新高考数学一轮复习考点突破+分层训练（新高考地区专用） 集合教师用

专题01集合高考概览1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；4.在具体情境中，了解全集与空集的含义；5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；7.能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．必备知识.真题演练【知识梳理】1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.(4)常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR2.集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA).(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.【常用结论】1.集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)；card(∁U(A∪B))＝card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B).3.五个关系式：A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝∅是两两等价的【真题体验】1.（2021新全国Ⅰ卷）设集合，则（）A. B. C. D.答案B解析由题设可得，故.2.（2021全国甲卷）设集合，则（）A.B.C.D.答案B解析因为，所以.3.（2021北京卷）已知集合，，则（）A. B.C.D.答案B解析由题意可得：，即.4.（2021全国乙卷）已知集合，，则（）A. B. C. D.答案C解析任取，则，其中，所以，，故，因此，.故选C.5．(2020·全国Ⅱ卷)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝ ()A．{－2，3} B．{－2，2，3}C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}答案A解析∵A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，∴A∪B＝{－1，0，1，2}．又U＝{－2，－1，0，1，2，3}，∴∁U(A∪B)＝{－2，3}．6.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝()A.－4 B.－2 C.2 D.4答案B解析A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－eq\f(a,2)＝1，所以a＝－2.考点突破.典题精研考点一集合的基本概念1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为()A.2 B.3 C.4 D.6答案C解析A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.2.已知集合A＝{2a－1，a2，0}，B＝{1－a，a－5，9}，且A∩B＝{9}，则a＝()A.±3，5 B.3，5C.－3 D.5答案C解析易知a2＝9或2a－1＝9，∴a＝±3或a＝5.当a＝3时，则1－a＝a－5＝－2，不满足集合中元素的互异性，舍去.当a＝5时，则A∩B＝{9，0}，与题设条件A∩B＝{9}矛盾，舍去.当a＝－3时，A＝{－7，9，0}，B＝{4，－8，9}，满足A∩B＝{9}，故a＝－3.3.已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x∈Z，且\f(3,2－x)∈Z))，则集合A中的元素个数为()A.2 B.3C.4 D.5答案C解析∵eq\f(3,2－x)∈Z，∴2－x的取值有－3，－1，1，3，又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4，故选C.4.设集合A＝{x|(x－a)2<1}，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围为________.答案(1，2]解析由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）2<1，,（3－a）2≥1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1<a<3，,a≤2或a≥4.))所以1<a≤2.名师点拨1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系【例1】(1)若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，则()A.M＝N B.M⊆NC.M∩N＝∅ D.N⊆M(2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为________.答案(1)D(2)(－∞，－2)∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))解析(1)易知M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.(2)A＝{x|－1≤x≤6}.∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意.当B≠∅时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤2m＋1，,m－1≥－1，,2m＋1≤6.))解得0≤m≤eq\f(5,2).得m<－2或0≤m≤eq\f(5,2).名师点拨1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.【训练1】(1)(多选)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}.若N⊆M，则实数a的值可能为()A.－1 B.0 C.1 D.2(2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为()A.(1，3) B.[1，3]C.[1，＋∞) D.(－∞，3]答案(1)ABC(2)B解析(1)∵集合M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，N＝{x|ax＝1}，∴当a＝0时，N＝∅，N⊆M成立；当a≠0时，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，∵N⊆M，∴eq\f(1,a)＝－1或eq\f(1,a)＝1，解得a＝－1或a＝1.综上，实数a的值可能为1，－1，0.故选ABC.(2)由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2得a－2<x<a＋2，所以B＝(a－2，a＋2).因为A⊆B，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2≤1，,a＋2≥3，))解得1≤a≤3.所以实数a的取值范围为[1，3].考点三集合的运算角度1集合的基本运算【例2】(1)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁UB)＝()A.{－3，3} B.{0，2}C.{－1，1} D.{－3，－2，－1，1，3}(2)集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是()A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，1) D.