第三节 连续型随机变量及其分布

第二章随机变量1.“0-1”分布(两点分布)

2.二项分布3.Poisson分布第一节随机变量及其分布函数第二节离散型随机变量及其分布1且其分布函数的图形是右连续的阶梯曲线.分布函数的性质：2第三节连续型随机变量及其分布1.连续型随机变量及其分布例1求陀螺停下时，与地面接触点的刻度X

的分布函数。分布函数的图形是单调上升的连续曲线，且对任意实数x,有解Ox4取值充满了某个实数区间——连续型随机变量3(4)若x为f(x)的连续点，则有:概率密度f(x)具有以下性质：定义2.3

设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x),

使得对于任意实数x，有则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度。满足(1)、(2)的函数f(x)，一定为某个连续型随机变量X的概率密度。45(1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。则有如果x0为f(x)的连续点，有f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了X在x0点处的“密集程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的质量密度。（2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数F(x)为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点a的概率为零，事实上两点说明6(4)其分布函数是连续函数，图形是单调上升的连续曲线，且对任意实数a,有（单调不减）连续型随机变量分布函数F(x)具有以下性质：且事件{X=a}并非不可能事件，因此(1)概率为零的事件不一定是不可能事件；(2)概率为1的事件不一定是必然事件。

7解设随机变量的分布函数为情况，设连续随机变量表示击中点与靶心的距离（如图）,10-i环。求一次射击得到10-i环的概率(i=0,1,2,…,9)。例2

向半径为R的圆形靶射击，击中点落在以靶心O

为中心x

为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的（1）求的分布函数及密度函数；（2）把靶的半径分成10等分，如果击中点落在以靶心O为中心、内外半径分别为及的圆环域内，则记为由分布函数的定义，知由于不会发生脱靶的情况，则当时，当时，8当时，则的分布函数为：1（2）一次射击得到10-i环的概率根据题意有9试求：（1）系数A；（2）X落在区间（0.3，0.7）内的概率；（3）X的密度函数.例2.9

设连续型随机变量X的分布函数为

解（1）由于X为连续型随机变量，故F（x）是连续函数，因此有10即A=1，于是有

(2)P{0.3<X<0.7}=F(0.7)-F(0.3)=(0.7)2-(0.3)2=0.4;(3)X的密度函数为

11例2

函数可否是随机变量X的概率密度,如果X的可能值充满区间:解(1)取即可.(2)不是.(3)当时,与矛盾,不是.12例3(拉普拉斯分布)连续随机变量X的概率密度为求:(1)系数A;(2)随机变量X落在区间(0,1)内的概率;(3)随机变量X的分布函数.解(1)(2)(3)当时,当时,13例4

设连续型随机变量X

的概率密度为其中k为正整数，求系数A的值。解令得即：伽玛函数的定义：伽玛函数的性质：14连续型密度函数

X~p(x)

(不唯一

)2.4.P(X=a)=0离散型分布列:pn

=P(X=xn)

(唯一

)2.F(x)=3.

F(a+0)=F(a);P(a<X

b)=F(b)

F(a).4.点点计较5.F(x)为阶梯函数。

5.F(x)为连续函数。

F(a

0)=F(a).F(a

0)

F(a).151、均匀分布定义1设连续型随机变量X

的一切可能值充满某一个有限区并且在该区间内任一点有相同的概率密度，即：此分布叫做均匀分布（或等概率分布）。事实上间即16当时，均匀分布的概率密度及分布函数的图形分别如下：为：X分布函数17例5

秒表的最小刻度差为0.2秒，如果记时的精确度是取最近并计算误差的绝对值不超过0.05秒的概率。解由题意，随机误差X可能取得区间内的任一值，并在此区间上服从均匀分布，误差的绝对值不超过0.05秒的概率为的刻度值，求使用该秒表记时产生的随机误差X的概率分布，所以X的概率密度为18定义2其中

＞0

为常数。显然因此，指数分布的分布函数为2、指数分布设连续型随机变量X的概率密度此类分布为指数分布，记作若随机变量X服从参数为λ的指数分布记作19例6

已知某电子管的寿命X（小时）服从指数分布：求这种电子管使用1000小时以上的概率。解20练习1

某公共汽车站每隔5min有一辆车通过，可将车站上候车的乘客全部运走.设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客候车时间不超过3min的概率.

解这是一个几何概型.设乘客到达汽车站的时刻为X，他到站后的第一辆公共汽车到站时刻为t0

，则前一辆车离去的时刻为t0-5.据题意，X服从[t0-5,t0]上的均匀分布，其密度函数为21

均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩擦会有一定的磨损.轮胎的圆周长为2

r，则刹车时与地面接触的点的位置X应服从[0,2r]上的均匀分布，即X～Ｕ[0,2

r]

，即在[0,2

r]

上任一等长的小区间上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白均匀分布的含义了.求乘客候车时间不超过3min的概率，即求X落在区间内的概率22应用场合用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命动物的寿命指数分布常作为各种“寿命”分布的近似23若X~Ｅ(

),则故又把指数分布称为“永远年轻”的分布指数分布的“无记忆性”事实上命题24在自然现象和社会现象中,大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如，测量误差、炮弹落点距目标的偏差、海洋波浪的高度、一个地区的男性成年人的身高及体重、考试的成绩等．正是由于生活中大量的随机变量服从或近似服从正态分布，因此，正态分布在理论与实践中都占据着特别重要的地位．3、正态分布25定义其中

及

＞0都为常数，显然记作设连续型随机变量X的概率密度为这种分布叫做正态分布或高斯分布。若随机变量X服从参数为μ和σ的正态分布记作3、正态分布26（1）最大值在x=μ处，最大值为;（3）曲线y=f(x)在处有拐点；正态分布的密度函数f(x)的几何特征：（2）曲线y=f(x)关于直线x=μ对称，于是对于任意h>0，有（4）当时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线返回27特别地，其概率密度为正态分布叫做标准正态分布。当时，正态分布的分布曲线若固定μ=028正态分布的分布函数是0.5若,则X

落在区间内的概率是：记标准正态分布的分布函数查表29[注1][注2]若,则。例6

若求解30例2.12

公共汽车车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会在1%以下来设计的.设男子身高X服从m=170(cm),s=6(cm)的正态分布，即X~N（170，62），问车门高度应如何确定？

解设车门高度为h(cm)，按设计要求P{X≥h}≤0.01或P{X＜h}≥0.99，因为X~N（170，62），故查表得

F（2.33）=0.9901＞0.99.

故取，即h=184.

31练习设有一项