专题07 函数与方程（课时训练）教师用-课后辅导专用2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版）

专题07函数与方程A组基础巩固1．（2021·四川雅安·（文））函数的零点所在的大致区间为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】因为为增函数，故代入区间端点逐个计算，左负右正即可.【详解】因为、为增函数，所以为增函数，且，，，，根据零点存在性定理知的零点在区间内.故选：B2．（2021·定远县育才学校高一期中（理））设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得，再求的符号，只须找到满足即可【详解】取，因为，所以方程近似解，取，因为，所以方程近似解，故选：A.3．（2021·全国高一专题练习）已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果.【详解】因为函数在上显然是连续函数，和在上都是增函数，当时，，所以在上恒成立；当时，，所以在上也恒成立；当时，，所以在上恒成立，又，，根据函数零点存在性定理，可得的其中一个零点的初始区间可为故选：C.【点睛】方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果.4．（2021·山东高二期末）定义在上的奇函数满足：当时，，则在上方程的实根个数为（）A．1 B．3 C．2 D．2021【答案】B【分析】当时，作出函数，的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇函数图象的对称性以及，即可求出方程所有根的个数.【详解】①当时，令，即，在同一坐标系中作出函数，的示意图，如下图：函数为单调增函数，为单调减函数，可知两个图象有且只有一个交点P，横坐标记为.即时方程有且只有一个实根，②因为函数是定义在R上的奇函数，所以当时，方程也有一个实根，③又∵是R上的奇函数，，∴即0也是方程的根，综上所述，方程有3个实根.故选：B.5．（2021·贵州省瓮安第二中学高一月考）函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合函数零点的存在性定理即可得出结果.【详解】因为是连续的减函数，，，，，有，所以的零点所在的区间为．故选：C6．（2021·全国高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判断出在上是增函数，利用零点存在定理列不等式组，即可解出a的范围.【详解】因为和在上是增函数，所以在上是增函数，所以只需即可，即，解得.故选：D．7．（2021·北京市一零一实验学校高二期末）已知函数，若关于的方程恰有两个不同实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知函数与的图象恰有两个不同的交点，作出函数的图象，数形结合即可求解.【详解】若关于的方程恰有两个不同实根，则函数与的图象恰有两个不同的交点，作出的图象如图：当时，，所以当时，，当时，，当时，，此时最大值为，由图知：当或时函数与的图象恰有两个不同的交点，所以实数的取值范围是，故选：C.8．（2021·全国）若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设知有四个不同的实数解，易知即可求m的范围.【详解】由题设，有四个不同的实数解，∴，即，故，则，可得.故选：D9．（2021·广东高一单元测试）函数的零点所在的大致区间是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】函数在上是连续增函数，根据，根据零点存在定理可得零点所在的大致区间．【详解】解：对于函数在上是连续增函数，由于，，所以，根据零点存在定理可知，函数的零点所在的大致区间是，故选：．10．（2021·深州长江中学高二期末）函数的图像大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的零点为2、4,并结合时的函数值即可得答案.【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；因为时，所以排除D,故选:A11．（2018·义乌市义亭中学高一期中）设函数，则函数的零点个数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】解方程，求出根即可得到结论.【详解】令，先解，即或，解得：t=-1或t=1.；当t=-1时，有或，解得：或；当t=1时，有或，解得：或；所以函数的零点有4个.