四边形-2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）

专题02四边形2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）

1.如图，在正方形A8CO中，E、尸是对角线BO上两点，且NE4F=45。，将△尸绕点A顺时针旋转90。

后，得到AAB。，连接EQ.

(1)求证：EA是NQEO的平分线；

(2)已知BE=1,DF=3,求EF的长.

【详解】

证明:⑴：将AADF绕点A顺时针旋转90。后，得到AAB。,

：.QB=DF,AQ=AF,NBAQ=NDAF,

ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZBAE^45°,

：.ZQAE=45°,

：.ZQAE^ZFAE,

在△AQE和△AFE中，

"AQ=AF

<ZQAE=4FAE,

AE^AE

.,.△AQE丝△w£；(SAS'),

：.AAEQ=ZAEF,

...E4是/QE。的平分线；

(2)由(1)W-AAQE^^AFE,

：.QE=EF,ZADF^ZABQ,

•.•四边形ABC。是正方形，

，/ADB=NABO=45°,

NABQ=45°,

ZQBE^ZABQ+AABD=90°,

在RSQBE中，QB2+BE2=QE2,

又,：QB=DF,

：.EF2=BE1+DF2=l+9=10,

EF=y/lQ.

2.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE,过点E作EFLDE,交射线BC于点F,以

DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.

备用图

(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；

(2)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是35。时，求/EFC的度数.

【详解】

解：（1）证明：如图，作EP_LCD于P,EQLBC于Q,

图1

四边形ABCD为正方形,

VZDCA=ZBCA=45O,

EQ=EP,

矩形DEFG,

ZPED+ZPEF=90°,

,/NQEF+NPEF=90。，

.\ZQEF=ZPED,

在RtAEQF和RtAEPD中，

ZQEF=APED

<EQ=EP,

NEQF=NEPD

Rt4EQF丝Rt八FPD(ASA),

；.EF=ED,

矩形DEFG是正方形；

(2)①当DE与AD的夹角为35。时,

如图2,

邺

VZADE=35°,ZADC=90°,

NEDC=55°,

ZEFC=360°-90°-90°-55°=125°,

②当DE与DC的夹角为35。时，

如图3,即。。,£正交于H,

图3

ZDEH=ZDCF=90°,ZDHE=ZFHC,

NEDC=NEFC=35。，

综上所述：NEFC=35。或125°.

3.如图所示，四边形ACEO中，CE“3以。C,为边作平行四边形。CEE,EC的延长线交AF

T-B,求证：AB-FB-

【详解】

证明：如图，延长尸C交AO于点G,

,/四边形CDEF为平行四边形,

：.CF//DE,CF=DE,

5L'：CE//AD,

四边形CEDG为平行四边形,

：.CG=DE,

：.CF=CG,KBC//AG,

.•.8(7是4"G的中位线，

.••8为4尸的中点,

即AB=FB.

4.如图1,已知正方形ABCO和正方形CEGF,点£。,8在同一直线上，连接跖，DF，。下与EG相

交于点M.

图】图2

(1)求证：BE=FD.

GM

(2)如图2,N是8c边上的一点，连接AN交BE于点、H，且一

BC~GE

①求证：BN=EC；

BN

②若CE=2DE,直接写出一的值.

AB

【详解】

解：(1):四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，

，BC=CD=AB,CE=CF,ZBCE=ZDCF=90°

.,.△BCE^ADCF(SAS),

；.BE=FD；

(2)①...四边形ABCD和四边形CEGF是正方形，

.,.CD//GE,GF=EC

/.DEMFGM,

.GMGFEC

"~EM~~DE~~DE

.GMEC

"~EG~~DC

..BNGM

,~BC~~GE

.BNEC

"~BC~~DC

BC=CD

/.BN=EC

®'：CE=IDE

:.CE=-DC

3

BN=EC

.BN2

・.-----=一

DC3

AB=CD

.BN2

..1*—--

AB3

5.如图1,己知正方形ABCQ,AB=4,以顶点8为直角顶点的等腰RsBEF绕点、B展转，BE=BF=加，

连结AE,CF.

(1)求证：△

(2)如图2,连结。E,当。£=BE时，求SABCF的值.

(3)如图3,当RSBE尸旋转到正方形ABC。外部，且线段AE与线段C尸存在交点G时，若M是C£＞的

中点，P是线段QG上的一个动点，当满足MP+受PG的值最小时，求MP的值.

