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正方形导入新课观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形,在生活中无处不在.情景引入讲授新课
矩形〃〃问题1:矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?问题引入正方形的性质一正方形问题2菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现?正方形邻边相等矩形〃〃正方形〃〃
菱形一个角是直角正方形∟正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.归纳总结矩形菱形正方形平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系:性质:1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.归纳总结思考请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.
正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?对称性:
.对称轴:
.轴对称图形4条ABCD
例1求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.典例精析证明:∵四边形ABCD是正方形∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO例2如图,在正方形ABCD中,ΔBEC是等边三角形,求证:∠EAD=∠EDA=15°
.证明:∵
ΔBEC是等边三角形,∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°,∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°,∴△ABE,△DCE是等腰三角形,∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°,∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.【变式题1】四边形ABCD是正方形,以正方形ABCD的一边作等边△ADE,求∠BEC的大小.解:当等边△ADE在正方形ABCD外部时,如图①,AB=AE,∠BAE=90°+60°=150°.∴∠AEB=15°.同理可得∠DEC=15°.∴∠BEC=60°-15°-15°=30°;当等边△ADE在正方形ABCD内部时,如图②,AB=AE,∠BAE=90°-60°=30°,∴∠AEB=75°.同理可得∠DEC=75°.∴∠BEC=360°-75°-75°-60°=150°.综上所述,∠BEC的大小为30°或150°.易错提醒:因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边,所以边相等.本题分两种情况:等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部.【变式题2】如图,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC、PD.(1)求证:△APB≌△DPC;解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠DCB=90°.∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB,即∠ABP=∠DCP.又∵AB=DC,PB=PC,∴△APB≌△DPC.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠DAC=45°.∵△APB≌△DPC,∴AP=DP.又∵AP=AB=AD,∴DP=AP=AD.∴△APD是等边三角形.∴∠DAP=60°.∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°.∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°.∴∠BAP=2∠PAC.(2)求证:∠BAP=2∠PAC.1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等B.对角线互相垂直平分
C.对角互补D.对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质()
A.四条边相等B.对角线互相垂直平分C.对角线平分一组对角D.对角线相等BD练一练2.如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,AO=2,求正方形的周长与面积.解:∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OA=OD=2.在Rt△AOD中,由勾股定理,得∴正方
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