故选：C【点睛】求函数零点类问题分为两大类：(1)零点直接解出来：方程可解；(2)二分法估计：方程不可解，用零点存在定理判断零点存在范围，用二分法求近似值.12．（2021·赣州市第一中学高二期末）已知函数，则函数的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】设，即，解得或，即方程和的根的个数即为答案.分和分别解出方程即可.【详解】函数的零点，即方程的根.设，当时，，解得，即当时，，解得当时，，解得当时，，解得，即当时，，解得(舍)当时，，解得所以函数有3个零点.故选：B13．（2020·江苏省西亭高级中学高一月考）已知函数，若函数，存在2个零点，则的取值范围是______．【答案】【分析】由题可得，有两个解，再数形结合分析即可【详解】函数存在2个零点，即有两个解，即的图象有两个交点，数形结合可得故答案为：【点睛】解决函数零点个数问题一般转化为函数与的图象有两个交点，再数形结合分析14．（2021·全国高一单元测试）已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围___________.【答案】【分析】先将函数与轴有个交点，转化成与的交点问题，再作出分段函数的图像，利用数形结合求得范围即可.【详解】依题意，函数与轴有个交点，即与有3个交点，作分段函数的图像如下，由图可知，的取值范围为.故答案为：.15．（2021·乌鲁木齐市第四中学高二期末（文））函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】根据指数函数和二次函数的图象画出分段函数的图象，考察与直线的图象要有三个不同交点，由图象可得m的取值范围.【详解】画出函数与的图象，如图所示，注意当时，,,∵函数有三个不同的零点，∴函数与的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为.故答案为：.16．（2021·浙江）已知函数为奇函数（1）求的值；（2）用定义证明：在上的单调递增；（3）若有一个实根，求实数k的值【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或.【分析】（1）利用奇函数的定义列式求解；（2）根据函数单调性的定义证明，取值，作差，判断单调性；（3）将有一个实根，转化为函数与函数的图像有一个交点，作出函数的图像，结合图像与函数的单调性判断值.【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，即，得；（2）由（1）知，，任取，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上的单调递增；（3）有一个实根，即函数与函数的图像有一个交点，作出函数的图像如图所示，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当，在上单调递减，在上单调递增，所以，结合图像可知，当或时，函数与函数的图像有一个交点，所以或.

B组能力提升17．（2022·全国高三专题练习）已知函数下列关于函数的零点个数判断正确的是（）A．当a＞0时，至少有2个零点B．当a＞0时，至多有7个零点C．当a＜0时，至少有4个零点D．当a＜0时，至多有4个零点【答案】B【分析】画出f(x)的图象，再分a＞0，a＜0两种情况分析复合函数的零点个数即可．【详解】解：对于y＝x3﹣3x，x≤0，y′＝3x2﹣3，令y′＝0，可得x＝±1，故y＝x3﹣3x，x≤0在x＝﹣1处取最大值2．①当a＞0时：要取得最少的零点个数，则a＞1，此时（x＞0）此时函数图象如图．故有，故f(x)＝﹣1，由图得y＝f（f(x)）﹣2零点个数为1．故A错误．要取得最多的零点个数，则此时0＜a＜1，此时＜2，（x＞0）．如图故有，所以f1(x)＝﹣1，f2(x)＝t1，f3(x)＝t2．其中t2，t1＜，∴f1(x)＝﹣1有一根，f2(x)＝t1最多2个根，f3(x)＝t2．最多有4个根，一共最多有7个零点．故B正确．②当a＜0时，函数y＝x+为增函数，画出图象有令y＝f（f(x)）﹣2＝0有f1(x)＝﹣1，f2(x)＝t，其中t+＝2即t2﹣2t+a＝0，由图知t＞0，故t＝1+＞2．故f1(x)＝﹣1有2个零点，f2(x)＝t有一个零点．故一共有3个零点．所以C，D错误．故选：B．18．（2022·全国高三专题练习）已知函数若关于x的方程有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用换元法设，则等价为有且只有一个实数根，分三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出的取值范围.