)(3—2i)=3«+2+(3—2a)i

a+i

5=3。+2

，解得：a=\.

3-2a=a

故选:C.

【点睛】

本题考查了复数的运算，考查了复数相等的涵义.对于复数的运算类问题，易错点是把当成1进行运算.

10.A

【解析】

计算的中点坐标为(3,0),圆半径为r=近，得到圆方程.

【详解】

AB的中点坐标为：(3,0),圆半径为一网L近亘=夜,

22

圆方程为(x—3>+y22.

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.

11.C

【解析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.

【详解】

2

双曲线V—2v_=],

2

，双曲线的渐近线方程为y=±V2x,

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.

12.D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

执行该程序可得s=o+*+*+最+'='

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.③

【解析】

根据偶函数的图象关于y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可.

【详解】

解：当"4时小/、)九\-x二(x)-(2L))x」e[0[,22工))又因为小/)为、偶函数

可画出的图象，如下所示:

可知当利=0时g(x)=/(x)-机有5个不同的零点；故①正确;

若函数g(x)的零点不超过4个，

即Vme[0,1],y=/(x)与丁=根的交点不超过4个，

.•.XN2时/(X)WO恒成立

又当xe[2,+8)时，/(x)=(a-x)(x-2)

.•.a-xMO在xe[2,+8)上恒成立

J.aWx在xe[2,+8)上恒成立

:.a<2

由于偶函数“X)的图象，如下所示:

直线/与图象的公共点不超过4个，则aW2,故②正确;

对必〃e(l,+co),偶函数的图象，如下所示：

皿€(4,+8),使得直线/与g(x)恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确.

故答案为：①②③

【点睛】

本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.

14.(x-l)2+(y-2)2=5

【解析】

由题意可得圆的面积求出圆的半径，由圆心在曲线上，设圆的圆心坐标，到直线的距离等于半径，再由均值不等式可

得攵的最大值时圆心的坐标，进而求出圆的标准方程.

【详解】

设圆的半径为广，由题意可得万r=5乃，所以r=有，

k

由题意设圆心cm,一),由题意可得。＞0,

a

k

由直线与圆相切可得I2"+〃+R,所以|2。+&+1|=5,

75'a

而左＞0,。＞0,所以5=2。+幺+122/2/+1,即22疝，解得2＜2,

aVa

所以人的最大值为2,当且仅当2。=幺时取等号，可得。=1,

a

所以圆心坐标为：(1,2),半径为石，

所以圆的标准方程为：(x-l＞+(y-2)2=5.

故答案为：(x—l)2+(y—2)2=5.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系及均值不等式的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运

算求解能力，求解时注意验正等号成立的条件.

15.36

【解析】

只要算出直三棱柱的棱长即可，在A。。田中，利用。仙2+0］。2=042即可得到关于》的方程，解方程即可解决.

【详解】

由已知，4〃R2=28万，解得R=J7,如图所示，设底面等边三角形中心为。I,

A1

直三棱柱的棱长为X,则01A二与x，O0=^X,故O1A2+O02=OA2=R2=7,

22

即£_+工=7,解得x=2括，故三棱柱的侧面积为3x2=36.

34

故答案为：36.

【点睛】

本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.

16.5

【解析】

根据题意，画出图像，数形结合，将目标转化为求动直线纵截距的最值，即可求解

【详解】

x+2y—320

画出不等式组2尢+y-3N0,表示的平面区域如图阴影区域所示，

x+y—3<0

21

令z=2x+3y,则y=—§x+§z.分析知，当x=l,y=l时，z取得最小值，且Zmin=5.

【点睛】

本题考查线性规划问题，属于基础题

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见解析(II)

4

【解析】

⑴取AC的中点M，连接PM,BM，通过证明AC，平面PBM得出AC1BP;

(II)以以为原点建立坐标系，求出平面4PC的法向量〃，通过计算〃与A。的夹角得出与平面APC所成角.

【详解】

(I)证明：取AC的中点连接PM,BM,

'：AB=BC,PA=PC,

：.AC±BM,AC±PM,又8MCPM=M,

.•.4C_L平面PBM,

：8Pu平面PBM,

：.ACVBP.

