（人教A版2019选修第一册）高二数学同步备课系列 3.1.1 椭圆及其标准方程（教学课件）

3.1.1椭圆及其标准方程第3

章圆锥曲线的方程人教A版2019选修第一册我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢?如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.01不同方法求椭圆的标准方程02不同方法判断轨迹03求轨迹方程目录学习目标1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)情境与问题

椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。探究取一条定长的细绳,把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点F1,F2,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的轨迹是什么曲线?在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么?通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.在这一过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：

移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1,F2的距离之和是定值,并且这个定值大于两定点间的距离，即由此可得椭圆的定义.动画演示平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.焦距的一半称为半焦距.1.椭圆的定义:思考动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？①在平面内----(这是前提条件)；②动点M到两个定点F1,F2的距离之和是常数；

动点M的轨迹是线段F1F2

；动点M没有轨迹.F1F2M••③下面我们根据椭圆的几何特征,选择适当的坐标系,建立椭圆的方程.

下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，推导椭圆方程，并通过方程研究椭圆的性质.F1F2M••xyO

如图示,建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点,椭圆的焦距为2c(c>0),M与F1,F2的距离的和等于常数2a(a>0),则(x,y)由定义知：化简整理得由椭圆定义知：为了使方程形式更简单：①我们把方程①叫做椭圆的标准方程.思考1

观察图,你能从中找出表示a,b,c的线段吗？由图可知，2.椭圆的标准方程:F1F2M••xyO(x,y)

如图示,若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(－c,0),F2(c,0),c2＝a2－b2.F1F2P••xyOcab思考2

如图示,如果焦点F1,F2在y轴上,且F1,F2的坐标分别为(0,－c),(0,c),a,b的意义同上,那么椭圆的方程是什么?F1F2M••xyOF1F2M••xyO(x,y)(焦点在x轴上)(焦点在y轴上)定义焦点位置图形方程特点共同点不同点椭圆的标准方程:F1F2M••xyOF1F2M••xyO焦点在x轴上焦点在y轴上1.不同方法求椭圆的标准方程例1解1:(定义法)解2:(待定系数法)例1【方法说明】(3)求椭圆的标准方程，要先定“位”，1.求椭圆标准方程的主要方法有：a,b,c满足的关系有：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.

用定义寻找a,b,c的方程；(1)定义法：(2)待定系数法：待定系数法更为常用，是解此类问题的通法.即求a,b

的大小.即确定焦点的位置；其次是定“量”，2.不同方法判断轨迹

设点M的坐标为(x,

y)，点P的坐标为(x0,

y0)，则点D的坐标为(x0,0).

由点M是线段PD的中点，得

例2如图，在圆

上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么？为什么？xyPMO•D•

寻求点M的坐标(x,y)中x,y与x0,y0之间的关系,然后消去x0,y0,得到点M的轨迹方程.这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.

利用信息技术,可以更方便地探究点M的轨迹的形状.解1：(相关点代入法)xyPMO•D•解2：(参数法)∵

P

在圆x2+y2=4上，∴可设P(2cosθ,2sinθ),消去参数θ，得∴点M的轨迹是一个椭圆.设点M的坐标为(x,y),由题意有

例2如图，在圆

上任意一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD中点M的轨迹是什么？为什么？椭圆的标准方程说明：椭圆的参数方程是椭圆方程的另外一种表现形式，它的优越性在于将曲线上点的横,纵坐标(两个变量)用同一个参数θ表示，这样就能将椭圆上点的很多问题转化为函数问题解决，很好地将几何问题代数化.椭圆的参数方程：椭圆的参数方程(1)椭圆的参数方程是

参数方程：(2)圆x2＋y2＝r2的参数方程是

(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程是

思考由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗?如何“拉伸”?由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗?xyPMO•D•xyPMO•D•动画演示动画动画动画3.求轨迹方程例3xyBMOA•解:设点M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得总结：解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．

课本练习14yOF1F2xAB(1)由题意

故△AF1B的周长为：

(2)如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长不会有变化.仍然成立.解：••∴△AF1B的周长为：

4.已知A,B两点的坐标分别是(－1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点M的轨迹是什么?为什么?解：设点M的坐标为(x,y),由已知,得直线AM的斜率为直线BM的斜率为随堂检测当堂达标5.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求