四川成都市2021届高三二诊理科数学解析版

四川成都市2018级高中毕业班第二次诊断性检测

理科试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4={x|lgx<l},8={小>3},则AUB=（）

A.（0,+co）B.（3,10）C.（-<»,+co）D.（3,+oo）

【答案】A

【详解】

由题设，A={x|0<x<10},而3={x|x>3},

AuB={x|x>0}.

故选：A.

2.己知i为虚数单位.则复数z=（l+i）（2-i）的虚部为（）

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】D

【详解】

z=（l+i）（2-i）=3+i,所以虚部为1.

故选：D

3.命题“V%>0,Y+工+]>0”的否定为（）

A.3x0<0,焉+毛+1<0B.V尤<0,f+x+lwO

C.丸>0,+A^+1<0D.Vx>0,xI23+x+l<0

【答案】C

【详解】

因为全称命题的否定是特称命题，

2

所以，命题“Wx>0,f+x+i〉。”的否定是：*>0,x()+xo+l<0.

故选：C.

4.袋子中有5个大小质地完全相同的球.其中3个红球和2个白球，从中不放回地依次随

机摸出两个球.则摸出的两个球颜色相同的概率为()

1234

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】B

【详解】

从中不放回地依次随机摸出两个球，

基本事件总数〃=8=20,

两个球同色的包含的基本事件个数〃=+尺=8,

加82

两个球同色的概率为

〃205

故选：B.

/、2/、1tana

5.已知sin(a+/?)=§,sin(a—/7)=§,则茄彳的值为()

I1一

A.—B.—C.—3D.3

33

【答案】D

【详解】

211

由题意可得，sinacos/74-costzsiny0=-,sinacosP-cosasinf3--,所以sinacos£=—,

32

.01仁…tanasincrcos/?嗔

cos（2sin/?=-,所以-----=------1==3.

6tanpcosasinp

故选：D.

ULMlUUU

6.在DABC中，己知AB=AC,。为BC边中点，点。在直线AO上，且8C8O=3，

则BC边的长度为（）

A.娓B.2A/3C.2屈D.6

【答案】A

【分析】

由等腰三角形的性质知AC1BC、BD=—,有竺=BO<osNO8D,根据向量数量

22

积的几何意义可得比=3,即可求BC边的长度.

2

【详解】

在口ABC中，AB=AC,。为8C边中点,

Be

：.AD1BC,即上中有50=50cosZ08£),且3。=^—

__________UlfllUUUlULtlULU1

BC,BO的夹角为/OBD,即8。804BC|•|801cosZOBD=3，

nr^2

-----3，可得BC—底■

故选：A.

327t

7.已知圆柱的两个底面的圆周在体积为——的球。的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值

3

为（）

A.4兀B.8兀C.12KD.16兀

【答案】B

【分析】

先求出球的半径，再设出圆柱的上底面半径为「，球的半径与上底面夹角为a,求出圆柱的

侧面积表达式，最后求出最大值.

【详解】

A2rr

设球的半径为R,由球体的体积公式有1乃内=学，得R=2.

•.•设圆柱的上底面半径为r,球的半径与上底面夹角为。，则r=2cosa,圆柱的高为

4sina，

圆柱的侧面积为4乃cosax4sina=8万sin2a,

71

当且仅当。=一时，sin2c=1时，圆柱的侧面积最大，

4

圆柱的侧面积的最大值为8%.

故选：B.

（「3?1

8.已知p是曲线y=sinx+cosxxe0,—|上的动点，点。在直线x+y-6=0上运动,

IL4JJ

则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（）

兀兀兀27r

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】C

【分析】

先表示出|PQ|最小值，利用导数判断单调性，求出取最小值时对应的x.

【详解】

设尸（x,sinx+cosx），点。在直线x+y-6=0上,

当|PQ|取最小值时，|尸。|垂直于直线x+y-6=0.

|x+sin%+cosx-6|6-(x+sinx+cosx)”0,包

此时|PQ|=

及V24

_3几

记/(x)=6-(x+sinx+cosx)0,——〃》）最小时，|尸。|最小.

4

71、

/'(%)=-1-cosx+sinx-:V2sinx-—-1

4J

,八3万,71TC71

当xe0，时,x---e

T4Z'5

**•XG0,—时，X——G-彳，］，有/'(x)40，•'•/(x)单减;

f时，(e5t)有/'(x)2。，；./(x)单增;

.•.当x=]时，/(x)最小时，|PQ|最小.