2

【详解】

解：（1）:四边形4BC。是正方形,

：.AB=BC,ZABC=90°,

VZEBF=90°=Z；4BC,

:./ABE=/CBF,

又.：BE=BF,AB=BC,

•・•△ABE/ACBF(SAS)；

(2)如图2,过点E作于",

・・,AABE学4CBF,

••ABE=S^CBF,

9

：AD=AB,AE=AEfDE=BEf

：./\ADE^^\ABE(5SS),

：.ZDAE=ZBAE=45°,

VE771AB,

・・・NE48=/AE〃=45°,

:,AH=EH,

■:BSBM+EH2,

A10=B£2+(4-BE)2,

・・・3E=1或3,

当BE=1时

SAABE=S^CBF=—ABXEH=—x4xl=1,

22

当BE=3时

:&ABE=S&CBF=—AB^EH=—x4x3=6,

22

(3)如图3,过点尸作尸K_L4E于K,

由(1)同理可得△ABEgZXCBR

:.ZEAB=ZBCF9

・.,ZBAE+ZCAE+ZACB=90°,

JZBCF+ZCAE+ZACB=90°,

JNAGC=90。，

NAGC=NADC=90。，

・•・点4,点G,点C,点。四点共圆,

JZACD=ZAGD=45°f

PK1AG,

；・NPGK=/GPK=45°,

：.PK=GK=^-PG,

2

MP+旦PG=MP+PK,

2

当点M,点P,点K三点共线时，且点E,点G重合时，MP+也PG值最小,

2

如图4,过点B作8Q_LCF于Q,

,：BE=BF=M,/EBF=9Q°,BQVEF,

:.EF=2非,BQ=EQ=FQ=y/i,

：CQ=JBC2-BQ2=V16-5=Vil，

：.CE^CQ-EQ=y/\]-5

•：MK±AE,CELAE,

：.MK//CE,

DMMP

J---=---,

DCCE

又•..例是c。的中点,

：.DC=2DMf

：.MP=—CE=且一6.

22

6.如图，在正方形A8C£＞中，点E、尸均为中点，连接Ab、DE交于点P，连接PC,证明:

PE+PF=EPC-

【详解】

证明：如图，延长OE至N,使得EN=PF,连接QV,

在正方形ABC。中，

E、产分别是BC、CO的中点，

:.CE=DF,

在ADF和DCE中,

AD=CD,

■44。尸=ZDCE=90。，

DF=CE,

:4ADF公ADCE(SAS),

ZAFD=/DEC,

:.ZCFP=ZCEN,

在CEN和CFP中,

CE=CF,

<NCEN=NCFP,

EN=PF,

:MEN四△CFP(SAS),

:.CN=CP,/ECN=/PCF,

ZPCF+ZBCP=90°,

:"ECN+ABCP=ZNCP=90°,

.♦.△NCP是等腰直角三角形，

:.PN=PE+NE=0PC.

即PE+PF=6PC.

7.如图，正方形48CD中，E为BC上一点，过点8作BG_LAE于G,延长8G至点尸使NC£g=45°.

(1)求证：ZBAG=ZCBF；

(2)求证：AG=FG；

(3)若GF=2BG,CF=4i,求A8的长.

D

【详解】

(1)证明：因为4BCO是正方形

所以ZABG+NCBF=90°

在三角形8G4中，

因为3G_LAE,:.ZBAG=NCBF

(2)过点C作

AG±BF,CHLBF

；.NAGB=NBHC=90°

因为A8C。是正方形，

所以AB=BC,

由(1);.ZBAG=NCBF

所以AAGB三初”。

:.AG=BH,BG=CH

在三角形CHF中，4CBF=45\FH=CH

:.GF=GH+FH=GH+CH=GH+BG=BH=AG,

所以AG=FG.

(3)在三角形CHF中,

NCFB=45°,CF=丘

:.CH=HF=1

BG=CH

CF=2BG

:.FG=2

AG=FG

:.AB=^AG2+BG2=V22+1=A/5•

8.已知正方形ABCD,点E在AB上，点G在AD,点F在射线BC上，点H在CD上.

