专题06 幂函数及其复合函数的综合问题（重难点突破）教师用-课后辅导专用2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题06幂函数及其复合函数的综合问题一、考情分析二、考点梳理重难点一幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减三、题型突破重难点1求幂函数的解析式幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.例1．（1）已知幂函数的图象过点，则的值为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】设幂函数的表达式为，则，解得，所以，则.故答案为B.【点睛】本题考查了幂函数，以及对数的运算，属于基础题．（2）.（2020·河北衡水中学调研）幂函数在上为增函数，则实数的值为（）A．0 B．1 C．1或2 D．2【答案】D【解析】由题意为幂函数，所以，解得或.因为在上为增函数，所以，即，所以.故选D.（3）.（2020·陕西省高二期末（文））若函数是幂函数且在是递减的，则（）A．-1 B．2 C．-1或2 D．3【答案】A【解析】函数是幂函数且在是递减的，则，解得．故选：A．【变式训练1-1】.（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y＝f(x)经过点(3，eq\r(3))，则f(x)是()A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数【答案】D【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，eq\r(3))代入解析式得3α＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(1,2)，∴y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D．【变式训练1-2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x)<x，则α的取值范围是()A．(0，1) B．(－∞，1)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)【答案】B【解析】当x>1时，恒有f(x)<x，即当x>1时，函数f(x)＝xα的图象在y＝x的图象的下方，作出幂函数f(x)＝xα在第一象限的图象，由图象可知(图略)α<1时满足题意．故选B【变式训练1-3】．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）已知幂函数的图象过点，则的值为A． B．2 C．4 D．【答案】B【分析】根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值．【详解】设幂函数为，的图象过点，．，，故选B．【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，同时考查了幂函数的概念，属于基础题.重难点2幂函数的图像及其性质的应用(二)幂函数的图像及其性质的应用1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．②幂函数的指数与图象特征的关系当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点过(0，0)，(1，1)过(0，0)，(1，1)过(1，1)凹凸性下凸上凸下凸单调性递增递增递减举例y=x2、例2．（1）（2020·全国高一课时练习）如图，若，分别为函数和的图象，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的图象特征，即可直接得到大小关系.【详解】根据，分别为函数和的图象，可得，，且.故选：B【点睛】本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题.（2）．（2021·全国高一课时练习）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是①②③④A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】B【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项【详解】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选Ｂ．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．【变式训练2-1】.（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为()A．c<b<a B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b【答案】A【详解】试题分析：由幂函数图像特征知，，，，所以选A．考点：幂函数的图像特征．【变式训练2-2】.（2020·全国）在同一直角坐标系中，函数，的的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】就和分类讨论可得正确的选项.【详解】解：当时，函数为增函数，且图象变化越来越平缓，的图象为增函数，当时，函数为增函数，且图象变化越来越快，的图象为减函数，综上：只有D符合故选D．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像性质，属于基础题.2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.例3．（1）（2020·新疆乌鲁木齐·乌市八中高一月考）设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a【答案】A【详解】试题分析：∵函数是减函数，∴；又函数在上是增函数，故.从而选A考点：函数的单调性.（2）．（2020·全国高一课时练习）设则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a【答案】B【分析】根据指数函数为减函数与为增函数即可得.【详解】因为为减函数,故,又故,即,即b>a>c故选B【点睛】本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题,属于基础题型.【变式训练3-1】．已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由已知得：，解得：，所以，因为，，，又，所以由在上递增，可得：，所以.【点睛】本题在比较、、三个数的大小时，引入中间变量1，这是比较大小的常用方法.【变式训练3-2】．