故选：C

9.已知数列｛q｝的前〃项和5“满足5“=",记数列＜—1—的前〃项和为，，

,anan+\J

20

〃eN*.则使得/〈不■的值为()

A.*B.18C.19D.20

【答案】C

【分析】

根据%=S,-S“T求｛可｝通项公式，注意讨论〃=1、〃22并判断是否可合并，再应用裂

项法求7；,可得选项.

【详解】

22

当"=1时，q=S]=l；当〃22时，a„=Sn-Sn_,=n-(n-1)=2n-l；而

q=2x1—1=1也符合an=2几一1,

a=2n-l,

fJ%〃“+]22n-l2〃+l

11

7-,=lx(l-l+l-l+...+)二3。-击)二肃

〃23352n-l2〃+l

若则三二＜77,解得〃＜2°，因为〃eN*,所以〃的最大值为19.

412n+l41

故选：C.

【点睛】

结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型:

1111、

(1)等差型——，其中｛4｝是公差为4(〃。0)的等差数列;

an+\7

无理型1=^^一品

(2)

yjn+>Jn+kk

(3)指数型(。-1""="用一"；

(4)对数型log“—=bg“4用Tog“4.

10.某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量尸(mg/L)与时间

r(h)之间的关系为P=Ee”.如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大

约需要的时间为(参考数据：In2«0.69,ln3*1.10,ln5«1.61)()

A.4hB.6hC.8hD.lOh

【答案】B

【分析】

由题意知，污染物的初始含量为弓，由前2小时消除了20%的污染物建立关系式求解参数女,

将参数代入解析式中计算污染物减少50%大约需要的时间即可.

【详解】

前2小时消除了20%的污染物，则茁2k=0.84

故—2k-In().8,k=-1r

2

ln0.8t

尸=添丁=4(0孙

污染物减少50%,则F>｝(0.8/=0.56

,1

t,cuIn0.5ln2-ln2

-=logx0.5=-----=——=----------In2_0.69

可得2°0-8In0.8421n2-ln5=3

)nIn5-21n2-1.61-2x0.69

5

故t=6

故选：B

【点睛】

本题考查指数型函数模型的实际运用.先由具体数据把参数求出来，再利用换底公式计算污

染物减少50%大约需要的时间，熟悉对数的运算法则是得分的关键.

11.已知F为抛物线V=2x的焦点，A为抛物线上的动点，点g,0

.则当

21A日+1

取最大值时，的值为（）

A.2B.V5C.V6D.272

【答案】C

【详解】

方法一：

抛物线V=2x的焦点尸，准线方程为％=一3，

作A尸垂直于直线x=-l,垂足为F',

由抛物线定义知，|AF|=|AF|+g,设NA5F=6,

21A@\AE\[A4]

所以呵T=画;=肃=而方，

2A|4司百（万、

若入z；最大，则sin。最小，因为夕e0,不，所以9最小,

21A"月+1I2）

当直线AB与抛物线相切时，。最小.

设直线A8：了=女（》+1），由.‘得，左+（2公—2卜+左2=0（*）,

由A=（2炉一21-4/=（），解得后2=；

代入（*）式，得/一21+1=0,解得x=l，

代入/=2x,得A（l,及）或A（l,-V2），

当A（l,V2）时,|Aq=+Ip+_0y=V6>

由抛物线的对称性知，当4（1,一行人寸，,6=后卜故选C.

方法二：

设夙一1,0）,|4耳=+/=；〃+蜡+4,

产1

由抛物线定义知k耳—+一

22

所以21ABi_1，+8户+4「口+8户+4

2|AF|+1-—r+2——V-+4产+4

lt4+8t2+4_14?_f.4~

廿/+4/+4=廿/+4/+4=i4

\1十今十r

,4L

当且仅当产=7，即”土行时等号成立，

所以4（1,拉）或A（l,—五），当A（l,拒）时，\AE\=7（1+1）2+（V2-O）T=V6.

由抛物线的对称性知，当4（1,一行附，|4q=新.

故选：C.