(1)如图1,DE±FG,求证：BF=AE+AG；

(2)如图2,DE1DF,P为EF中点，求证：BE=夜PC；

(3)如图3,EH交FG于O,ZGOH=45°,若CD=4,BF=DG=1,则线段EH的长为

【详解】

解：(1)如图1,过点G作GMLBC于M

GD

则ZGMB=ZGMF=90°,

・・•四边形ABCD是正方形，

・・・AD=AB,NA=NB=90。，

・・・四边形ABMG是矩形，

・・・AG=BM,

VDE1GF,

/.ZADE+ZDGF=ZADE+ZAED=90°,

AZAED=ZDGF,

又NDGF=NMFG,

.\ZAED=ZMFG,

/.△DAE^AGMF(AAS),

・・・AE=MF,

则BF=BM+MF=AG+AE；

(2)如图2,过点E作EQ〃PC,交BC于点Q,

AD

\

、I\

、、I\\

、、xxIr**»^_\\

BQCF

图2

：P是EF的中点，

.•1(3是4EQF的中位线，

则EQ=2PC,QC=CF,

VZADC=ZEDF=90°,

，NADE=NCDF,

又：/A=/DCF=90。，AD=CD,

.".△ADE^ACDF(ASA),

；.AE=CF=QC,

VAB=BC,

；.BE=BQ,

则/BEQ=45°,

•••EQ=&BE,

则2PC=^BE,

；.BE=&PC；

(3)如图3所示，作BM〃GF交AD于M,作BN〃EH交CD于N,

则四边形BFGM和四边形BEHN是平行四边形,

・・・BM=GF,BF=MG=1,BN=EH,

VDG=I,CD=AD=4,

AAM=2,

延长DC到P,使CP=AM=2,

VBA=BC,NA=NBCP=90。，

AABAM^ABCP(SAS),

.\ZABM=ZCBP,BM=BP,

VZGOH=45°,BN〃EH,BM〃GF,

AZMBN=45°,

图3

AZABM+ZCBN=45°,

・・・NCBP+NCBN=45。，即NPBN=45。,

/.△MBN^APBN(SAS),

・・・MN=PN,

设CN=x,则MN=PN=CN+PC=x+2,DN=4-x,

在RtADMN中，由DM2+DN2=MN2可得22+(4-x)2=(x+2)2,

4

解得x=-

3

4710

则EH=BN

故答案为:耍

9.已知：四边形ABC。为正方形，AAMN是等腰RfA,ZAMN=9()°.

(1)如图：当心A4WN绕点A旋转时，若边AM、AN分别与3C、CO相交于点E、F,连接成，

试证明：EF=DF+BE.

(2)如图，当R也加勿V绕点A旋转时，若边AM、AN分别与8。、CO的延长线相交于点E、F，连

接耳1.

①试写出此时三线段£F、DF、8E的数量关系并加以证明.

②若CE=6,DF=2,求：正方形ABCO的边长以及尸中4E边上的高.

【详解】

(I)证明：如图1,延长CB到G,使BG=DF,连接AG,

图1

:四边形ABCD是正方形，

ND=/ABC=NDAB=/ABG=90°,AD=AB,

在4ADF^AABG中，

AD=AB

<ND=NABG,

DF=BG

.,.△ADF^AABG(SAS),

；.AG=AF,ZDAF=ZBAG,

ZEAF=45°,

ZEAG=ZEAB+ZBAG=ZEAB+ZDAF=45°,

，ZEAF=ZEAG,

；AE=AE,

/.△EAF^AEAG,

EF=EG=EB+BG=EB+DF.

(2)①三线段E/、DF、BE的数量关系是：EF=BE—DF,理由如下:

如图2,在6C上取一点G，使BG=DF

连接AG，同⑴可证AABGgAAD/,

；.AG=AF,ZDAF=ZBAG,

AAMN是等腰直角三角形，

ZMNA=ZN=45°,

ZFAD+ZDAE=45°,

：.ZDAE+NBAG=45。,

,/Zn4B=90°,

ZGAE=90。一45°=45°=ZFAE,

AF=AG

在AME和zXGAE中，,ZFAE=ZGAF

AE^AE

AAM£^AG4£（5AS）,

EF=EG=BE-BG,

,/BG=DF,

•••EF=BE—DF.

②如图2,过F作FHLAE于H,

设正方形ABCD的边长是x,则BC=CD=x,

VCE=6,DF=BG=2,

・・・EF二GE=CG+CE=BC-BG+CE=x-2+6=x+4,

在RQFCE中，由勾股定理得：EF2=FC2+CE2,

.・.(x+4)2=(x+2)2+62,

解得：x=6,

AG=AF=762+22=2而，

FH=变AF=也x2加=2底

ZFAM=45°,

22

即4AEF中AE边上的高为

10.如图，在边长为"的正方形ABCD中，作N4CD的平分线交AO于尸，过尸作直线4c的垂线交AC于

P,交CQ的延长线于Q,又过P作A。的平行线与直线CF交于点E,连接。E,AE,PD,PB.

(1)求AC,。。的长；

(2)四边形。FPE是菱形吗？为什么？

(3)探究线段力。，DP,E厅之间的数量关系，并证明探究结论；

(4)探究线段与AE之间的数量关系与位置关系，并证明探究结论.

