福建师范大学2024年2月课程考试《常微分方程》作业考核试题

《常微分方程》期末考试答题纸姓名：专业：学号：学习中心：成绩：注意：全卷请在答题纸上作答，否则不得分！一、单项选择题12345678910ABAABCDDCB11121314151617181920AABCDABACD2122232425AAAA二、求解下列微分方程1、；将方程重写为：dy/dx=6^(x-y)对方程两边取对数，得到：ln|dy/dx|=(x-y)ln6再对方程进行积分，得到：ln|y'|=(x-y)ln6+C其中，y'表示y关于x的导数，C为积分常数。接下来需要解出y'，对上式两边同时取指数，得到：|y'|=e^[(x-y)ln6+C]由于y'必须为正数，所以可去绝对值，得到：y'=e^[(x-y)ln6+C]进一步化简和移项，得到：dy/e^[(x-y)ln6]=dx对于等式左边，进行变量代换，令u=x-y，则du/dx=1-dy/dx=1-6^(x-y)由于dy/dx=6^(x-y)，所以可以将右边代入，得到：du/dx=1-dy/dx=1-y'将等式右边代入并移项，得到：dy/e^[uln6]+y'/e^[uln6]=1再对等式两边进行积分，得到：∫[dy/e^[uln6]]+∫[y'/e^[uln6]]=∫dx对左边第一项进行换元，令t=e^[uln6]=6^u，则dt=6^udu，代入后得到：∫[1/t]dt=ln|t|+C1对左边第二项进行换元，令v=e^[uln6]=6^u，则dv=u'6^udu，代入后得到：∫[1/v]vdv=∫u'6^udu∫[1/v]vdv=ln|v|+C2由于v=e^[uln6]，所以v=6^u，代入得到：∫[1/6^u]6^udu=∫u'6^udu化简可得：∫[1/6^u]6^udu=u+C3将上述结果代回原方程中，得到：ln|t|+C1+ln|v|-C2+C3=x+C4化简可得：ln(tv)=x+C5由于t=6^u，v=6^u，所以tv=(6^u)^2=6^(2u)因此，可得到最终结果为：ln(6^(2u))=x+C6化简得到：2uln6=x+C6即最终的解为：u=(x+C6)/(2ln6)由于u=x-y，所以可得到y=x-(x+C6)/(2ln6)=(C6-x)/(2ln6)因此，dy/dx=6^(x-y)的通解为：y=(C6-x)/(2ln6)，其中C6为任意常数。2、；首先我们设dx/dt=v，那么d^2x/dt^2=dv/dt。将方程转化为：dv/dt+v+x=0然后我们对上述方程进行变量替换，令u=v+x，则du/dt=dv/dt+dx/dt=dv/dt+v。将变量替换后的方程带入，得到：du/dt+u=0这是一个一阶线性常微分方程，可以使用分离变量的方法求解。将方程重写为：du/u=-dt对方程两边同时积分，得到：∫(1/u)du=-∫dt得到ln|u|=-t+C1，其中C1为积分常数。再将u=v+x代回，得到ln|v+x|=-t+C1对上式两边同时取指数，得到：|v+x|=e^(-t+C1)由于v+x可能为正或负，所以去掉绝对值，得到：v+x=e^(-t+C1)进一步化简得到：v=e^(-t+C1)-x由于v=dx/dt，所以可以得到：dx/dt=e^(-t+C1)-x这是一个一阶常微分方程，可以使用变量分离的方法求解。将方程重写为：dx/(e^(-t+C1)-x)=dt对方程两边同时积分，得到：∫(1/(e^(-t+C1)-x))dx=∫dt对左边的积分进行换元，令u=e^(-t+C1)-x，则du=-e^(-t+C1)dt，代入后得到：-∫(1/u)du=∫dt得到-ln|u|=t+C2，其中C2为积分常数。再将u=e^(-t+C1)-x代回，得到-ln|e^(-t+C1)-x|=t+C2对上式两边同时取指数，得到：|e^(-t+C1)-x|=e^(t+C2)由于e^(-t+C1)-x可能为正或负，所以去掉绝对值，得到：e^(-t+C1)-x=e^(t+C2)进一步化简得到：e^(-t+C1)=x+e^(t+C2)移项得到：e^(-t+C1)-e^(t+C2)=x化简可得：e^(C1-t)-e^(C2+t)=x由于C1和C2为任意常数，设A=e^C1和B=e^C2，则上式可以表示为：Ax-Bx=x化简可得：(A-B)x=x由于等式成立，可以得到A-B=1，即A=B+1。因此，最终的解为：x=(A-B)/(A-1)，其中A和B为任意常数。3、；首先，我们设dy/dx=v，那么d^2y/dx^2=dv/dx。将方程转化为：dv/dx+y=4sinx然后我们对上述方程进行变量替换，令u=y，则du/dx=dy/dx=v。将变量替换后的方程带入，得到：dv/dx+u=4sinx这是一个一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法求解。首先，我们求解齐次方程：dv/dx+u=0对齐次方程进行求解，得到特征方程λ+1=0，解得λ=-1.因此齐次方程的通解为u_h(x)=C1*e^(-x)，其中C1为常数。接下来，我们寻找非齐次方程的特解。由于非齐次方程右侧为4sinx，我们猜测特解形式为u_p(x)=A*sinx+B*cosx，其中A和B为待定系数。带入非齐次方程，得到：d(A*sinx+B*cosx)/dx+A*sinx+B*cosx=4sinx化简可得：A*cosx-B*sinx+A*sinx+B*cosx=4sinx整理得到：(A+B)*cosx+(A-B)*sinx=4sinx由于等式左侧必须等于等式右侧，所以可以得到以下方程组：A+B=0A-B=4解方程组可得A=2，B=-2。因此，非齐次方程的一个特解为u_p(x)=2*sinx-2*cosx。最终的通解为u(x)=u_h(x)+u_p(x)=C1*e^(-x)+2*sinx-2*cosx。由于u=y，所以最终的通解为y(x)=C1*e^(-x)+2*sinx-2*cosx，其中C1为常数。4、5.给定一阶微分方程：（1）求出它的通解；求通过点（2，3）的特解；求出与直线y=2x+3相切的解；求出满足条件的解。

《常微分方程》期末考试试卷注意：全卷请在答题纸上作答，否则不得分！一、单项选择题（每小题3分，共60分）1.是阶微分方程.A.一阶;B.二阶；C.三阶；D.四阶.2.给定微分方程，它的通解是.A.B.C.D.3.微分方程A.B.C.D.以上都不对。4.方程A.B.C.D.5.微分方程A.B.C.D.6.微分方程A.B.C.D.7.微分方程A.B.C.D.8.微分方程的通解为。A.B.C.D.9.微分方程A.B.C.D.10.设A.B.C.D.11.以为通解的二阶微分方程为.A.B.C.D.12.以通解的二阶微分方程为.A.B.C.D.13.方程通过点(1,0)的第二次近似解.A.B.C.D.14.方程通过点(1,1)的解的存在区间。A.B.C.D.15.方程通过点(3,-1)的解的存在区间。A.B.C.D.16.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是个．A.nB.n-1C.n+1D.n+217.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件．A.充分B.必要C.充分必要D.必要非充分18.下列方程是线性微分方程.A.B.C.D.19.方程A.可分离变量方程B.全微分方程C.一阶线性微分方程D.贝努利方程20.n阶线性齐次方程的所有解构成一个线性空间．A.n+2维B.n+1维C.n-1维D.n维21.线性方程组通解是.A.B.C.D.22.方程组的基解矩阵是.A.B