12.已知四面体ABC。的所有棱长均为J5，M,N分别为棱AD,BC的中点，F为

棱上异于A,8的动点.有下列结论：

①线段MV的长度为1；

②若点G为线段MN上的动点，则无论点尸与G如何运动，直线尸G与直线CZT都是异面

直线；

③NMFN的余弦值的取值范围为坐］;

@QFMN周长的最小值为V2+1.

其中正确结论的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

将正四面体放在正方体中观察

对于①，可根据M,N分别为正方体前后两个面的中心可得出结论；

对于②，尸取为A8的中点，G取为MN的中点，此时R7与相交；

对于③，计算可得COS/MBN=@>Y5，由逼近思想可作出判断；

35

对于④，空间问题平面化的技巧，将三角形48c与板＞放在同一平面上，可计算出

NF+FMN叵

【详解】

在棱长为1的正方体上取如图所示的四个顶点依次连接，即可得到棱长为四的四面体

ABCDt显然，KN分别为正方体前后两个面的中心，故线段“N的长度为正方体棱长।

故①对；

对于②：

如图，尸取为"的中点，G取为MN的中点，/取为CQ的中点，则由正方体的性质易

知，该三点在一条直线上，故此时尸G与CD相交于/,故②错；

对于③,

BN=—=—，BM7BD?-MD?=」2一工=匹,又有MN=1

22\22

2+3_1

故cosNMBN=2/__=—>—

0V2V635

22

故尸点无限接近8点时，cos/MFN会无限接近且，故NMFN的余弦值的取值范围不

3

r/7A

为［o，WJ，③错误;

对于④，如图将等边三角形ABC与谢铺平，放在同一平面上，散有N'F+FM'NMN

72.当且仅当F为AB中点时取最小值

故在正方体中NF+FM>41

故口FMN周长的最小值为V2+1

故④对

D

故选：B

【点睛】

把空间中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离最短的问题，从而使问题得到

解决，这是求空间中最短路线的一种常用方法.

二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)

13.已知函数/("=卜-A，X<1,若/(a)=2,则。的值为______.

[2+l,x>l

【答案】-1；

【分析】

根据函数的解析式，分类讨论，列出方程，即可求解.

【详解】

由题意，函数/1(x)=FX，X<,

5[2a+l,x>l

当。<1时，由/(a)=2,可得/一a=2,解得a=—1或a=2(舍去);

当aNl时，由/(a)=2,可得2"+1=2，即2"=1，解得。=0(舍去)，

综上可得，实数a的值为-1.

故答案为：-1.

14.正项数列｛4｝满足aa-,若%=;;，。2a4=1，则ai的值为

nll+29

【答案】3

【详解】

由题意嗅=&"，所以可得数列｛q｝是正项的等比数歹U,

〃〃+1an

又因为a2a4=q=i，得％=1,由%=5

可得/=%="，4=!，所以。，=幺=3.

693q

故答案为：3.

2y2

15.设双曲线「=1（4>0/>0）的左，右焦点分别为6，F,以耳鸟为直径的圆

a下2

与双曲线在第一象限内的交点为P,直线PG与双曲线的渐近线在第二象限内的交点为

Q.若点。恰好为线段PK的中点，则直线PF,的斜率的值为

【答案】，；

【分析】

7Th

由题意得到/耳尸乙二一，且tan/QOE,=-一,求得|巴尸=2。，|£P|=2力，结合双

2a

曲线的定义求得匕=2a,即可求得直线PK的斜率.

【详解】

如图所示，以斗鸟为直径的圆与双曲线在第一象限内的交点为P,

7F

可得/月产乙=万，又因为。为KP的中点，。为耳周的中点,

b

所以OQ〃PfJ,tanZQO^=--,tan/PAR

aa

所以sinNP£《=-,COSZPF2F,=-,

又忸月卜2|。用=2c,得忧P|=2a,用P|=2b,

由双曲线的定义可得出?|一怩P|=»一为=2a,所以匕=2a,

所以如；=tan"咽==尊=；，

1

\PF{|2b2

即直线P耳的斜率为3.

故答案为：_.

16.已知定义在R上的函数“X)满足/(x)=〃2-x),且对任意的玉，^e[l,+oo),

当王。工2时,都有玉/(石)+9/(9)<%1/(*2)+々/(%1)成立.若a=/(ln2),

/?=/(log020.03),c=/(2°‘)，则即b,c的大小关系为•(用符号“<”连接)

【答案】b<c<a

【分析】

转化条件为函数/(x)在[1,”)上单调递减，结合指数函数、对数函数的性质可得

3

07

log020.03>2>2->->2-ln2>l,即可得解.