【详解】

22

解：(1)AC=yja+a—^2a,

•.,CF平分/BCD,FD_LCD,FP_LAC,

，FD=FP,又NFDQ=NFPA,ZDFQ=ZPFA,

.,.△FDQ^AFPA(ASA),

，QD=AP,

•••点P在正方形ABCD对角线AC上，

；.CD=CP=a,

；.QD=AP=AC-PC=(点T)"；

(2)VFD=FP,CD=CP,

；.CF垂直平分DP,即DP_LCF,

；.ED=EP,则NEDP=/EPD,

VFD=FP,

，ZFDP=ZFPD,

而EP〃DF,

，ZEPD=ZFDP,

ZFPD=ZEPD,

.".ZEDP=ZFPD,

ADEZ/PF,而EP〃DF,

...四边形OFPE是平行四边形，

VEF±DP,

...四边形。FPE是菱形；

(3)DP2+EF2=4QD2,理由是:

・・•四边形OFPE是菱形，设DP与EF交于点G,

A2DG=DP,2GF=EF,

VZACD=45°,FP±AC,

•••△PCQ为等腰直角三角形，

・•・ZQ=45°,

可得△QDF为等腰直角三角形，

AQD=DF,

在4DGF中，DG2+FG?=DF2,

・•・有(；DP)2+(IEF)2=QD2,

整理得：DP2+EF?=4QD2；

(4)VZDFQ=45°,DE/7FP,

/.ZEDF=45°,

XVDE=DF=DQ=AP=(V2-1)«,AD=AB,

/.△ADE^BAP(SAS),

/.AE=BP,ZEAD=ZABP,

延长BP,与AE交于点H,

ZHPA=ZPAB+ZPBA=ZPAB+ZDAE,

ZPAB+ZDAE+ZHAP=90°,

/.ZHPA+ZHAP=90°,

.,.ZPHA=90°,BPBP±AE,

综上：BP与AE的关系是：垂直且相等.

11.如图11在一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在△ABC中，ZC=90°,

则AC2+BC2=AB2.我们定义为“商高定理

(1)如图1,在△ABC中，NC=90。中，BC=4,AB=5,试求AC=；

(2)如图2,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AC1BD.试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)如图3,分别以RtAACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED,连结CE、

AG、GE.已知BC=4,AB=5,求GE?的值.

【详解】

解：(1)：:在△ABC中，NC=90。中，BC=4,AB=5,

28c2=3,

故答案为：3；

(2)证明：在RSDOA中，NDOA=90。,

.,.OD2+OA2=AD2,

同理：OD2+OC2=CD2,OB2+OC2=BC2,OA2+OB2=AB2,

AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,AD2+BC2=OD2+OA2+OB2+OC2,

.".AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)解：连接CG、AE,设AG交CE于I,AB交CE于J,如图3所示:

•/四边形BCFG和四边形ABED都是正方形，

NGBC=NEBA=90°,AB=BE=5,BG=BC=4,

ZGBC+ZCBA=ZEBA+ZCBA,

AZABG=ZEBC,

在^ABG^DAEBC中，

AB=BE

<NABG=NEBC,

BG=BC

.".△ABG^AEBC(SAS),

.\ZBAG=ZBEC,

VZAJI=ZEJB,

NEBJ=NAIJ=90°,

，AG_LCE,

由(2)可得：AC2+GE2=CG2+AE2,

在RSCBG中，CG2=BC2+BG2,

即CG2=42+42=32,

在RtAABE中，AE2=BE2+AB2,

即AE2=52+52=50,

在RtAABC中，AB2=AC2+BC2,

即52=AC2+42,

；.AC2=9,

,/AC2+GE2=CG2+AE2,

即9+GE?=32+50,

.\GE2=73.

图3

12.已知：在正方形ABCD中，AB=3,E是边BC上一个动点(点E不与点B,点C重合)，连接AE,点

H是BC延长线上一点.过点B作BFLAE,交AE于点G,交DC于点F.

(1)求证：AE=BF；

(2)过点E作EM_LAE,交NDCH的平分线于点M,连接FM,判断四边形BFME的形状，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，NEMC的正弦值为也，求四边形AGFD的面积.

10

【详解】

解：证明：(1)：在正方形ABCD中，

/ABE=NBCF=90°,AB=BC,

VZBAE+ZABF=90°,ZCBF+ZABF=90°,

/BAE=NCBF,且NABE=NBCF=90。，AB=BC,

.".△ABE^ABCF(ASA)

；.AE=BF,

(2)四边形BFME是平行四边形

理由如下：如图1：在AB上截取BN=BE,

图1

VAABE^ABCF

ZBAE=ZFBC

・・・AB=BC,BN=