高等数学：定积分及其应用

定积分及其应用5.1定积分的概念5.2定积分的性质5.3微积分的基本定理5.4定积分的换元积分法与分部积分法5.5

反常积分5.6定积分的应用本章小结

5.1定积分的概念

一、引例

1.曲边梯形的面积

所谓曲边梯形,是指由一条连续曲线y=f(x)及三条直线x=a、x=b、y=0(x轴)所围成的图形AabB,如图5-1(a)所示,其中线段ab称为曲边梯形的底,线段aA和bB都垂直于x轴,称为曲边梯形的腰.在特殊情况下,有一腰或两腰退化为一点的图形(见图5-1(b)(c))仍视为曲边梯形.图5-1

现在,我们来求由任意连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b和y=0围成的曲边梯形的面积S,如图5-2所示.为方便起见,不妨假定f(x)>0.图5-2

我们知道,矩形的高是不变的,它的面积可按公式“S矩形=底×高”来计算.而由图5-2不难看出,曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上是变化的,故不能用矩形的面积公式计算曲边梯形AabB的面积.但是,我们可以先求曲边梯形面积的近似值,再利用极限得到曲边梯形面积的精确值,分为以下四个步骤:

1)分割(化“整”为“零”)

2)近似(以“粗”代“精”)

由于f(x)在[a,b]上连续变化,在很小一段区间上它的变化很小,近似于不变,因此我们可以在每个小区间[xi-1,xi](i=1,2,3,…,n)上任意取一点ξi,用f(ξi)来近似代替该区间上小曲边梯形的高,这样得到的小矩形的面积可以看作是该区间上小曲边梯形面积的近似值,即

3)求和(合“零”为“整”)

将n个小矩形面积加起来,得到曲边梯形面积S的近似值,即

显然,小曲边梯形分得越小,近似程度越高.

4)取极限(去“粗”取“精”)

记表示n个小区间的最大长度.当λ→0时(此时所有小区间的长度都趋于零,意味着分点数n-1无限增多).若式(5-1)存在极限,则极限值就应是曲边梯形的面积,即

2.变速直线运动的路程

我们知道,当物体作匀速直线运动时,其路程等于速度乘以时间.如果物体作变速直线运动,即速度v是时间t的函数,记v=v(t),那么如何计算物体在时间段[T1,T2]上运动的路程s呢?我们采用上述方法进行分析:

从上面两个引例可以看出,虽然两个问题的背景不同,但解决问题的思路和方法是相同的,都是用“分割、近似、求和、取极限”这四步解决,最后都统一为求具有相同结构的一种特定和式的极限.在工程中,还有许多实际问题也是用这种方法解决的.我们可抛开这类问题的实际意义,抓住它们在数量关系上的共同本质与特性加以概括,抽象出定积分的概念.

由定积分的定义可知,两个引例中的极限可表示成如下定积分:

(1)曲边梯形的面积是函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分,即

(2)物体作变速直线运动所经过的路程是速度函数v=v(t)在时间段[T1,T2]上的定积分,即

定理5-1若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.

定理5-2若函数f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则函数f(x)在区间[a,b]上可积.图5-4图5-5

5.2定积分的性质

由定积分的定义以及极限的运算法则与性质,可以得到定积分的几个简单性质:

性质5-1被积函数的常数因子可以提到积分号外面,即

性质5-2两个函数代数和的定积分等于定积分的代数和,即

性质5-3(积分区间的可加性)设a≤b≤c,则有

其中a、b、c为任意实数.

性质5-4若被积函数f(x)≡1,则有

性质5-5-若f(x)、g(x)在[a,b]上满足条件f(x)≤g(x),则

性质5-6(估值定理)若函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M、m,则

它的几何意义是:设f(x)≥0,则以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积介于以b-a为底、以最小纵坐标m为高的矩形与最大纵坐标M为高的矩形面积之间,如图5-6所示.图5-6

性质5-7(积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少有一点ξ,使得式(5-3)成立

性质7的几何意义如图5-7所示,即以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积等于以b-a为底、f(ξ)为高的矩形面积.