【详解】

因为王/(4)+9/(工2)<与/(±)+%/'(5)，

所以(石一4)"(％)-/(々)]<0,

所以函数“X)在[1,”)上单调递减，

因为函数/(%)满足了。)=/(2-力,所以a=/(ln2)=/(2Tn2)

因为ln1<ln2<lne即(<ln2<l,所以1<2-In2<|,

又2>2°7>21=册>f邑=-,log。,0.03>log。,0.04-2,

V322

3

所以logo20Q3〉2>2°,7>2>2—ln2>l,

所以/(log。20.03)</(20-7)</(2—In2)即力<c<a.

故答案为：b<c<a.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是利用函数单调性及对称性，将函数值的大小比较转化为自变

量的大小比较.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.）

17.（本题满分12分）口ABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,C,己知

(V2/>-ajcosC=ccosA.

（1）求角。的大小;

(2)若a=6,c(tzcosB-bcosA)=Z?2,求DABC的面积.

【答案】（1）Y；（2）

【详解】

解：（1）由已知及正弦定理，得亚sin3cosc-sinAcosC=sinCeosA・

V2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）.

,:A+C=7C-5,sin（A+C）=sinB.

>/2sinBcosC=sini3-

又;sin8w0,cosC=.

2

・.・。£（0,兀），.・.C=：.

1「2_12i_2.2_2

（2）由已知及余弦定理，得ac•生二———=b2.

2ac2bc

er+c2-h2b1+C1-er.

=D2

22

化简，得筒=2廿.

又,：a=V2»—1.

\ABC的面积SA.sr=—absinC=—x^xlx^-=—.

△ABC2222

【点睛】

在处理三角形中的边角关系时，-一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系.题中若出现

边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理

时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.

18.（本题满分12分）某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价

值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费某种机械设

备的使用年限x（单位：年）与失效费》（单位：万元）的统计数据如下表所示：

使用年限无（单位：年）1234567

失效费y（单位：万元）2.903.303.604.404.805.205.90

（I）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与％的关系.请用相关系数加以说明；（精

确到0.01）

（H）求出）'关于X的线性回归方程，并估算该种机械设备使用10年的失效费.

多（%-元）（%-歹）

参考公式：相关系数「=IJ“

久（占一可2力（丫_5）2

V/1=1/=1

-刃

线性回归方程£=残+3中斜率和截距最小二乘估计计算公式：。=J-------------

f（为一可2

1=1

a=y-bx•

77_______

参考数据：Z（%-君（X-刃=14.00,歹）一=7.08,V19824«14.10.

Z=1i=l

【答案】（I）答案见解析；（H）夕=0.5x+2.3,7.3万元.

【分析】

（I）根据统计数据求亍、歹、£（%-亍y，结合参考数据及相关系数公式，求相关系数

r,进而判断y与X的相关程度:

（II）利用最小二乘法公式估计3、a,写出线性回归方程，进而将x=10代入估算求值.

【详解】

1+2+3+4+5+6+7

（I）由题意，知于==4,

7

2.90+3.30+3.60+4.40+4.80+5.20+5.90

=4.30

£（七一元『=（1—4）2+（2—4）2+（3—4）2+（4—41+（5—4）2+（6—4『+（7—41=28.

1=1

14.0014.0014.00八”

.••结合参考数据知:

j28>7.08-,198.24~14.10~'

因为，'与X的相关系数近似为0.99,所以）'与％的线性相关程度相当大，从而可以用线性回

归模型拟合y与％的关系.

7

14

（n）•:------------=---0--.-5--,

28

EH-元）2

/=1

a=fix=4.3-0.5x4=23.

J关于x的线性回归方程为9=0-5X+2.3,将x=10代入线性回归方程，得

9=0.5x10+2.3=7.3.

••・估算该种机械设备使用10年的失效费为7.3万元.

19.（本题满分12分）如图①，在等腰三角形PBC中，PB=PC=35BC=6,D,

UL1UUUUUU1ULI

E满足BD=2DP，CE=2EP-将△口）£沿直线OE折起到DADE的位置，连接AB,

AC,得到如图②所示的四棱锥A—BCEO,点尸满足丽=2丽.

p

(I)证明：。/〃平面ACE；

(ID当48=回时，求平面ACE与平面OEP所成锐二面角的余弦值.