（2021·辽宁高三一模）若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数函数、指数函数的单调性质直接求解.【详解】；.故选：B【点睛】本题考查指对数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.【变式训练3-3】．（2020·全国高三专题练习（文））已知，则A． B．C． D．【答案】A【详解】因为，且幂函数在上单调递增，所以b<a<c.故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.重难点3复合函数例4．（1）（2019·江苏高一期中）已知函数，当且时，，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意得函数在单调递减，再由分段函数单调性需满足在两段都单调递减，且在时，函数最小值大于或等于在时，函数的最大值.【详解】因为且时，，所以在单调递减，所以解得：.故选：C.【点睛】本题考查已知分段函数在定义域内单调，求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，注意考虑端点处的函数值.（2）．（2020·唐山市第十一中学高二期末）函数的单调增区间为_________.【答案】【详解】额定义域为（0，1），令,则原函数可以写成为增函数，原函数的增区间即是函数，(0,1)的增区间，函数)的单调增区间是（0，）【点睛】复合函数求其单调区间运用同增异减，先看原函数的单调性，再看复合部分的单调性，从而得出最后的单调区间．【变式训练4-1】．（2020·浙江高一期末）已知是上的增函数，则实数的取值范围是____．【答案】【分析】根据是上的增函数,根据一次函数单调递增则斜率大于0,指数函数中底数大于1,分段处时满足增函数定义分别列式求解即可.【详解】由是上的增函数可得故故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,需要注意分段单调递增,且在区间分段处也要满足递增的性质,属于基础题型.【变式训练4-2】．（2020·商丘市第一高级中学高一期中）函数的单调递增区间为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出的定义域,再利用同增异减以及二次函数的图像判断单调区间即可.【详解】令,得f(x)的定义域为,根据复合函数的单调性规律,即求函数在上的减区间,根据二次函数的图象可知为函数的减区间.故选B【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及复合函数的单调区间等,属于基础题型.例5．（2021·全国高一课时练习）已知函数且.（1）求函数的定义域.（2）判断并证明函数的奇偶性.【答案】（1）（2）函数是奇函数，证明见解析【分析】（1）根据对数函数的定义域，结合不等式的解法，可得结果.（2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与之间的关系，可得结果.【详解】解：（1）要使式子有意义，则解得函数的定义域为（2）函数是奇函数.证明:由（1）知定义城为所以则即函数是奇函数，【点睛】本题考查函数定义域以及判断函数的奇偶性，奇偶性的判断：①定义域关于原点对称②若，则为奇函数；若，则为偶函数，属基础题.【变式训练5-1】．（2021·天水市第一中学）已知函数．（1）若的值域为，求实数的取值范围;（2）若在内为增函数，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【详解】令.(1)的值域为能取的一切值,.例6．（2020·全国高一专题练习）已知函数，求其单调区间及值域【答案】函数的单调增区间是减区间是；值域是．【分析】先换元，再利用指数函数的单调性求解.【详解】令u(x)=，则u-4由二次函数性质得：函数u(x)=在单调递减，在单调递增由复合函数单调性判断法则得：原函数的单调增区间是减区间是；因为为单调减函数所以综上所述：函数的单调增区间是减区间是；值域是【点睛】本题考查了复合函数值域的求解；复合函数值域的求解方法通常用换元法，其中需要注意的是要准确求得新元的范围，解题中用到了整体思想.【变式训练6-1】．（2021·河北石家庄二中高一月考）设函数是定义R上的奇函数．（1）求k的值；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.【分析】（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，所以，所以，解得，所以，当时，，所以为奇函数，故；（2）有解，所以有解，所以只需，因为（时，等号成立），所以；（3）因为，所以，可令，可得函数t在递增，即，则，可得函数，，由为开口向上，对称轴为的抛物线，所以时，取得最小值，此时，解得，所以在上的最小值为，此时．【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.

四、定时训练（30分钟）1．幂函数图象过点，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，因为幂函数图象过点，所以有，解得，所以，因为，所以.故选：A2．幂函数的图象经过点，则是（）A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数C．奇函数，且在上是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数【答案】D【解析】设幂函数，因为图象经过点，所以，.故，因为，所以为非奇非偶函数，且在上是增函数.故选：D3．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为()A．2 B．－1 C．－1或2 D．0【答案】B【解析】由题意得，故选：B.4．（2019·江苏）函数的单调减区间为________．【答案】(－∞，1]【解析】【分析】根据题意，设，则，由二次函数和指数函数的性质分析可得以及的单调区间，由复合函数的单调性分析可得答案．【详解】设u＝－x2＋2x＋1，因为y＝u在R上为减函数，所以函数f(x)＝－x2＋2x＋1的减区间即为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．又u＝－x2＋2x＋1的增区间为(－∞，1]，所以f(x)的减区间为(－∞，1]．故答案为.【点睛】本题主要考查函数单调性的应用、二次函数的图象和性质等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想．复合函数的单调性的判断方法，即同增异减，在解决函数问题时需要格外注意函数的定义域.5．（2018·全国高一专题练习）已知幂函数的图象过点，则函数的值为__________．【答案】【解析】分析：先根据幂函数定义求出幂函数表达式，然后计算即可.详解：设幂函数为：因为幂函数的图象过点，故，所以=，所以=,故答案为点睛：考查幂函数的定义和简单计