通常称

为连续函数f(x)在[a,b]上的平均值.在图5-7中,f(ξ)可看作曲边梯形的平均高度.显然它是算术平均值概念的推广.图5-7

5.3微积分的基本定理

一、引例

由5.1节可知物体作变速直线运动所经过的路程是速度函数v=v(t)在时间[T1,T2]上的定积分,即另外,这段路程也可以通过路程函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量s(T2)-s(T1)来表达,即

二、变上限的定积分

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,x∈[a,b],对于定积分∫xaf(x)dx来说,由于定积分的值与积分变量的表示记号无关,因此为避免混淆,可把积分变量x换为t,则上面的定积分可以写成

它的几何意义见图5-8,为阴影部分面积.如果上限x在[a,b]上变动时,对于x的每一个取值,这个定积分都有一个确定值与之对应,所以它在[a,b]上定义了一个函数,记作

称为变上限积分函数.

这个函数Φ(x)具有下列重要性质.图5-8

三、微积分的基本定理

定理5-4设函数f(x)在区间[a,b]上连续,F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,则有

该公式称为微积分基本公式,也称为牛顿－莱布尼兹公式.

微积分基本公式进一步揭示了定积分和不定积分之间的联系,它把定积分问题转化为求不定积分的问题,即定积分的值等于被积函数的任一原函数在积分区间上的增量.这给定积分的计算找到了一条捷径,大大降低了定积分的计算复杂性.

5.4定积分的换元积分法与分部积分法

一、定积分的换元积分法函定理5-5-设函数f(x)在[a,b]上连续,而x=φ(t)是定义在[α,β]上的一个可微数,且满足:(1)φ(t)在区间[a,b]上有连续的导数φ'(t);

(2)φ(α)=a,φ(β)=b;

则

式(5-6)称为定积分的换元公式.

注:定积分换元时,一定要将积分限换成新变量的积分限,即“换元必换限”.

二、定积分的分部积分法

如果u(x)、v(x)在[a,b]上具有连续导数,由乘积的求导法则可知

5.5-反常积分

一、引例求由曲线与x轴、y轴所围成的“开口曲边梯形”的面积A.如图5-9所示.图5-9

二、无穷限上的反常积分

计算无穷限的反常积分时,为了书写上的方便,可以省去极限符号,将其形式改为类似牛顿莱布尼兹公式的格式:图5-10

三*、无界函数的反常积分

5.6定积分的应用

一、平面图形的面积下面我们介绍几类平面图形面积的求法:(1)由曲线y=f(x)、直线x=a、x=b(a<b)、y=0所围成的曲边梯形的面积(见图5-11)为图5-11图5-12

(3)由曲线x=φ(y)(φ(y)≥0)与直线y=c、y=d(c<d)及x=0所围成的曲边梯形(见图5-13)的面积为图5-13

(4)如果在[c,d]上总有ψ(y)≤φ(y),则曲线φ(y)与ψ(y)所围成的图形(见图5-14)面积为图5-14

例5-20如图5-15所示,求由抛物线y=x2和y2=x所围成的图形的面积.

解由图5-15易知两抛物线的交点为(0,0)和(1,1),因此所求面积为

这是选取x为积分变量.如果选取y为积分变量,则有图5-1

例5-21如图5-16所示,求由抛物线y2=2x及直线y=x-4所围成的图形的面积.

解由图5-16易求出抛物线与直线的交点为A(8,4)、B(2,-2).选取y为积分变量,则所求面积为

如果选取x为积分变量,我们就要将阴影面积分成S1和S2两块,所求面积为图5-16

二、旋转体的体积

旋转体是由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而形成的立体,该直线称为旋转轴.圆柱、圆锥、圆台、球等都可视为旋转体.下面我们给出求旋转体体积的公式.

连续曲线y=f(x)、直线x=a、x=b(a<b)及y=0(x轴)所围成的平面图形(见图5-17)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为图5-17

连续曲线x=φ(y)、直线y=c、y=d(c<d)及x=0(y轴)所围成的平面图形(见图5-18)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为图5-18

例5-22求椭圆所围成的平面图形分别绕x轴与y轴旋转而成的旋转体的体积.

解如图5-19所示,由于图形关于坐标轴对称,故只需考虑第Ⅰ象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积.图5-19

绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

类似地,绕y轴旋转的旋转体的体积为

特别地,当a=b=R时,可得半径为R的球体体积为

三、平行截面面积为已知的立体的体积

如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积,那么该立体的体积也可用定积分来计算。

取上述定轴为x轴,并设该立体在过点x=a、x=b(a<b)且垂直于x轴的两平面之间,以A(x)表示过点x且垂直于x轴