【答案】(I)证明见解析；(II)&

3

【分析】

(I)在AC上取点G满足CG=2AG,连接EG,FG,根据平行四边形的判定有DEGF

为平行四边形，由线面平行的判定证〃平面4CE；

(II)取OE,的中点M,N,连接AM,MN,BM，根据勾股定理、线面垂直

的判定证明AMJ.平面BCE。，进而构建以M为坐标原点，MN，ME，两的方向分

别为x轴，轴，z轴的正方向的空间直角坐标系，确定相关点坐标进而得到反、而、诙、

市的坐标，求面ACE与面OE厂的法向量，应用向量数量积的坐标表示求二面角的余弦

值.

【详解】

解：(I)如图，在棱AC上取点G满足CG=2AG,连接EG,FG.

A

'-BF=2FA^

FG〃BC且FG=LBC.

3

由题意，知：DE//BCS.DE=「BC.

3

OE=FG且DE//FG,即四边形DEGF为平行四边形.

DF//EG,又。尸/平面ACE,EGu平面ACE,

〃平面ACE.

(II)如图，分别取DE,BC的中点〃，N,连接AM,MN,BM.

由题意，知MNJ.BC,AM=2,MN=4,BN=3.

在Rt[\BMN中，BM=ylBN2+MN2=>/32+42=5-

在口A3M中，AB=回，而AM?+5用2=22+5?=29=AB?.

/•AMIBM,又AM，£>E,BMcDE=M,BM，DEu平面BCED,

/•AM_L平面BCED.

以M为坐标原点，MN，ME，雨的方向分别为x轴，轴，z轴的正方向，建立如图

所示的空间直角坐标系例一型.

z

一一二二一：

二二一

Nc

则"（0,0,0）,A（0,0,2）,B（4,—3,0）,C（4,3,0）,D（O,-1,O）,E（O,1,O）,

1B

uuuuu____uuurf44

EC=（4,2,0）,EA=（O,-l,2）,DE=（0,2,0）,£）F=I-,0,-

比屈=04拓+2与=0

设平面ACE的一个法向量为例=(A,，X，ZJ,由＜，得《

m-EA=0y+2Z|=0'＜

Z1=1,得克=（一1,2,1）.

/、[n.D£=02%=。

设平面OEF1的一个法向量为力=（々,％/2），由＜一,，得＜44,、令

"n-DF=0-x+-z=0

i-3'23•2

z2=l,得元=（—1,0,1）.

,rrxm-n2A/3

•1•平面ACE与平面DEF所成锐二面角的余弦值为火.

3

【点睛】

关键点点睛:

(I)平行四边形的判定证平行四边形，根据线面平行的判定证线面平行;

（H）首先证明线面垂直，再构建空间直角坐标系，求二面角对应半平面的法向量，最后应

用向量法求二面角的余弦值.

2

20.（本题满分12分）已知椭圆C：=1((2>。＞0）经过点A,其长半轴

a~方

长为2.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设经过点B（-l,0）的直线/与椭圆C相交于D,E两点，点E关于x轴的对称点为F,

直线。尸与x轴相交于点G,求仆OEG的面积S的取值范围.

2'3y、

【答案】（I）—+/=i；（IDo,4-.

42

【分析】

（I）由长轴长知。=2,结合椭圆过A点，求〃、b,写出椭圆方程;

（H）由题意设直线/的方程为％=。（5,乂），石（乙,%），联立椭圆方程

结合韦达定理得X+%，Y%，进而写出直线。口的方程并求G坐标，而△OEG的面积

s=；忸GHX-%1得到关于参数，的函数，再应用换元法、对勾函数求其范围.

【详解】

22

（I）由已知，。=2即椭圆。的方程为%上+4v=1.

4b2

•••椭圆C经过点A1,

13

—+-―^=1>解得&2=1.

r2

•••椭圆C的方程为二+y2=i.

4-

（II）由题意，直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为％=。0）,。（不苗）,

£（9，%）.

由IT?-J,，消去彳，得仁+4）/一2^-3=0.

x2+4/=4''

VA=4z2+12（^+4）=16r+48>0,

It3

二>|+必=e]，

/+4r+4

F为点E关于x轴的对称点，

AF（x2,-y2）.

