八年级数学下册《二次根式》单元测试卷(附答案解析)

八年级数学下册《二次根式》单元测试卷（附答案解析）

姓名：班级：考号：

一、单选题（每题4分，共40分）

1.下列正确的是（）

A.V4+9=2+3B.74x9=2x3C.9D.749=0.7

2.下列计算正确的是（）

A.疝-6=GB.V2x>/3=6C.6+0=5D.&+C=4

3.下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.y/l2B.C.>/1.5D.73

4.已知〃=5-26，b=5+2&,则/+从一3"的值为（）

A.5B.65C.95D.135

5.若l«a42,则化简J/-2a+i+|a-2］的结果是（）

A.2a—3B.3—2aC.-2。D.1

6.若花和最简二次根式二7是同类二次根式，则加的值为（）

A."1=5B.m=2C.m=3D./n=6

7.如图，在数轴上的位置如图所示，化简J/-|a+c|-而二苏的结果为（）

ab0c

A.2c—bB.-bC.bD.—2a—b

8.已知a,b,c分别是的三边，则cP—J（a+b—cP的值为（）

A.2bB.-2hC.a+2cD.2c-2a

9.己知实数。在数轴上的对应点位置如图，则化简|a-l卜河了的结果是（）

A.2a—3B.—1C.1D.3—2。

10.已知a,b均为有理数，且〃+人指=（血一6『，则d的值为（）

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A.25B.-10C.±D.-1

二、填空题（每空3分，共42分）

11.化简配+£=____；

12.计算：3+Gx2的结果为.

13.计算后-J历的结果是.

14.计算：，石+2-且=.

15.二次根式五-6的有理化因式可以是.

16.如果y=Jv-2+j2-x+3,那么x-y的值是.

17.当x=时，式子3+Jx-4有最小值,且最小值是

18.已知*=逐-1,则代数式V+5X-6的值为.

19.当a=5时，代数式的值是.

20.若最简根式J-2m+9与，5山-5是同类二次根式,则，“.

21.若、=Ji二1+J二斤+2,则2x+y的算术平方根为.

22.计算（G-2rX（＞/3+2）2（，22的结果是.

23.实数〃、〃在数轴上对应点的位置如图所示，化简河+河正-例的结果是

-----------------------►

Q0b

三、解答题（6个小题，共68分）

24.（1）先化简，再求值（6分）

（X—l）+（x+2）（x—2）—2x（x—1）,其中工=0.

（〃+6）（。一6）—。（。一3）,其中。=石.

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(2)计算：(6分)

4

(1+6)(&一旬+(2GT『

25.(10分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，

如：3+2&=1+2应+2=(1+&丫，善于思考的小明进行了以下探索：设a+匕应=(相+〃&丫(其中“、

均为整数)，则有a+=1+27?+2〃?小历.°+2/,b=2mn.这样小明就找到了一种

把部分〃+60的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、”均为正整数时，若a+Wi=(〃i+〃/)，用含〃八〃的式子分别表示“、匕的值；

(2)试着把7+46化成一个完全平方式；

26.(16分)观察下列等式，回答有关问题.

第1个等式.-==—=~型-r=-­(5/2-A/4)=--［5/2-2).

先］］寺即3m(a+4)(亚-司2、)2、>'

第2个等式：—2一咐;第3个等式号7rq(底24

(1)第4个等式为；

(2)第"个等式为；

⑶化简昌"*号后+忌夜++£廊(6分)

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27.（15分）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称

为这个分式的“巧整式例如：尤色=4X（D=4X,则称分式上上”是“巧分式”，4x为它的“巧整

式”.根据上述定义，解决下列问题.

（1）下列分式中是“巧分式”的有（填序号）；

①。”:丁）（；+2②号③

（x-l）（x+2）/+3x+y

（2）若分式『-4x+〃?（%为常数）是一个“巧分式,，，它的“巧整式，，为x—7,求机的值；

x+3

（3）若分式一2丁十”一6x的“巧整式,，为1,①求整式4；

A

②当》=后-3时，求整式A的值的整数部分.

28.（15分）阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方；

29.

如：3+272=（1+>/2）2,善于思考的康康进行了以下探索：

设4+从历=（〃?+〃夜）（其中。、匕、皿、〃均为正整数）；

则有4+。及=病+2〃2+2〃"2啦（有理数和无理数分别对应相等）;

：.a=m2+2n2,b=2nm,这样康康就找到了一种把式子a+人&化为平方式的方法.

请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：

⑴当心反小”均为正整数时，若4+匕代=卜+八四『，用含c、d的式子分别表示a、b,得：«=,

b=;

⑵若7-4百=卜-八且e、f均为正整数，试化简：7-46；

⑶化简：J7+J21-病•

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参考答案及解析：

1.B

【分析】根据"5石=如判断A选项；根据而=6.而620)判断B选项；根据"=同判断C选

项；根据算术平方根的定义判断D选项.

