七年级数学下册第01课 相交线垂线（学生版）

第01课相交线，垂线目标导航目标导航课程标准1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.知识精讲知识精讲知识点01邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条，并且它们的另一边互为，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．注意：(1)邻补角的定义既包含了关系，又包含了关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为．(2)邻补角是出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有；②有；另一边互为.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有没有(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角．注意：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①的两个角；②有且一角的两边是另一角两边的.3.邻补角与对顶角的关系角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角；②有一个；③没有.对顶角.①都是两条直线相交而成的角；②都有一个公共顶点；③都是成对出现的.①有无公共边；②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.邻补角①两条直线相交而成；②有一个；③有一条.邻补角.注意：两直线相交，一个角的对顶角有个，但一个角与它相等的角有个，邻补角最多有个，而补角则可以有个；即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系。知识点02垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的，它们的交点叫．注意：(1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是：①使直角三角板的一条直角边和已知直线重合；②沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点；③沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．注意：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短．简称：．注意：（1）性质（1）成立的前提是在“”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离．注意：点到直线的距离是，是一个，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的．能力拓展能力拓展考法01概念辨析【典例1】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（）（3）有一条公共边的两个角是邻补角（）（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（）（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（）【即学即练】下列说法中正确的有_________________．①如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．③有一条公共边的两个角是邻补角．④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．【典例2】点到直线的距离是指（）A．从直线外一点到这条直线的垂线段 B．从直线外一点到这条直线的垂线，C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长 D．从直线外一点到这条直线的垂线的长【即学即练】有下列说法：①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直；②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直；③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直；④直线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离．其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个考法02邻补角与对顶角的应用【典例3】如图所示，直线和相交于点是一条射线．（1）写出的邻补角：__________________；（2）写出的邻补角：__________________；（3）写出的邻补角：__________________；（4）写出的对顶角：___________________．【典例4】如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是____度，你的根据是____________．【即学即练】如图，A、B、C为直线l上的点，D为直线l外一点，若，则的度数为______．【即学即练】如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠BOC的度数为__________°．【即学即练】如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD，并且OD是∠AOC的平分线，∠BOC=29°18′，则∠BOD的度数为___________．

考法03垂线的应用【典例5】过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（）A． B．C． D．【典例6】如图，计划把河水引到水池A中，可以先引AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是（）A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线 D．两点之间，直线最短【即学即练】如图所示，点P到直线l的距离是（）A．线段PA的长度 B．线段PB的长度 C．线段PC的长度 D．线段PD的长度【即学即练】点是直线外一点，、、为直线上的三点，，，，则点到直线的距离（）A．小于 B．等于 C．不大于 D．等于【典例7】如图，下列说法不正确的是（）A．点B到AC的垂线段是线段AB B．点C到AB的垂线段是线段ACC．线段AD是点D到BC的垂线段 D．线段BD是点B到AD的垂线段【即学即练】如图，，，表示点到直线距离的是线段（）的长度A． B． C． D．考法04综合应用【典例8】如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝36°，则∠BOD的大小为_____．【即学即练】如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF＝27°，则∠BOD的大小为_____．【典例9】如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠2=2∠1，求∠AOC的度数．解：∵OE⊥AB（已知）∴∠BOE（）即∠1+∠2又∵∠2=2∠1（已知）∴∠1=______度∴∠2=______度（等式性质）∵∠2与∠AOC是对顶角（已知）∴∠2=∠AOC（）∵∠2=_______度（已证）∴∠AOC=_________度（）【即学即练】给下面命题的说理过程填写依据．已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF＝∠BOC说明理由．理由：因为∠AOC＝∠BOD()，∠BOF＝∠BOD()，所以∠BOF＝∠AOC()．因为∠AOC＝180°－∠BOC()，所以∠BOF＝90°－∠BOC．因为EO⊥CD()，所以∠COE＝90°()因为∠BOE＋∠COE＝∠BOC()，所以∠BOE＝∠BOC－∠COE.所以∠BOE＝∠BOC－90°()因为∠EOF＝∠BOE＋∠BOF()所以∠EOF＝(∠BOC－90°)＋(90°∠BOC)（）所以∠EOF＝∠BOC．【典例10】如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC．(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；(2)若∠EOC：∠EOD＝2：3，求∠BOD的度数．【即学即练】如图：已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC=1：5，求∠AOE的度数．【即学即练】如图，已知直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．（1）写出图中∠AOC的对顶角，∠COE的补角是；（2）已知∠AOC＝60°，且∠COE：∠AOE＝1：2，求∠DOE的度数．分层提分分层提分题组A基础过关练1．图中的∠1、∠2可以是对顶角的是()A． B．C． D．2．下列说法正确的有()．①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在线段、、、中，长度最小的是（）A．线段 B．线段 C．线段 D．线段4．如图，经过直线l外一点A作l的垂线，能画出（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条5．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1＋∠2＝100°，则∠BOC等于（）A．130° B．140° C．150° D．160°6．如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于()A．30° B．34° C．45° D．56°7．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于().A．35° B．70°C．110° D．145°8．如图所示，已知直线AB、CD相较于O，OE平分∠COB，若∠EOB=55°，则∠BOD的度数是（）A．20 B．25° C．30° D．70°题组B能力提升练1．如图，与是对顶角，，，则______．2．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x－10)°和(110－x)°，则x＝_____．3．如图，直线AD与BE相交于点O，∠COD=90°，∠COE=70°，则∠AOB=_______．4．如图，直线相交于点O，，且，则______．5．如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CD⊥AB于D点．在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最短，这样设计的依据是________．6．如图，直线AB，AB相交于点O，OA平分∠EOC.若∠EOA∶∠EOD＝1∶3，则∠BOD＝______°.7．如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的大小为__________．题组C培优拔尖练1．如图，两直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，如果∠AOC：∠AOD＝7：11，（1）求∠COE；（2）若OF⊥OE，求∠COF．2．如图，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE（1）判断OF与OD的位置关系，并进行证明．（2）若∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．3．如图，与交于点，，，若，求的度数．解：，，，又，