3|+>2+）xx

直线。F的方程为>—y=（x-x1）,即y—y=；,\（-i）-

%一々Mx-%）

令丁=0,则…+处皿=（明T」+%）-W：+9M

y+%M+%

=2）通-（％+%）=2/_3]_1=_4

y+%I2t）

AG（-4,0）.

.♦.△DEG的面积5=1|BG|-|y,-y2|=*（y+%『-分必

△但「二驾亘

2\^2+4j/+4/+4

令m=G+3，则加€（出,+8）.

06m6

\—------=-------1

(*•m2+11•丁根+一W

优+一m

m

rd

・・七

DIU,2J

：./\DEG的面积S的取值范围为(o,竽)

【点睛】

关键点点睛:

(I)根据椭圆过定点及长轴长，求椭圆标准方程;

(II)设直线方程、D、E,联立椭圆方程结合韦达定理求D、E纵坐标数量关系：y+%，

X%，应用对称性得尸坐标进而求G点，写出△OEG的面积关于参数的函数，应用对勾

函数求面积的范围.

21.(本题满分12分)已知函数/(x)=x+@-(a—l)lnx—2,其中aeR.

(I)若/(x)存在唯一极值点，且极值为0,求。的值；

(H)讨论/(x)在区间［Iez］上的零点个数.

【答案】(I)〃=1或。=6；(H)答案见解析.

【分析】

(I)求出了'(X),分aMO、a>0两种情况讨论/(x)的单调性，然后可得答案；

(II)分aW1、1<ave?、a>e2三种情况讨论/(X)在区间［1，/］上的单调性，每种情

况下结合/(X)的函数值的符号判断其零点个数.

【详解】

(I)由已知，可得/(打=］_乌_纥I」"""，，％〉。).

①若a40,则当XG(0,+oo)时，/'(£)>0恒成立，

“X)在(0,+8)上单调递增，与“X)存在极值点矛盾；

②若a〉0,则由/'(x)=0得x=a.

.,.当xe(0,a)时，/,(x)<0：当xe(a,+oo)时，/"(x)>0.

；•/(x)在(0,a)上单调递减，在(a,切)上单调递增.

，/(x)存在唯一极小值点％=a.

/(a)=a+l-(a-l)lna-2=(a—l)(l-lna)=0.

二。=1或a=e.

(II)①当时，/'(x)20在［11］上恒成立，.•./(x)在［14］上单调递增.

V/(l)=a-l<0,/(e2)=e2+^-2tf,

(i)当a40时，f^e"=e"H—；—2a=e~+a(—；—2)>0；

(ii)当0<a«l时，/(屋)=才+彳-2a>2&-2a=2&(1—右)N0.

/(e2)>0.

由零点存在性定理，知/(x)在口"2］上有1个零点;

②当leave?时,

•.,当xe［l,a)时，/'(x)<0；当xeQe1时，r(x)>0,

.../(x)在［1,a)上单调递减，在(a,e2］上单调递增.

A/(xLn=/(«)=(«-1)(1-Ina).

(i)当a=e时，/(x)1nhi=0,此时/(x)在口1］上有1个零点；

(ii)当l<a<e时，/(x)mjn>0,此时/(x)在口,/］上无零点；

(iii)当evave之时，〃x：L<°，"1)=。一1>0,

4

(a)当/(e2)=e2+/-2a<0,即J—时，在［l,e［上有1个零点;

4

(b)当/(e2)=e2+3—2aN0,即e<a时，/(x)在口炉］上有2个零点;

③当“汕2时，/'(x)W0在［11］上恒成立，/(%)在［I/］上单调递减.

V/(l)=tz-l>0,/(e2)=e2<e2+-^--2^e2=-e2+1<0,

/(X)在［I"?］上有1个零点，

综上，当l<“<e时，/(X)在［11］上无零点；

4

当“W1或a=e或a>去_■时，/(力在［1,1］上有1个零点；

4

当e<a«2；-］时,“X)在［1，/］上有2个零点.

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是要掌握分类讨论的思想，利用函数的单调性和函数值的符号讨

论函数的零点个数.

（二）选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题

号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）

X=1+COS0

在直角坐标系xOy中，己知曲线。的参数方程为〈.（。为参数），直线/的方程

y=sir）s

为％+k>_6=0.以坐标原点。为极点，龙轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线。和