【详解】解：A、原式=布，故该选项不符合题意；

B、原式="x的=2x3,故该选项符合题意；

C、原式二弧于二寸，故该选项不符合题意；

D、0.72=0.49,故该选项不符合题意；

故选：B

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握病=6•、历(a20,620)是解题的关键.

2.A

【分析】原式各项化简得到结果，即可做出判断.

【详解】A、原式=26-6=6,正确;

B、原式=痛，错误；

C、6+夜为最简结果，不能合并，错误；

D、原式=J8=2=V?=2,错误；

故选：A.

【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键.

3.D

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时

满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.

【详解】解：•••瓦=在逅，被开方数含开得尽方的因数；

故A错误；

；£被开方数含有分母;

故B错误;

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•••疝被开方数含有分母；

故c错误；

VG被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，

故D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被

开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

4.C

【分析】由已知可得a-b=-4而，ab=\,因为原式=(。-%)2-断，再整体代入即可.

【详解】解：：a=5-26，b=5+2>/6；

••a—b=-4>/6,ab=\；

，原式=(a-8)2-"

=(-4向2-i

=96-1

=95.

故选：C.

【点睛】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握计算法则是关键.

5.D

【分析】利用值=|4去根号，再根据14a42化简绝对值即可.

【详解】解：；

・'・a-120,a—2«0；

{a2-2〃+1+|^-2|

=+|«-2|

=\a-2|

=a-\+2—a

=1.

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故选D.

【点睛】本题考查化简二次根式、化简绝对值，解题的关键是掌握好=的.

6.C

【分析】把我化简为最简二次根式，根据同类二次根式的定义，求出机即可.

【详解】♦:瓜=20；

・・・3加-7=2；

解得：m=3.

故选：C.

【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握最简二次根式的性质和同类二次根式的定义.

7.C

【分析】首先根据数轴可以得到14>同，然后根据绝对值的性质、二次根式的性质化简即可.

【详解】解：由数轴可得a<b<o<c,|4>|d；

/.a+cvO,c-b>0；

*'•原式=同一|。+。|_|。一.

=-a-[-(a+c)]-(c-b)

=-a+a+c-c+b

=b.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了数轴、化简绝对值以及二次根式的性质与化简，熟练运用二次根式的性质进行化

简是解题关键.

8.D

【分析】根据三角形的三边关系得。-人-c<0,a^b-c>Of进而化简二次根式即可得解.

【详解】解：•・&b、c是蛇的三边；

:.a-b-c<0,a+b-c>0；

yl(a-b-c)2-y](a+b-c)2

——a+Z?+c—(tz+h—c)

=—ci+Z?+c—ci—/7+c

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=一2。+2c

=2c-2a；

故选D.

【点睛】本题考查了三角形任意两边之和大于第三边以及二次根式的化简，熟练掌握三角形任意两边之和

大于第三边是解题的关键.

9.A

【分析】根据数轴上。的位置，判断出（a-1）和Q-2）的符号，再根据非负数的性质进行化简.

【详解】解：由图知：1<。<2；

67—1>0,a—2Vo；

原式二。一1一［一（。-2）］=。-1+（。-2）二2。-3.

故选：A

【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出4-1>0,2<0是解题的关键.

10.C

【分析】先求出〃+b帽=5-26，再根据a人均为有理数得到。=5,b=-2f由此代值计算即可.

【详解】解：•••a+b#=（四—；

Aa+676=（72J"-276+（73；

:.a+b瓜=2+3-2瓜,即a+b#=5-2n；

,：a,匕均为有理数;

；・a=5,b=-2；

/.ab=5~2=—；

25

故选C.

【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，代数式求值，负整数指数累，正确根据题意求出a=5,b=-2

是解题的关键.

11.6

【分析】根据二次根式的除法法则计算，即可求解.

【详解】解：J===6.

故答案为：6

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【点睛】本题主要考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键.

12.1

【分析】把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则计算即可.

【详解】解：3+6x国

*

=1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了二次根式的乘除，把运算统一到乘法上是解题的关键.

13.丛

【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案.

【详解】解：原式：=36-26=6;

故答案为：A/3.

【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二

次根式的合并.

14.4

【分析】首先进行分母有理化运算，再进行二次根式的加减运算，即可求得结果.

【详解】解：｛3+2-6

_2+"।）八

一（2一础2+用一”

=2+y/3+2-y/3

=4

故答案为：4.

【点睛】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行运算，二次根式的加减运算，熟练掌握和运用分母

有理化的方法是解决本题的关键.

is.G+6

【分析】运用平方差公式可找到4-4的有理化因式.

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【详解】解：：(6->/7)(&+6)=x-y；

的有理化因式为石+4.

故答案为：\[x+y[y-

【点睛】本题考查有理化因式，解题的关键是两个含有根号的代数式相乘，使它们的积不含有根式.

16.-1

【分析】先根据二次根式有意义的条件得到X=2,进而求出)，=3,由此即可得到答案.

【详解】解：•:y=，x-2+J2-X+3要有意义；

**•x—220,2—x^O；

Ax-2=0；

x=2；

y=3；

x—y=2—3=—1.

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大

于等于0是解题的关键.

