专题06 幂函数及其复合函数的综合问题（课时训练）教师用-课后辅导专用2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题06幂函数及其复合函数的综合问题A组基础巩固1．（2020·全国）在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.【详解】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数的图像特征，属于基础题.2．（2020·磐安县第二中学）若函数是幂函数，则（）A．3 B． C．3或 D．【答案】C【分析】根据幂函数定义可知,解方程即可求得的值.【详解】因为函数是幂函数,所以,解得或.故选:C【点睛】本题考查了幂函数的定义,属于基础题.3．（2020·重庆高三其他模拟（文））已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（）A．1 B．﹣1 C．0 D．【答案】B【分析】由题目条件，可判定出函数是周期为4的周期函数，据此可得，结合函数的解析式可得答案.【详解】,又为上的奇函数，，是周期为4的周期函数，故选：B【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性等性质，对数函数的函数值，是基础题.4．（2020·江苏仪征市第二中学高三月考）已知幂函数的图象过点，则______．【答案】3【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.【详解】设，由于图象过点,得，，，故答案为3.【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5．（2020·山东省青岛第十六中学高一月考）已知函数是幂函数，且在上单调递增，则实数________.【答案】2【分析】由函数是幂函数，求得或，结合幂函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数是幂函数，可得，即，解得或，当时，函数，此时在上单调递增，符合题意；当时，函数，此时在上单调递减，不符合题意，故答案为：.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及图像与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的定义，结合幂函数的图象与性质进行判定是解答的关键，着重考查运算能力.6．（2020·湖北武汉·高一期中）幂函数在上是减函数，则实数的值为______.【答案】-1【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.【详解】由幂函数知，得或.当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，∴.故答案为【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.7．（2020·山东高一期中）幂函数在上为增函数，则实数的值为_______．【答案】【分析】由函数是幂函数，列方程求出的值，再验证是否满足题意．【详解】解：由函数是幂函数，则，解得或；当时，，在上为减函数，不合题意；当时，，在上为增函数，满足题意．故答案为．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．8．（2017·湖北荆州中学高一期中（理））若函数的值域为R，则实数k的取值范围为_____．【答案】【分析】将问题转化为能取尽所有的正数，然后再分和两种情况，并结合函数的性质求解即可．【详解】∵函数的值域为R，∴能取尽所有的正数．①当时，，能取尽所有的正数，符合题意；②当时，要使能取尽所有的正数，则需满足，解得或，综上可得或,∴实数的取值范围为.【点睛】解答本题的关键是深刻理解题意，解题中容易出现的错误是将“函数的值域为R”与“函数的定义域为R”误认为相同；另外，解题时还要注意分类讨论思想方法的灵活运用．9．（2018·栖霞市第一中学高三一模（文））已知函数则__________．【答案】【解析】由题意得，故．答案：10．（2017·全国）函数，的值域为________．【答案】.【解析】∵，∴.∴.∴值域为.B组能力提升11．（2020·洛阳市第一高级中学高三月考（理））已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】B【分析】根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.【详解】由题可知：函数是幂函数则或又对任意的且，满足所以函数为的增函数，故所以，又，所以为单调递增的奇函数由，则，所以则故选：B【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如，属中档题.12．（2020·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一期中）已知函数，满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题先判断函数是定义在上的减函数，再运用分段函数的单调性求参数范围即可.【详解】因为函数满足对任意的，都有成立，所以函数是定义在上的减函数，所以，解得，所以故选：B【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数范围，关键点是数形结合.13．（2019·青铜峡市高级中学高一期中）已知函数，求．判断并证明函数的奇偶性；已知，求a的值．【答案】（1）1；（2）；（3）100.【解析】【分析】将x=1代入计算即可；先求定义域并判断是否关于原点对称，然后用奇偶性定义判断；先计算f（lga），再解方程可得．【详解】；要使函数有意义，则，解得，函数的定义域为；，函数为奇函数．，，且，解得．．【点睛】本题考查了函数奇偶性定义证明及对数的运算性质，属基础题．(2)在内为增函数在内单调递减且恒正,.14．（2019·全国高一单元测试）求函数在上的值域．【答案】.【分析】值域是y的取值范围，将指数看做一个整体，利用指数函数和二次函数的性质即可求出值域.【详解】解：而，则当时，；当时，∴值域为【点睛】本题考查二次函数和指数函数的复合函数的域的求法，关键是明确构建出复合函数的两个基本函数，再结合基本函数的定义域、值域和单调性“由内向外”的求解复合函数的值域.15．（2020·全国高一单元测试）已知是常数）为幂函数，且在第一象限单调递增．（1）求的表达式；（2）讨论函数在，上的单调性，并证之．【答案】（1）；（2）在，，上单调递减，在，上单调递增，证明见解析.【分析】（1）根据函数是幂函数，结合单调性，列出方程，求得结果；（2）根据（1）中所求得到解析式，再利用函数单调性的定义，即可判断和证明.【详解】（1）是常数）为幂函数，且在第一象限单调递