(－∞，1]答案(1)C(2)B解析(1)∁UB＝{－2，－1，1}，∴A∩(∁UB)＝{－1，1}.故选C.(2)易得M＝{x|2x2－x－1<0}＝{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<1))}.∵N＝{x|2x＋a>0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(a,2)))))，∴∁UN＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2))))).由M∩(∁UN)＝∅，则－eq\f(a,2)≤－eq\f(1,2)，得a≥1.角度2利用集合的运算求参数【例3】(1)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6) B.[1，2)C.[2，4) D.(2，4](2)已知集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为()A.(－∞，－3]∪[2，＋∞) B.[－1，2]C.[－2，1] D.[2，＋∞)答案(1)C(2)C解析(1)因为x2－4x－5<0，解得－1<x<5，则集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B＝{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(m,2)})).又因为A∩B中有三个元素，所以1≤eq\f(m,2)<2，解之得2≤m<4.故实数m的取值范围是[2，4).(2)集合A＝{x|y＝eq\r(4－x2)}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A.又B≠∅，所以有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥－2，,a＋1≤2，))所以－2≤a≤1.名师点拨1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.【训练2】(1)(多选)(2021·长沙调研)已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，则集合N可能为()A.{1，2，3，4，5} B.{4，5，6}C.{4，5} D.{3，4，5}(2)(多选)已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是()A.A∩B＝∅B.A∪B＝{x|－2≤x≤3}C.A∪∁RB＝{x|x≤－1或x＞2}D.A∩∁RB＝{x|2＜x≤3}答案(1)BC(2)BD解析(1)由集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根据选项，可得集合N可能为{4，5，6}，{4，5}.故选BC.(2)∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，A不正确；A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，B正确；∵∁RB＝{x|x＜－2或x＞2}，∴A∪∁RB＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，C不正确；A∩∁RB＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，D正确.课后跟踪训练【基础巩固】一、选择题1.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩(∁UA)＝()A.{1，6} B.{1，7}C.{6，7} D.{1，6，7}答案C解析由题意知∁UA＝{1，6，7}.又B＝{2，3，6，7}，∴B∩(∁UA)＝{6，7}.2.(2021·西安调研)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5) B.[2，5)C.(2，5] D.[2，5]答案C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.3..(2021浙江卷)设集合，，则（）A. B. C. D.答案C解析由交集的定义结合题意可得：.4.(2021·河南部分重点中学联考)已知集合A＝{x|x<0}，B＝{x|x2＋mx－12＝0}，若A∩B＝{－2}，则m＝()A.4 B.－4 C.8 D.－8答案B解析∵A∩B＝{－2}，可知－2∈B，所以(－2)2－2m－12＝0，解得m＝－4.5．（2021·四川树德中学高一月考）已知集合，集合，则集合等于（）A． B． C． D．答案C解析集合，集合或，则，所以.6.设集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝3}，则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3答案C解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝3))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))∴A∩B＝{(2，－1)}.由M⊆(A∩B)，知M＝∅或M＝{(2，－1)}.7.已知集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1≥0}，全集U＝R，则A∩(∁UB)＝()A.(－∞，1) B.(－2，1)C.(－3，－1) D.(3，＋∞)答案A解析由题意A＝{x|x<2或x>3}.又B＝{x|x≥1}，知∁UB＝{x|x<1}，∴A∩(∁UB)＝{x|x<1}.8.(2021·广东重点中学联考)设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为()A.－2 B.2 C.3 D.4答案C解析因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.二、填空题9.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B＝________.答案{1，2}解析∵A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝{1，2}.10.(2021·长沙检测)设集合A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，B＝{x|1<x≤9}，则(∁RA)∩B＝________.答案(1，3)解析因为A＝{x|y＝eq\r(x－3)}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁RA＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(∁RA)∩B＝(1，3).11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.12.若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁UB)＝________.答案{x|x<－1或x≥2}解析由题意，得集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，因为log3(2－x)≤1＝log33，所以0<2－x≤3，解得－1≤x<2，所以B＝{x|－1≤x<2}，从而∁UB＝{x|x<－1或x≥2}，故A∩(∁UB)＝{x|x<－1或x≥2}.【能力提升】13.(2021山东济宁邹城月考)如图所示，阴影部分表示的集合是()A.(∁UB)∩A B.(∁UA)∩BC.∁U(A∩B) D.(∁UB)∩∁U(A