（II）解：•底面A3CO是梯形.BC//AD,AB=BC=CD=1,AD=2,

：.ZABC=12Q°,

"：AB=BC=1,.*.AC=G，BM=~,：.AC±CD,

XAC1BM,：.BM//CD.

iA3

,:PA=PC=BCM=-AC=—>：.PM=~,

222

・：PB=叵,+：.ZPMB=12Q°,

22PM-BM2

以M为原点，以M5,MC的方向为x轴，y轴的正方向,

以平面ABCD在M处的垂线为z轴建立坐标系M-xyz,如图所示:

则A（0,-且，0）,C（0,立，0）,PC--,0,逆），0（-1,立，0）,

22442

LUUUX/—33\/3

•**AD=（-1,^390）,AC=（0，，0）,AP=（----，-----，-——-），

424

VJy=0

n•AC=0

设平面ACP的法向量为〃=（x,j,z）,贝（J即《363K

n•AP=0——XH-----VH-------Z=0

I42-4

令丫=百得〃=（百，0,1）,

n-AD_

AD>=V3

:.cos<ZnHM-T

直线AD与平面APC所成角的正弦值为|cos<n,AD>\=—

4

【点睛】

本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理使用，难度

一般.

18.(1)3；(2)an=-2；(3)见解析.

【解析】

(1)依据下标的关系，有48=生+为+2,48=%+4+2,两式相加，即可求出；(2)依据等比数列的通项

公式知，求出首项和公比即可。利用关系式=4+4+2,列出方程，可以解出首项和公比；(3)利用等差数列的

定义，即可证出。

【详解】

(1)因为对任意〃，丫eN*,都有=。“+4+2,所以《8=。2+a9+2,«|8=fz3+tz6+2,两式相加,

2%=4+03+4+49+4=2+4=6,解得/=3

(2)设等比数列｛4｝的首项为％,公比为心因为对任意〃,veN*,都有《”=4+%+2,

所以有%=。1+。2+2,解得”|=-2,又4=4+4+2=。2+。3+2,

即有4+6=%+%，化简得，1+^5=q2+q\即(42-1)(二-1)=0,

・'-4=1或＜7=—1,因为4=。2+%+2,化简得—2q+1=0,所以q=1

故见=-2。

(3)因为对任意〃,ywN*,都有&,=4+4+2,所以有

4+i=q+%+i+2

%&+i)=4+4+i+2

"®JI+D=。+%+1+2,%+i，a*+2，%+3,…成等差数列,设公差为d，

ak(k+\)~4+4+1+2

aaaa

=%(«+1)一6+|=(%+l)d，3~2~3(k+l)~2(k+\)=(k+1)^,,

4-«i-i=%«+「《-=(%+l)d，由等差数列的定义知，

6,。2,…，％也成等差数列。

【点睛】

本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考查学生的逻辑推理，数学建模，综合运用数列知识的

能力。

19.(1)[—2,0]；(2)(—co,—)U(2,+oo).

2

【解析】

(D只需分xN2,--<x<2,三种情况讨论即可；

22

(2)〃x)>3~2产在区间[-1,1]上恒成立，转化为“xL*/—2t2,只需求出血即可.

【详解】

(1)当xN2时，f(x)=-x-3<-5,此时不等式无解；当—时，/(x)=-3x+l,

1,C

—«x<211%〈---1

由12一.得•--<x<0；当x<—-时，.f(x)=x+3,由<2得—2Wx<—,

2

-3x+l>l22x+3>l乙

综上，不等式的解集为[-2,0]；

(2)依题意，〃x)>3―2产在区间上恒成立，则/(x)min>3r-2r2,当—14%<一；时，

/(X)=X+3G[2,|)；当—时，/(X)=-3X+1G[-2,|],所以当时，“力小=-2,

由3,一2/<一2得/>2或f<-g,所以实数t的取值范围为(一8,一g)。(2,+oo).

【点睛】

本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，考查学生分类讨论与转化与化归的思想，是一道基础题.

20.(1)](2)选择方案二更为划算

2

【解析】

13

(1)计算顾客获得7折优惠的概率［=3,获得8折优惠的概率2=石，相加得到答案.

OO

(2)选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为126,144,162,180,,计算概率得到数学期望，比较大小

得到答案.

【详解】

(1)该顾客获得7折优惠的概率［=<2¥=；1

<2?23

该顾客获得8折优惠的概率P=Cjx-x-=-,

2⑷48

131

故该顾客获得7折或8折优惠的概率P=P］+P2=-+-=-.

(2)若选择方案一，则付款金额为180-20=160.

若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取的值为126,144,162,180.

P(X=126)q,P(X=144)=C；［£