【详解】令，则方程等价于，当时，此时当时，，此时函数有无数个零点，不符合题意；当，则，所以由，得，则关于x的方程有且只有一个实数根等价于关于x的方程有且只有一个实数根，作出的图象如图：当时，由图象可知直线与的图象只有一个交点，恒满足条件；当时，要使直线与的图象只有一个交点，则只需要当时，直线与的图象没有交点，因为时，，此时最小值为，所以，综上所述，实数a的取值范围是，故选：B.19．（2020·四川省蒲江县蒲江中学高三月考（理））已知函数且方程恰有四个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出函数的图象，由图象得出与函数的图象交点个数，问题转化为一元二次方程有某区间有有两个不等实根，然后由二次方程根的分布知识求解．【详解】作出函数的图象，如图，由图象可知与函数的图象交点个数是：时，有两个交点，或时，只有一个交点，时，无交点．方程恰有四个不同的实根，则设，有，则此方程在上有两个不等实根．，解得．故选：B．20．（2021·湖南周南中学）已知函数是定义域为的偶函数，当时，若关于的方程有且只有7个不同实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先画出的图象，令，化简题目所给方程，结合图象求得的取值范围.【详解】依题意，画出图象如下图所示，当时，，依题意关于的方程有且只有个不同实数根.设，则方程必有两个根，且，，所以.故选：B21．（2021·汕10．（2021·重庆垫江第五中学校高三月考）已知函数，且方程有5个不等的实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合图象分析，一共5个不等实根，即可得解.【详解】方程有5个不等的实根，，一共5个不等实根，作出函数图象：其中其中有两个不等实根，所以有三个不等实根，所以，.故选：C22．（2021·江苏高二月考）已知函数是定义在的偶函数，且当时，若函数有8个零点，分别记为，，，，，，，，则的取值范围是______.【答案】【分析】由偶函数的对称性，将转化为，再根据二次函数的对称性及对数函数的性质可进一步转化为，结合利用二次函数的性质即可求解.【详解】解：因为函数有8个零点，所以直线与函数图像的交点有8个，如图所示：设，因为函数是定义在的偶函数，所以函数的图像关于轴对称，所以，且由二次函数对称性有，由有，所以又，所以，所以，故答案为：.23．（2021·浙江诸暨中学）已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为________【答案】【分析】令，根据题设条件探求出方程有4个互不相同的实根，再借助一元二次方程实根分布即可作答.【详解】当时，的图象是图象右移1个单位并去掉y轴及左侧的部分，当时，的图象是抛物线去掉y轴右侧的部分，如图，令，原方程化为：，令，观察图象知，直线与的图象最多有4个公共点，即关于的方程最多4个根，而关于的方程有个不相等的实数根，则关于的方程有4个根，，并且关于t的方程在上有两个不等实根，于是得：，解得：，所以实数的取值范围是.故答案为：24．（2021·九江市第三中学（理））已知若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是________．【答案】【分析】先作出函数的图象，然后根据函数的零点与方程的根的关系，结合二次方程的实根分布问题即可求解.【详解】如图所示，作出的图象，令显然不是方程的解，若是方程的解，则，此时，结合图象可知不满足题意，所以恰有5个零点等价于一个解在，一个解在，，令，

则，解得，．故答案为：．25．（2021·运城市新康国际实验学校高三月考（理））已知函数，．若方程恰有个互异的实数根，则实数_____．【答案】或【分析】作出函数与函数的图象，数形结合可得出关于实数的等式，由此可解得函数的值.【详解】在同一直角坐标系内作出函数与函数的图象，由图可知，函数与函数相切，则或，整理可得，，解得或.故答案为：或.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.26．（2021·浙江）已知函数，关于x的方程恰有两个不相同的实根，．（1）求a的取值范围；（2）是否存在a使得成立，若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）等价于恰有两个不相同的实根，再分和两种情况讨论，结合二次方程根的分布分析得解；（2）对分、、、四种情况讨论分析得解.【详解】（1）恰有两个不相同的实根，恰有两个不相同的实根，①当即时，，则有两个不相同的实根，故解得；②当即时，当时原方程等价，恒成立，故在有一根，当时，原方程等价于，恒成立，故在上有一根，故满足题意；综上所述，．（2）当时，，，此时，不合题意；当时，，，，符合题意；当时，由（1）可知，，故，，所以不存在a使得成立.当时，由（1）可知，故，，故，则成立，故∵，∴，∴，因为，所以舍去.综上所述，当时，成立．27