17.43

【分析】先根据二次根式非负的性质求出X的值，进而可得出结论.

【详解】：•••^/I二^20

.♦.当x-4=0时，3+工会有最小值；

...当x=4时，3+7T4会有最小值，且最小值是3.

故答案为:4,3.

【点睛】本题考查二次根式的性质，熟知&(。20)是非负数是解答此题的关键.

18.3^-5##-5+375

【分析】把》=逐一1代入d+5x—6计算即可.

【详解】解：把x=6-l代入f+5x-6,得

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x~+5x—6=^A/5—1+5(>/5—1j—6

=5-2百+1+54-5-6

=3石-5.

故答案为：3石-5.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键.

19.0

【分析】将。=5代入计算即可.

【详解】解：将。=5代入得；

5/2a-10=72x5-10=0；

故答案为：0.

【点睛】本题考查了二次根式的求值，解题关键在于正确地计算.

20.2

【分析】根据最简二次根式如果是同类二次根式，被开方数相同列出方程即可求解.

【详解】解：•••最简二次根式与否”-5是同类二次根式；

/.-2m+9=5m-5；

解得m=2；

故答案为：2.

【点睛】本题考查了同类二次根式，解题关键是根据同类二次根式的定义列出方程.

21.2

【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再根据算术平方根的定义求解即可.

【详解】解：；y=Jl-x+Jx-1+2有意义；

[x-l>0

X—\；

二y=2；

，2x+y=2xl+2=4；

・・,4的算术平方根为2；

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.•.2x+y的算术平方根为2；

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大

于等于0是解题的关键.

22.1

【分析】利用积的乘方的逆运算及平方差公式，二次根式的相应的运算对式子进行求解即可.

【详解】(6-2广x(石+2广

=[(百-2卜(6+2);

H一可-12022

=(3-4产

=(-1)2022

=1；

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

23.-2a

【分析】先根据数轴的定义得出“<0,a-b©6〉0再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整

式的加减即可得.

【详解】解：由数轴可得：a<0,a-b<0,bX)；

故14+第

=-a+[b-a)-b

=-a+h-a-h

=­2a・

故答案为：-2a.

【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出

«<0,a-b(O,»0是解题关键.

24.3a-7，3石-3，13-20-4百，0

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【分析】先利用平方差公式、单项式乘多项式计算括号内的，再合并同类项，继而将X的值代入计算可得.

【详解】解：U-l)+(x+2)(x-2)-2x(x-l)

=x—1+X2—4—2x~+2x

=-x2+3x-5；

当x=\[2时；

原式=-(&j+3&-5=_2+3应-5=3^-7.

【点睛】本题主要考查整式的混合运算一化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合

运算顺序和运算法则.

【分析】根据平方差公式，二次根式的混合运算进行化简，再将〃=百代入求解即可.

【详解】解：原式="2—3—/+3a

=3a—3；

当a=>/5时；

原式=3石-3.

【点睛】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键.

【分析】利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算.

【详解】解：(1+6)(夜-")+(26

=0-#+指-30+12-46+1

=13-2忘-46

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则.

【分析】根据零指数基和二次根式的混合运算法则计算即可.

【详解】解：木+百x(一孙卜⑸+(3-乃)°

=±Zl-7i8+|i-V2|+i

2

=2V2-3V2+V2-1+1

=0.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，零指数累，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键.

25.(1)a=机之+3/,b=2mn；

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⑵（2+可

【分析】（1）根据题干中的方法应用完全平方公式展开，对应相等即可得出结果；

（2）将7拆分，然后利用完全平方公式即可求解.

【详解】（1）解：（1）a+人石+;

a+bC=77?+2y/3mn+37?2;

a=ttr+3n2,b=2mn；

（2）7+473

=4+4肉3

=（2+厨.

【点睛】题目主要考查利用完全平方公式书写二次根式，理解题意，掌握完全平方公式是解题关键.

26.⑴般缶=4（20一加）

Q）而$T-跖一廊吟

（3）20

【分析】（1）由前3个等式的特征归纳可得第4个等式，从而可得答案；

（2）由总结归纳的规律，利用含”的代数式表示即可；

（3）利用规律先把原式化为：-；（0-〃）-；（4-#）-；（#-次）+-g（A-回），再利用分配律

计算即可.

【详解】⑴解：第1个等式：在=彳（人-2卜

第2个等式：石匕=一用一时；

第3个等式心=7#一2研

•・逸4个等式为：总交一扣④一啊；

（2）归纳可得：第〃个等式为：4+12〃+2=总而一'〃+2卜

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(3)原式-⑹-g(遥-⑹+-^(748-750)

=-5(>/2—5/4+>/4-^6+^6-y/s++J48—150)

=-g(夜-50)

=2>/2•

【点睛】本题考查的是实数的运算规律的探究，分母有理化，掌握“分母有理化的方法”是解本题的关键.

27.⑴①③

⑵-21

(3)@2X2-6X；②46-18石，5

【分析】(1)根据“巧分式”的定义逐个判断即可解答；

(2)根据“巧分式”的定义列式计算即可；